Методы вычислительной математики

ϕ = c0′ϕ0 + c1′ϕ1 +…+ cm′ ϕm = 0 , и из условия линейной независимости системы

функций ϕk H , k = 0,m , вытекает: c0′ = 0, c1′ = 0,…, c′m = 0 . Но это означает, что (Ac,c)> 0 c ≠ 0, то есть матрица А является положительно определенной.

Теорема 4.4. Если А – симметричная положительно определенная матрица, fˆ – заданный вектор, то функционал (4.29) имеет единственную точку ми-

нимума c~ тогда и только тогда, когда вектор c~ удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений

Доказательство. В силу положительной определенности матрица А имеет определитель, отличный от нуля, то есть система уравнений (4.30) разрешима и имеет единственное решение.

Достаточность теоремы. Пусть вектор c~ является решением системы уравнений (4.30). Для произвольного вектора v, согласно определению (4.29), имеет место следующее выражение:

F (c + v) = (A(c + ν),c + v) − 2( fˆ,c + v)=

= ( Ac,c) + 2 ( Ac,v) −( fˆ,v) + ( Av,v) − 2( fˆ,c) =

( Av,v) + 2(Ac − fˆ,v)+ ( Ac,c) − 2( fˆ,c) = ( Av,v) + 2(Ac − fˆ,v)+ F (c).

Если принять во внимание выражение (4.30), то окончательно получается

Если в представленном выше равенстве

111

Полученное выражение можно рассматривать как скалярную функцию g(λ)= λ2 (Au, u)+ 2λ(Ac − fˆ,u)+ F (c)

аргумента λ. В силу принятого допущения о минимальности функционала

Из справедливости последнего равенства u Rm+1 следует:

Ac − fˆ = 0,

что и требовалось доказать.

В компонентной записи система линейных алгебраических уравнений выглядит следующим образом:

Алгоритм определения элемента наилучшего приближения: а) вычисляются коэффициенты матрицы:

akj = (ϕk ,ϕj )H = ∫b ϕk (x)ϕj (x)dx, k, j = 0,m ;

a

б) подсчитываются значения правых частей:

в) решается система линейных алгебраических уравнений (4.31);

m

~ ∑~

г) строится обобщенный полином ϕ = ck ϕk.

k=0

Вслучае ортонормированности системы ϕk , k = 0,m , построение прибли-

112

k=0

коэффициенты Фурье.

Пример 4.3. Для функции f (x) = x на отрезке [–1, 1] построить наилучшее приближение в гильбертовом пространстве с использованием полинома P4.

Cистема линейно-независимых функций – полиномы ϕk (x)= xk , k = 0,4 .

В соответствии с приведенными соотношениями вычисляются коэффициенты akj и fj системы линейных алгебраических уравнений:

Числовые значения коэффициентов приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3 Коэффициенты матрицы akj и правая часть fj системы линейных алгебраических

уравнений Ac = fˆ при построении наилучшего приближения

Решение системы уравнений (4.30) методом Гаусса позволило построить полином P4, аппроксимирующий на отрезке [–1, 1] функцию f (x) = x :

1 Фурье Жан Батист Жозеф [21.3.1768 – 16.5.1830] – французский математик. Окончил военную школу в Осере, там же работал преподавателем. В 1796–1798 годах преподавал в Политехнической школе в Париже. В 1798 году принимал участие в Египетской экспедиции Наполеона Бонапарта. В 1802–1815 годах был префектом департамента Изер. С 1817 года избран членом Парижской академии наук. В 1829 году стал иностранным почетным членом Петербургской академии наук.

113

P4 (x) = 0,1172 +1,6406x2 −0,8203x4 .

Аналогичным образом строятся полиномы P2(x), P3(x), P5(x) и другие. Вид этих функций приведен на рис. 4.6. На рис. 4.7 показана зависимость погреш-

ни m полиномов Pm(x).

4.4. Метод наименьших квадратов

114

В практических исследованиях часто возникает ситуация, когда необходимо аппроксимировать табличные значения f (xi )= fi , i = 0,n с помощью приближения ϕ(x), содержащего определяемые коэффициенты ck , k = 0,m

в количестве меньшем, чем число узловых точек: m < n. По этой причине, в отличие от рассмотренных ранее способов аппроксимации функции полиномами Ньютона, Лагранжа, Эрмита, сплайнами, не используется условие равенства значений функции f(x) и ее приближения ϕ(x) в узлах разностной сетки. В методе наименьших квадратов близость аппроксимирующего многочлена заданной функции оценивается с помощью какой-либо нормы, то есть в среднем для всего отрезка, на котором строится аппроксимация.

m +1 параметров c0 , c1,…, cm . Степень отклонения функции f(x) от ее приближения ϕ(x) определяется соотношением

Для определения наименьшего отклонения используются необходимые условия минимума функции нескольких переменных:

Иными словами, речь идет о решении системы алгебраических уравнений, нелинейных в общем случае:

115

В частном случае, когда приближение ϕ(x) представимо в виде

m

ϕ(x;c0 ,c1,…,cm )= ∑ck ϕk (x),

k =0

оценка (4.32) отклонения функции от ее приближения записывается в форме

В итоге получена система линейных алгебраических уравнений относи-

116

4.9.Опишите способ решения нелинейного уравнения с помощью обратной интерполяции.

4.10.Укажите порядок построения интерполяционного многочлена Эрмита.

4.11.Опишите идею сплайн-аппроксимации функции и порядок построения кубического сплайна.

4.12.Что понимается под сходимостью процесса интерполяции кубическими сплайнами? Сформулируйте и докажите лемму об оценке сходимости по «сеточной» норме.

4.13.Сформулируйте и докажите теорему о сходимости процесса интерполяции функции кубическими сплайнами.

4.14.Опишите порядок построения наилучшего приближения функции

сиспользованием теории гильбертовых пространств.

4.15.В чем заключается метод наименьших квадратов для аппроксимации функции, заданной таблично?

118

5. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Рассматривается квадратная матрица А размером m × m. Если существуют

то скаляр λ называется собственным значением, а X – собственным вектором

матрицы A, соответствующим собственному значению λ. В иной записи

ни m относительно переменной λ. Это, в свою очередь, означает, что существует m корней характеристического многочлена и, следовательно, имеется m соб-

позволяет определить собственные значения

λ1 = (5 + 49) 2 = 6, λ2 = (5 − 49)2 = −1.

Система уравнений для определения первого собственного вектора, соответствующего λ1 = 6 :

−5X1(1) + 2X2(1) = 0,

5X1(1) − 2X2(1) = 0,

119

где X1(1), X 2(1) – компоненты собственного вектора X (1) . Последняя система со-

держит линейно зависимые уравнения (как это и следовало ожидать для системы линейных алгебраических уравнений с определителем, равным нулю). Из любого уравнения этой системы можно найти X1(1) = 2X 2(1) 5. Для однозначности определения собственных векторов принимается условие нормирования, X (i) =1, i =1,m , то есть

X (1) = [X1(1) ]2 + [X 2(1) ]2 = 4[X 2(1) ]2 25 + [X 2(1) ]2 = X 2(1) 29 5 =1,

Система уравнений для определения второго собственного вектора, соответствующего λ2 = −1:

5.1. Устойчивость собственных значений и векторов

Наряду с матрицей A рассматривается матрица AT . Собственные числа обеих матриц одинаковы. Собственные векторы матриц обозначаются,

соответственно, X (i) и Y ( j ),

AX (i) = λi X (i ), AT Y ( j ) = λ jY ( j ).

Разность скалярных произведений (AT Y ( j ), X (i ) ) и (Y ( j ), AX (i) ),

(Y ( j ), AX (i ) )− (AT Y ( j ), X (i) )= (Y ( j ),λi X (i) )− (λ jY ( j ), X (i ) )= (λi − λ j )(Y ( j ), X (i) ),

с учетом равенства

приводит к выражению

(λi − λ j )(Y ( j ), X (i) )= 0,

120