Методы вычислительной математики

и так далее. Для прекращения вычислительной процедуры могут применяться различные критерии.

Рис. 3.1. Схема метода половинного деления

Если функция достаточно «пологая», имеет смысл использовать условие малости интервала, ограничивающего положение корня (рис. 3.2, a):

xs+1 − xs < δx ;

Если функция «круто» меняет свое значение, целесообразно применять условие (рис. 3.2, б) «близости» значения функции f(x) к нулевому значению:

f (xs ) < δy .

δy

δx

Рис. 3.2. Частные случаи поиска корня нелинейного уравнения

Если заранее неизвестен характер «поведения» функции, имеет смысл использоватьодновременнообаусловиядляостановкиитерационногопроцесса.

72

Пример 3.1. Найти корень уравнения 2x + sin(x)− 1 = 0 .

Вид функции f (x) = 2x + sin(x)−1 показан на рис. 3.3, из которого видно, что корень этого уравнения принадлежит отрезку [0, 1]. Рассматриваемая

Рис. 3.3. Функция f (x) = 2x + sin(x)− 1

функция на этом отрезке непрерывна и на его концах принимает значения разных знаков. Это означает, что для поиска корня заданного уравнения может быть использован метод половинного деления. Результаты расчетов приведены в табл. 3.1. Точное значение корня уравнения: 0,335418.

Таблица 3.1 Результаты вычисления корня уравнения 2x + sin(x) −1 = 0

методом половинного деления

73

Окончание табл. 3.1

3.2. Метод простых итераций

Этот метод заключается в замене уравнения (3.1) эквивалентным ему урав-

при некотором заданном начальном значении x(0) . Для приведения выражения (3.1) к требуемому виду (3.2) можно воспользоваться простым приемом:

f(x) = f (x) + x − x = 0 ,

x= x − f (x) = ϕ(x).

Если положить ϕ(x) = x − τf (x), выражение (3.2) можно записать в виде стандартного итерационного процесса поиска корней нелинейного уравнения:

(x(s+1) − x(s) )τ(s+1) + f (x(s) ) = 0 .

Теорема 3.1. Если функция ϕ(x) на отрезке А удовлетворяет условию Липшица1 с константой 0 < С < 1, причем

74

Рассматривается отрезок длиной 2r с центром в точке a: A = {x | x − a | ≤ r}. Доказательство. Доказывается «по индукции», что определяемые в соот-

иx(s+1) A . В силу x(s+1) = ϕ(x(s) )

x(s+1) − a = ϕ(x(s) )− a = ϕ(x(s) )− a + ϕ(a) − ϕ(a)= [ϕ(x(s) )− ϕ(a)]+ [ϕ(a)− a] ,

x(s+1) − a ≤ ϕ(x(s) )− ϕ(a) + ϕ(a) − a ≤ C x(s) − a + (1 − C)r ≤ Cr + (1 − C)r = r ,

то есть x(s+1) A . Далее оценивается разность получаемых решений для произвольной итерации с номером s:

x(s+1) − x(s) = ϕ(x(s) )− ϕ(x(s−1) ) ≤ C x(s) − x(s−1) .

Отсюда получается:

x(s+1) − x(s) ≤ C x(s) − x(s−1) ≤ C 2 x(s−1) − x(s−2) ≤…≤ C s x(1) − x(0) .

Для двух произвольных значений x( p) и x(q) (для определенности считает-

ся, что p > q) на основании этого соотношения получается:

x( p) − x(q) = (x( p) − x( p−1) )+ (x( p−1) − x(q) )=

= (x( p) − x( p−1) )+ (x( p−1) − x( p−2) )+ (x( p−2) − x(q) )=…= ∑p−1 (x(n+1) − x(n) ),

=x(1) − x(0) C q (1 + C + C 2 +…+ C p−q−1 )=

=x(1) − x(0) C q (1 − C p−q )(1 − C)≤ x(1) − x(0) C q (1 − C).

При выводе последнего соотношения использована формула для суммы членов геометрической прогрессии со знаменателем С, а также условие, что 0 < C <1, и тем более 0 < C p−q <1, p > q . При увеличении p и q имеет место

В 1800 году закончил философский, а в 1805 – теологический факультеты Пражского университета. В этом же университете с 1805 года возглавлял кафедру истории религии, откуда был уволен в 1820 году за вольнодумство и лишен права публичных выступлений. После этого занимался исследованием в области логики и математики.

75

При переходе к пределу в соотношении x(s) = ϕ(x(s−1) ) в силу непрерывно-

то уравнение (3.2) имеет единственное решение, метод простых итераций сходится и погрешность метода оценивается формулой (3.5).

Действительно, согласно теореме Лагранжа1,

Коши Огюстен Луи [21.8.1789 – 23.5.1857] – французский математик. В 1807 году окончил Политехническую школу, в 1810 году – Школу мостов и дорог в Париже. С 1810 по 1813 годы работал инженером в Шербурге. С 1816 года был избран членом Парижской академии наук. С 1816 по 1830 год преподавал в Политехнической школе и в Коллеж де Франс. С 1831 года стал иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1848 году начал преподавать в Парижском университете.

Признак сходимости числовой последовательности Больцано–Коши [8]: для того, чтобы последовательность вещественных чисел имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы x( p) − x(q) → 0 при p, q → ∞ .

1 Лагранж Жозеф Луи [25.11.1736 – 10.4.1813] – французский математик и механик. В 1755 году стал профессором Туринской артиллерийской школы. В 1759 году был избран членом Берлинской академии наук. С 1766 года был директором Математического класса Берлинской академии наук, с 1772 года – членом Парижской академии наук, с 1776 года – иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1795 году стал профессором Парижской Нормальной школы, с 1797 года – профессором Политехнической школы.

76

ϕ(b) − ϕ(a) = ϕ′x (ξ)(b − a) = ϕ′x (ξ) b − a ≤ max ϕ′x (ξ) b − a ,

x A

то есть в качестве константы условия Липшица можно принять

C = max ϕ′x (x) .

x A

В этом случае условия рассматриваемой теоремы выполнены, и все ее утверждения имеют место.

Пример 3.2. Найти корень уравнения 2x + sin(x)=1. Уравнение преобразуется к стандартному виду

x= [1 − sin(x)]2

ипредставляется в форме итерационного процесса:

x(S +1) = [1−sin(x(S ) )]2 .

Очевидно, что оба условия теоремы 3.1 выполняются, поскольку C <1 и

ϕ(a)− a = [1 − sin(0,5)]2 − 0,5 = 0,239713 < (1 − C)r = 0,25 ,

итерационный процесс сходится. Результаты расчетов даны в табл. 3.2. Таблица 3.2

Вычисление корня уравнения 2x + sin(x)=1 методом простых итераций с различными начальными значениями x(0)

Теорема Лагранжа [10]: если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [a, b] и дифференцируема во всех его внутренних точках, то внутри этого интервала существует хотя бы одна точка ξ, для которой ( f (b) − f (a))(b − a) = f x′(ξ) .

77

приводящее к итерационному процессу следующего вида:

1Ньютон Исаак [4.1.1643 – 31.3.1727] – английский физик и математик. В 1655 году начал учебу в Грантемской школе, в 1661 году поступил в Тринити – колледж Кембриджского университета. В 1668 году ему была присвоена степень магистра. С 1669 по 1701 годы занимал почетную люкасовскую физико-математическую кафедру. С 1672 года был членом Лондонского королевского общества, президентом которого стал в 1703 году. В 1695 году получил должность смотрителя Монетного двора. В 1699 году был избран иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1705 году за научные труды был возведен

вдворянское звание.

2Тейлор Брук [18.8.1685 – 29.12.1731] – английский математик. В 1712 году был избран членом Лондонского королевского общества.

78

Очевидно, что метод Ньютона можно рассматривать как вариант метода простых итераций, если положить ϕ(x)= x − f (x) f ′(x). Геометрическая иллю-

страция итерационного процесса метода Ньютона приведена на рис. 3.4.

f(x0)

Рис. 3.4. Геометрический смысл процедуры метода Ньютона

Из схемы понятно, что каждое следующее приближение может быть определено из геометрических построений:

x(s ) − x(s+1) = f (x(s) )tg(α) = f (x(s) ) fx′(x(s) ).

Теорема 3.2. Пусть выполнены следующие предположения:

–~ – корень уравнения f(x) = 0; x

Доказательство. Для оценки погрешности решения используется формула Тейлора для разложения функции f(x) в ряд возле точки x(s) :

79

то есть оценка (3.7) выполнена для s = 1. В предположении, что формула (3.7) верна для произвольного s, и с учетом условия С < 1, справедливо неравенство

Но это как раз и означает, что формула (3.7) справедлива при s + 1. В силу C < 1 из выражения (3.7) следует сходимость метода Ньютона:

(s) − ~ → . x x s→∞ 0

Что и требовалось доказать.

Пример 3.3. Найти корень уравнения 2x + sin(x)−1 = 0.

80