Методы вычислительной математики

Пример 5.6. Определить наибольшее и наименьшее собственные значения

Рассматривается итерационный процесс Z (s+1) = AZ (s) . Для заданной матрицы формируется система уравнений

1

В качестве первого приближения выбирается вектор Z (0) = . Результаты

1

расчетов сведены в табл. 5.3.

После нормирования получается вектор

Согласно выражению (5.11) строится итерационная процедура

131

1

В качестве первого приближения выбирается вектор Z (0) = . Результаты

1

расчетов сведены в табл. 5.4.

μ(s) −1 = 0,999999. Точные значения наибольшего и наименьшего собственных

значений, компонент собственных векторов определены в примере 5.1.

Контрольные вопросы и задания

5.1. Сформулируйте алгебраическую проблему собственных значений. Укажите различие между полной и частичной проблемами.

132

5.2.Что понимается под устойчивостью собственных значений и собственных векторов?

5.3.Поясните, что называется коэффициентом перекоса, и укажите его геометрический смысл.

5.4.Опишите и обоснуйте метод интерполяции для определения собственных значений матрицы.

5.5.Обоснуйте алгоритм приближенного определения собственных векторов матрицы.

5.6.Опишите процедуру метода линеаризации для поиска собственных значений и векторов.

5.7.Можно ли при использовании степенного метода определить знак максимального собственного значения?

5.8 Поясните идею определения минимального собственного значения с помощью «обратных итераций».

133

Полученный результат свидетельствует о том, что погрешность аппрок-

симации первой производной fx′(xi ) выражением fi′,x определяется величиной, пропорциональной шагу h сетки Ωm при условии ограниченности второй про-

В этом случае погрешность аппроксимации также имеет первый порядок. Аналогично выполняется оценка погрешности аппроксимации первой произ-

=− f ′′′ (x )h2 6 + O(h3 )= O(h2 ).

xxxi

Впоследнем случае получен второй порядок погрешности аппроксимации. Это означает, что из трех выражений для аппроксимации первой производной последний вариант обеспечивает наименьшую погрешность. В любом из рассмотренных случаев приближение производной ее разностным аналогом тем точнее, чем меньше шаг h выбранной сетки. Вместе с тем следует иметь

ввиду, что уменьшение шага h приводит к возрастанию погрешности вычислений. В самом деле, пусть вместо точных значений f (xi ) и f (xi−1 ) вследствие

δ < 2 h → ∞, h → 0.

135

Очевидно, следует потребовать, чтобы погрешность округления не превышала погрешности аппроксимации при записи разностного аналога, то есть

2 h ≤ M 2h2 ,

где

M 2 = max[ ] fxx′′(x)

x a,b

– чёбышевская оценка второй производной заданной функции f(x) на отрезке [a,b]. Отсюда следует

h ≥ 2M 2 .

6.2. Использование аппроксимации общего вида

В произвольном узле xi сеточной области Ωm приближенное значение первой производной функции f(x) можно представить в виде

fx′(xi )≈ fi′,x = αf (xi−1 )+ βf (xi ) + γf (xi+1 ),

где α, β, γ – произвольные постоянные величины. Погрешность такого представления производной оценивается разностью

ψi = fx′(xi )− fi′,x = fx′(xi ) − [αf (xi−1 )+ βf (xi ) + γf (xi+1 )].

Используя разложения заданной функции f (x) в ряды Тейлора вблизи точки xi, погрешность аппроксимации первой производной fx′(xi ) можно оценить выражением

ипосле приведения подобных слагаемых погрешность аппроксимации равна

ψi = −f (xi )(α+β+γ)+ fx′(xi )(1−αh +γh)− fxx′′(xi )h2 (α+γ)2 +

+f ′′′ (x )h3 (− α + γ) 6 − O(h4 )(α + γ).

xxxi

Для получения наименьшей погрешности (наивысшей степени шага h) требуется выполнение соотношений

α+β+ γ = 0;

1−αh + γh = 0;

α+ γ = 0.

Отсюда получается, что α =12h, β = 0, γ = −12h , то есть

136

и не превышает O(h2).

6.3. Применение интерполяционных формул

Для получения приближенного значения производной могут использоваться рассмотренные ранее способы аппроксимации функции полиномами Ньютона (Лагранжа). Идея заключается в замене вблизи заданной точки xi сложной функции, значение производной для которой требуется вычислить, полиномом, для которого и определяется в дальнейшем значение производной. В частности,

и вторая,

L2′′,xx (x) = 2 f (xi−1 )hi (hi + hi+1 ) − 2 f (xi )hi hi+1 + 2 f (xi+1 )hi+1 (hi + hi+1 ),

производные построенного полинома Лагранжа. Для заданной точки xi значение первой производной определяется выражением

L2′(xi ) = −hi+1 f (xi−1 )hi (hi + hi+1 )+ (hi+1 − hi )f (xi )hi hi+1 + hi f (xi+1 )hi+1 (hi + hi+1 )

и от переменной x не зависит. В частном случае постоянного шага сетки hi = hi+1 = h первая и вторая производные принимают значения

L2′,x (xi )= − f (xi−1 )2h + f (xi+1 )2h = [f (xi+1 )− f (xi−1 )] 2h = fi′,x , L2′′,x (xi )= 2 f (xi−1 )2h2 − 2 f (xi )h2 + 2 f (xi+1 )2h2 =

= [f (xi−1 )− 2 f (xi )+ f (xi+1 )]h2 = fi′,′x .

137

На каждом из сегментов [xk−1, xk ], k =1,m , проще и удобнее строить и оце-

нивать квадратурные формулы. Погрешность формул интегрирования на произвольном сегменте [xk−1, xk ] определяется как разность между точным значе-

нием интеграла и квадратурной суммой:

Погрешность численного интегрирования на всем интервале [a,b]

k=1

7.1. Формула прямоугольников

Рассматривается случай, когда в разложении (7.2) удерживается лишь одно слагаемое, содержащее функцию ϕ0 = 1. Весовой коэффициент равен

xk

C0k = ∫ϕ0 dx = h,

xk −1

и на сегменте [xk−1 , xk ] интеграл заменяется выражением

xk −1

Это означает замену интеграла на указанном сегменте площадью прямоугольника с основанием h и высотой, равной значению функции в середине основания прямоугольника (рис. 7.1, б).

Рис. 7.1. Схема численного интегрирования методом прямоугольников с «левой» (а), «центральной» (б) и «правой» (в) точками

140