Методы вычислительной математики

1.3.Укажите источники погрешностей математической модели. Какие из погрешностей являются неустранимыми, а какие – регулируемыми?

1.4.Объясните причины возникновения погрешностей исходных данных.

1.5.Что понимается под погрешностью численного метода?

1.6.Как оценить величину погрешности вычислений на ЭВМ?

1.7.Какую погрешность: относительную или абсолютную – целесообразно оценивать при выполнении вычислений на ЭВМ и почему?

21

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Система m линейных алгебраических уравнений с m неизвестными величинами представляется в виде

уравнений (2.1) имеет единственное решение, если определитель матрицы A отличен от нуля, det(A)≠ 0 . В развернутой (компонентной) записи эта система уравнений имеет вид

2.1. Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений

Для оценки влияния изменения (возмущения) правой части f и матрицы коэффициентов А на решение x системы линейных алгебраических уравнений (2.1) вводится линейное пространство Rm векторов размерности m, в котором определяется норма, удовлетворяющая условиям [8]:

x ≥ 0 x Rm , x ≠ 0 ;

x = 0 x = 0 ;

αx = αx ;

x + y ≤ x + y .

В пространстве Rm в качестве нормы вектора могут быть взяты определения «кубической» нормы

x = max xi

1≤i≤m

или «сферической» нормы [40]

m

x = ∑xi2 .

i=1

Норма матрицы (оператора) определяется согласно [8] выражением

22

решения от правой части.

Пусть определитель матрицы А отличен от нуля. В этом случае существует обратная матрица A−1 . Используя свойство линейности системы алгебраических уравнений, можно получить оценку возмущения δx :

Aδx = A(x − x) = Ax − Ax = f − f = δf ,

23

и роль константы М может выполнять норма обратной матрицы A−1 . Чем ближе значение det(A) к нулю, тем больше величина A−1 и тем значительнее

отклонение δx при заданном возмущении δf. Из уравнения (2.1) следует:

f = Ax ≤ Ax .

Перемножение двух последних неравенства дает оценку

δx f ≤ A−1 δf Ax ,

δx x ≤ A−1 Aδf f = M A δf f ,

где произведение M A = A−1 A называется числом обусловленности матри-

цы А, характеризующим зависимость относительной погрешности δxx решения системы уравнений от относительного «возмущения» δf f правой части. Очевидно, что при подходящем выборе нормы

1 = E = A−1 A ≤ A−1 A = M A .

Пример 2.1. Для системы линейных алгебраических уравнений

0,780x + 0,563y = 0,217,0,913x + 0,659 y = 0,254,

оценить устойчивость решения по отношению к возмущению «правой» части. Определитель этой системы линейных алгебраических уравнений

det(A)= 0,780 0,659 − 0,563 0,913 =10−6

отличен от 0, хотя и мал. Матрица коэффициентов представляется в виде

Вычисление обратной матрицы приводит к значениям коэффициентов

Определитель обратной матрицы равен

= 659000 780000 − 563000 913000 =106 .

24

При использовании определения «сферической» нормы матрицы для рассматриваемого случая получаются значения

A =1,48095, A−1 =1480950.

Это позволяет оценить число обусловленности заданной матрицы А, то есть показатель устойчивости решения при возмущении правой части системы уравнений M A = 2193219 , которое значительно больше 1, поэтому заданную

систему уравнений следует признать неустойчивой по отношению к возмущению «правой» части.

В более общем случае рассматривается одновременное возмущение и правой части δf, и матрицы коэффициентов δA системы линейных алгебраических

Для получения оценки устойчивости решения системы алгебраических уравнений в общем случае необходимо рассмотреть вспомогательное утверждение.

Лемма 2.1. Пусть С – квадратная матрица, C <1; Е – единичная матрица. Тогда существует (E + C)−1 , причем

(E + C)−1 ≤ (1 − C)−1 .

Доказательство. Для любого x имеет место неравенство

что возможно лишь при x = 0, откуда следует, что x = 0. Иными словами, однородное уравнение (E + C)x = 0 имеет только тривиальное решение. Но это означает, что определитель det(E + C) не равен нулю, то есть существует обратная матрица (E + C)−1 . Далее рассматривается уравнение

(E + C)x = y ,

имеющее решением x = (E + C)−1 y . С помощью выражения (2.4) получается

(E + C)x ≥ δx = δ(E + C)−1 y ,

25

(E + C)−1 y ≤ (E + C)x δ = y δ = y (1 − C ).

Полученное неравенство используется для подсчета нормы.

что и требовалось доказать.

Теорема 2.1. Пусть матрица А имеет обратную и выполнено условие

δxx ≤ M A (δA A + δf f )(1 − M A δA A).

Доказательство. Согласно определению

С использованием условия теоремы оценивается норма матрицы С:

C = A−1δA ≤ A−1 δA < A−1 A−1 =1.

В силу того что матрица С удовлетворяет условию леммы 2.1, существует матрица (E + C)−1 . Поскольку

~−1 = [ ( + )]−1 = ( + )−1 −1

A A E C E C A

,

Слагаемые в правой части этого неравенства оцениваются раздельно:

26

= (E + C)−1 A−1 A − E = (E + C)−1 − E = (E + C)−1[E − (E + C)] = − (E + C)−1C ≤

≤ (E + C)−1 C ≤ C (1 − C)= A−1δA (1 − A−1δA )≤ A−1 δA (1 − A−1 δA ).

Использование полученных оценок позволяет получить выражение

δx ≤ A−1 (δf + δAx)(1 − A−1 δA).

Учитывая, что

δf = δf ( Ax f )≤ δf Ax f ,

оценка принимает вид

δx ≤ A−1 (δf Ax f + δAx)(1 − A−1 δA)= = A−1 A(δf f + δA A )x(1 − A−1 AδA A).

Поскольку M A = A−1 A , получается доказываемое утверждение теоремы:

δxx ≤ M A (δA A + δf f )(1 − M A δA A).

2.2. Полиномы Чебышёва1

Вводится, согласно [8], норма

f = max f (x) ,

x [a,b]

называемая чебышёвской. Рассматривается следующая задача: среди всех полиномов степени n со старшим коэффициентом, равным 1, найти такой много-

Выполняя тригонометрические преобразования

Pn+1 (x) = cos((n +1)arccos(x))= cos(narccos(x)+ arccos(x))=

=cos(narccos(x))cos(arccos(x))− sin(narccos(x))sin(arccos(x)) =

1Чебышёв Пафнутий Львович [4.5.1821 – 26.11.1894]. В 1841 году закончил Московский университет и там же в 1846 году защитил магистерскую диссертацию. В 1847 году подготовил и защитил диссертацию на право чтения лекций и был утвержден в звании доцента Петербургского университета. В1849 году защитил докторскую диссертацию; в 1850 году стал профессором Петербургскогоуниверситета. С1856 годаявлялсяакадемикомПетербургскойакадемиинаук.

27

= xPn (x) − sin(narccos(x))sin(arccos(x)),

Pn−1 (x) = cos((n −1)arccos(x)) = cos(narccos(x) − arccos(x))=

=cos(narccos(x))cos(arccos(x))+ sin(narccos(x))sin(arccos(x))=

=xPn (x) + sin(narccos(x))sin(arccos(x))

искладывая почленно два последних равенства

Очевидно, что Tn (x) является полиномом степени n со старшим коэффициентом, равным 1. На рис. 2.1 показаны некоторые из полиномов Tn (x) построенной системы.

Рис. 2.1. Полиномы Tn (x) при n = 2, 3, 4, 5, 6

28

Корни полинома (табл. 2.1) определяются из уравнения cos(narccos(x))= 0 .

Поскольку Tn (x) – полином степени n, он имеет не более n корней, причем

все они различны и лежат на отрезке [–1, 1]:

xk = cos((2k −1)π2n), k =1,n .

Вполне очевидно (см. рис. 2.1), что полиномы Tn (x) принимают экстремальные значения в тех точках, где функция cos принимает значения +1 или –1:

cos(narccos(x))= ±1, narccos(xp )= pπ,

xp = cos(pπn), p = 0,n .

Таблица 2.1

Корни полинома Tn (x) для n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Tn = 21−n .

Лемма 2.2. Пусть система точек −1 ≤ x0 < x1 <…< xn−1 < xn ≤ 1 такова, что

Qn (xp ) = Qn , p = 0,n , причем в этих точках функция Qn (xp ) имеет чередую-

щиеся знаки. Тогда среди всех полиномов степени n со старшим коэффициентом, равным 1, многочлен Qn (x) наименее уклоняется от 0.

29

Доказательство. Предполагается, что существует полином Sn (x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1 (рис. 2.2), причем Sn < Qn , то есть Sn (x) < Qn x [−1,1]. Вводится функция R(x) = Qn (x) − Sn (x) , отличная от нуля и являющаяся полиномом степени n – 1.

Рис. 2.2. Полиномы Qn(x), Sn(x) и R(x) = Qn (x) −Sn (x)

положения функция R(x) на отрезке [–1, 1] меняет знак n раз, а значит, имеет n корней, чего не может быть, поскольку R(x) является полиномом степени n – 1.

Таким образом, утверждение леммы 2.2 доказано.

Поскольку построенный ранее полином Чебышёва Tn (x) удовлетворяет всем требованиям леммы, именно он является наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [–1, 1].

В случае необходимости отыскания полинома со старшим коэффициентом, равным 1, наименее уклоняющегося от нуля на произвольном отрезке [a, b], следует перейти к новой переменной

t = 2x(b − a)− (b + a)(b − a), a ≤ x ≤ b ,

30