Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы вычислительной математики

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

3.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4315 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Приближение произвольной функции f(x) вблизи xk −1/ 2 описывается фор-

мулой Тейлора
f (x) = f (xk−1/ 2 )+ fx (xk−1/ 2 )(x − xk−1/ 2 ) + fxx (ξ)(x − xk−1/ 2 ) 2, ξ [xk−1, xk ].
	′				′′			2
								2
Погрешность вычисления интеграла на сегменте								[xk−1, xk ] определяется
выражением:	x
	x
	ψk = ∫k	f (x)dx − f (xk −1/ 2 )h =
xk	xk −1							2]dx − f (xk−1/ 2 )h =
xk	(xk −1/ 2 )(x − xk		−1/ 2 )+ fxx (ξ)(x − xk−1/ 2 )
= ∫[f (xk−1/ 2 ) + fx	(xk −1/ 2 )(x − xk		−1/ 2 )+ fxx (ξ)(x − xk−1/ 2 )
′				′′			2
							2
xk −1				xk
= f (xk−1/ 2 )h + fx (xk−1/ 2 )(x − xk−1/ 2 )				xk
= f (xk−1/ 2 )h + fx (xk−1/ 2 )(x − xk−1/ 2 )			2 + fxx (ξ)(x − xk −1/ 2 ) 2dx − f (xk−1/ 2 )h =
′	2		xk	∫		′′		2
	2		xk					2
			xk −1
				xk −1

= 1 ∫k fxx′′(ξ)(x − xk−1/ 2 )2 dx .

2 xk −1

Полученное выражение позволяет оценить погрешность

≤

f ′′(ξ)(x − x

)2 dx

≤

max

f ′′(x)

xk (x − x

)2 dx =

∫

k −1/ 2

2 x [xk −1 ,xk ]

∫

k −1/ 2

(7.6)

xk −1

= M 2,k (x − xk−1/ 2 )3 6 xk

= M 2,k h3 24 = O(h3 ).

xk −1

f ′′(x)

Здесь обозначено:

= max

. Формула (7.6) показывает, что при

2,k

x [xk −1 ,xk

]

ограниченности второй производной заданной функции на рассматриваемом сегменте погрешность формулы прямоугольников имеет третий порядок. Для всего отрезка интегрирования [a,b] получается:

(mh)h2 24 = M 2h2

(b − a) 24,

Ψ ≤ ∑ ψk

≤ h3 24∑M 2,k ≤ M 2

(7.7)

k=1

k =1

где M

= max

′′

(x)

. Иными словами, для всего интервала [a,b] погрешность

x [a,b]

рассмотренного способа интегрирования имеет второй порядок. Так же проверяется часто применяемая на практике формула интегрирования

x∫k f (x)dx ≈ f (xk −1 )h ,

xk −1

с использованием «левой» точки сегмента [xk−1, xk ], геометрический смысл ко-

торой пояснен на рисунке 7.1, а. Оценка погрешности интегрирования на этом сегменте приводит к формуле

ψk = fx′(xk−1 )h2 2 + 1 ∫k fxx′′(ξ)(x − xk −1 )2 dx ,

2 xk −1

141

			ψk	= O(h2 ).
			ψk	= O(h2 ).
Для всего отрезка [a,b] погрешность интегрирования составляет
	Ψ	≤ M1h(b − a) 2, M1 = max			′	.
					′
					f (x)
				x [a,b]
				x [a,b]

На рис. 7.2 показана сходимость процесса приближенного вычисления определенного интеграла с помощью формул метода прямоугольников с «центральной», «левой» и «правой» (рис. 7.1, в) точками

5
4
3
2
1
0									1024 m
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024 m

Рис. 7.2. Значения интеграла ∫e−x dx , вычисленные точно ( – – – –),

по формулам метода прямоугольников с «центральной» (–ο–), «левой» (– –) и «правой» (–◊–) точками на сетках Ωm

7.2. Формула трапеций

На сегменте [xk−1, xk ] функция f(x) описывается линейной зависимостью

(рис. 7.3):

			f (x) ≈(xk − x)f (xk−1 ) h + (x − xk−1 )f (xk ) h .
			f (x) ≈(xk − x)f (xk−1 ) h + (x − xk−1 )f (xk ) h .
			Это означает, что в разложении (7.2)
			удерживаются две функции
			ϕ0 (x) = (xk − x) h ,	ϕ1 (x) = (x − xk−1 ) h .
			Весовые коэффициенты равны
			x	x
		x	C0k = ∫k ϕ0 (x)dx = h 2 , C1k = ∫k ϕ1 (x)dx = h 2.
		x	xk −1	xk −1
	xk–1	xk	Отсюда вытекает формула метода тра-
	xk–1	xk	Отсюда вытекает формула метода тра-
Рис. 7.3. Схемачисленного			пеций (см. рис. 7.3):

интегрированияметодомтрапеций

142

x	f (x)dx ≈ f (xk−1 )h 2 + f (xk )h 2 = [f (xk−1 )+ f (xk )]h 2.
∫k							(7.8)
xk −1
Формулы Тейлора разложения функции f(x) возле точки x
f (xk −1 )= f (x) + fx (x)(xk−1		− x)+ fxx (ξ)(xk−1 − x)				2, ξ [xk−1, xk ],
	′	′′		2
	f (xk ) = f (x)+ fx (x)(xk	− x)+ fxx (ζ)(xk − x)			2, ζ [xk−1 , xk ].
	′	′′	2
			2

Позволяют оценить погрешность представления (7.8) на сегменте [xk−1, xk ]:

	x
ψk = ∫k [f (x) − ϕ0 (x) f (xk−1 ) − ϕ1 (x)f (xk−1 )]dx =
	xk −1
x
= ∫k [f (x) − (xk − x)f (xk−1 ) h − (x − xk −1 )f (xk ) h]dx =
xk −1
xk	− x)(f (x) + fx (x)(xk−1	− x)+ fxx (ξ)(xk−1 − x)		2) h −
= ∫[f (x) − (xk	− x)(f (x) + fx (x)(xk−1	− x)+ fxx (ξ)(xk−1 − x)		2) h −
	′	′′	2
			2
xk −1				]dx =
−(x − xk −1 )( f (x) + fx′(x)(xk − x) + fxx′′ (ξ)(xk − x)2 / 2)/ h				]dx =

= ∫ f (x)[1 − (xk − x)h − (x − xk −1 )h]dx −

xk −1

− ∫ fx′(x)[(xk − x)(xk−1 − x)h + (xk − x)(x − xk−1 )h]dx −

xk −1

− x∫k [fxx′′(ξ)(xk−1 − x)2 (xk − x)2h + fxx′′(ζ)(xk − x)2 (x − xk−1 )2h]dx .

xk −1

В силу того, что

1 − (xk − x)h − (x − xk−1 )h = 0 ,

(xk − x)(xk −1 − x)h + (xk − x)(x − xk−1 )h = 0 ,

вычисляемая погрешность определяется выражением

				xk							2h]dx .
ψk = − ∫[fxx (ξ)(xk−1 − x) (xk − x) 2h + fxx (ζ)(xk − x) (x − xk−1 )											2h]dx .
					′′	2			′′	2
						2				2
			xk −1
Отсюда следует оценка погрешности:
			1				xk	2		2
			1					2		2
	ψk	≤			max	′′	∫[(xk−1	− x)	(xk − x) + (xk − x) (x − xk−1 )]dx ≤
						′′
						fxx (x)
				2h x [xk −1 ,xk ]			xk −1
				2h x [xk −1 ,xk ]

143

M 2,k

≤

− xk

∫(xk−1

− x) (xk

− x)dx + ∫(xk − x) (x

−1 )dx

k −1

−1

M 2,k

≤

− xk

∫(xk−1

− x) (xk

− x)dx + ∫(xk − x) (x

−1 )dx

k −1

−1

M 2,k

h ∫(xk−1

− x) dx

+ ∫(xk−1

− x)

dx + h ∫ (xk − x)

dx − ∫(xk

− x) dx

−1

k −1

= M 2,k {h(x − xk−1 )3 3 − (x − xk−1 )4 4 + (x − xk )4 4 − h(x − xk )3 3}xk −1 2h =

= M 2,k {h4 3 − h4 4 − h4 4 + h4 3} 2h = M 2,k h3 12.

Для всего отрезка интегрирования [a,b] погрешность

12 ≤ M 2 (mh)h2

12 = M 2h2 (b − a) 12 ,

Ψ ≤ ∑ ψk ≤ h3 ∑M 2,k

(7.9)

k =1

k=1

имеет второй порядок. На рис. 7.4 показана сходимость приближенного зна-

чения заданного интеграла, полученного с помощью формул метода трапе-

ций.

2,5

1,5

0,5

1024 m

128

256

512

Рис. 7.4. Значения интеграла ∫e−x dx , вычисленные точно ( – – – – )

и по формуле метода трапеций (–ο– ) на сетках Ωm

144

7.3. Формула Симпсона1

На сегменте [xk−1, xk ] функция f(x) аппроксимируется полиномом Лагранжа (рис. 7.5). Для узлов xk−1, xk−1 2 , xk полином второй степени имеет вид

L (x) =	(x − xk−1 2 )(x − xk )f (xk−1 )			+

2	(xk−1	− xk−1 2 )(xk−1	− xk )

+ (x − xk−1 )(x − xk )f (xk−1 2 )+

(xk−12 − xk−1 )(xk−12 − xk )

+ (x − xk−1 )(x − xk−12 )f (xk ) = (xk − xk−1 )(xk − xk−12 )

[(x − xk−1 2 )(x − xk )f (xk−1 ) −

− 2(x − xk−1 )(x − xk )f (xk−1 2 )+

xk–1

xk–1/2

+(x − xk −1 )(x − xk −1/ 2 ) f (xk )].

Рис. 7.5. Схема численного

интегрирования методом Симпсона

Это означает, что в разложении (7.2) оставлены три функции:

ϕ0 (x)= 2(x − xk−1/ 2 )(x − xk

) h2 ,

(x) = − 4(x − x

k−1

)(x − x

) h2

ϕ2

(x)= 2(x − xk −1 )(x − xk−1/ 2 ) h2 .

Для определения коэффициентов C k , C k , C k

вычисляются интегралы

C0k =

ϕ0 (x)dx =

(x − xk−1/ 2 )(x − xk )dx =

xk (x − xk + xk − xk−1/ 2 )(x − xk )dx =

∫

xk −1

h xk

∫ (x − xk )

∫

(x − xk

)dx

[(x − xk ) 3 + h(x − xk )

4]xk −1 = h 6;

−

2 x

−

C k =

ϕ (x)dx = −

(x − x )(x − x )dx = −

(x − x + x − x )(x − x )dx =

∫

k−1

xk −1

= −

∫(x − xk

) dx + h ∫(x − xk )dx = −

[(x − xk ) 3

+ h(x − xk )

2]xk −1 = 2h 3

;

−

x −

k 1

1 Симпсон Томас [20.8.1710 – 14.5.1761] – английский математик. С 1713 года был профессором Вулиджской военной академии, в 1746 году был избран членом Лондонского королевского общества.

Рассматриваемый метод интегрирования иногда называют также методом парабол.

145

C2k =

xk ϕ2 (x)dx =

(x − xk−1 )(x − xk−1/ 2 )dx =

∫

xk −1

(x − xk −1/ 2 + xk −1/ 2 − xk −1 )(x − xk −1/ 2 )dx =

∫

xk −1

h xk

∫

(x − xk−1/ 2 )

dx +

∫(x − xk−1/ 2 )dx

−

2 x −

k 1

[(x − x

k−1/ 2

)3 3 + h(x − x

k −1/ 2

)2 4]xk = h 6 .

xk −1

Подстановка найденных коэффициентов позволяет получить формулу

Симпсона численного интегрирования:

f (x)dx ≈ h[f (xk−1 ) + 4 f (xk−1/ 2 ) + f (xk )] 6.

∫k

(7.10)

xk −1

Для оценки погрешности выражения (7.10) приближенного интегриро-

вания, как

ранее,

используются

формулы Тейлора

для

представления

f (x), f (xk−1 ),

(xk

) вблизи точки xk−1/ 2 :

′′′

′

′′

f (xk−1 )= f (xk−1/ 2 )− fx (xk−1/ 2 )h

2 + fxx (xk−1/ 2 )h

8 − fxxx (xk−1/ 2 )h

(ξ)h

384,

+ fxxxx

′

′′

′′′

f (xk )= f (xk−1/ 2 )+ fx (xk−1/ 2 )h

2 +

fxx (xk−1/ 2 )h

8 +

fxxx (xk−1/ 2 )h

384,

+ fxxxx (ζ)h

′

′′

f (x) = f (xk−1/ 2 )+ fx (xk−1/ 2 )(x − xk−1/ 2 ) 2 +

fxx (xk−1/ 2 )(x − xk−1/ 2 )

+ fxxx (xk−1/ 2 )(x − xk−1/ 2 )

6 + fxxxx (ς)(x − xk−1/ 2 )

24 .

′′′

Здесь принято, что ξ, ζ, ς[xk−1, xk ]. Подсчитывается интеграл в левой час-

ти формулы (7.10):

(xk−1/ 2 )x + fx (xk −1/ 2 )(x − xk−1/ 2 ) 2 + fxx (xk −1/ 2 )(x − xk −1/ 2 ) 6 +

∫ f (x)dx = [f

′

′′

xk −1

+ fxxx (xk−1/ 2 )(x − xk−1/ 2 )

(ς)(x − xk−1/ 2 )

24 =

24]xk −1 + ∫ fxxxx

′′′

xk −1

= f (xk−1/ 2 )h + fxx (xk−1/ 2 )h

(ς)(x − xk−1/ 2 ) dx

24 .

24 + ∫ fxxxx

′′

xk −1

Подсчитывается выражение в правой части (7.10):

′′

h[f (xk−1 )

+ 4 f

(xk−1/ 2 )

+ f

(xk )] 6 =

= h [2 f (xk−1/ 2 ) + fxx (xk−1/ 2 )h

4 + h

+ 4 f (xk−1/ 2 )] 6 .

(fxxxx (ζ)−

fxxxx (ξ)) 384

Определяется величина погрешности формулы Симпсона:

f (x)dx − h[f (xk−1 )+ 4 f (xk−1/ 2 )+ f (xk )] 6 =

ψk = ∫k

xk −1

146

= f (xk−1/ 2 )h + fxx (xk−1/ 2 )h

24 + ∫ fxxxx (ς)(x − xk −1/ 2 ) dx 24 −

′′

−1

′′

− h[6 f (xk−1/ 2 ) +

fxx (xk−1/ 2 )h

4 + h

6 =

(fxxxx (ζ) −

fxxxx (ξ)) 384]

fxxxxiv (ς)(x − xk−1/ 2 )4 dx 24 − h5 [fxxxxiv (ζ)− fxxxxiv (ξ)] 2304 .

= ∫k

xk −1

Оценивается модуль погрешности на сегменте [xk−1 , xk ]:

ψk

≤

∫k

fxxxxiv

(ς)(x − xk−1/ 2 )4 dx 24

+ h5

fxxxxiv (ζ)− fxxxxiv (ξ)

2304 ≤

xk −1

≤

max

f iv

(x)

(x − x

k−1/ 2

)4 dx 24 +

max

f iv

(x) h5

1152 =

x [xk −1 ,xk

]

xxxx

∫

x [xk −1 ,xk ]

xxxx

xk −1

(x)

{h5 1920 + h5

1152}= M

max

f iv

4,k

h5 720 .

x [xk −1 ,xk ]

xxxx

Для всего отрезка [a,b] интегрирования погрешность

(mh)h4

720 = M 4h4 (b − a)

Ψ = ∑ ψk ≤ h5 ∑M 4,k

720 ≤ M 4

720

(7.11)

k=1

имеет четвертый порядок. В формуле (7.11) использованы обозначения:

4,k

max

f iv

(x)

= max

f iv

(x)

x [xk −1 ,xk ]

xxxx

x [a,b]

xxxx

На рис. 7.6 отображена сходимость приближенного значения определенного интеграла, полученного с помощью формул метода Симпсона.

1,15
1,11
1,07
1,03
0,99
0,95									1024 m
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024 m

Рис. 7.6. Значенияинтеграла ∫e−x dx , вычисленныеточно

( – – – – ) ипоформулеметодаСимпсона( –ο– ) насеткахΩm

147

7.4. Формула Эйлера1

При исследовании численного интегрирования методом трапеций получена формула для вычисления погрешности на отрезке [xk−1 , xk ]:

xk	− x) (xk − x) 2h + fxx (ζ)(xk − x) (x − xk−1 ) 2h]dx .
ψk = − ∫[fxx (ξ)(xk−1	− x) (xk − x) 2h + fxx (ζ)(xk − x) (x − xk−1 ) 2h]dx .
′′	2	′′	2
	2		2
xk −1
Предполагается, что	ξ = ζ = xk −1/ 2 ,	то есть равны координате в середине

указанного сегмента. Тогда может быть приближенно вычислена погрешность интегрирования:

(xk−1/ 2 ) 2h =

ψk ≈ − ∫(xk−1 − x)2

(xk − x)dx + ∫(xk − x)2

(x − xk −1 )dx fxx′′

k −1

(7.12)

= − [h

+ h

′′

12]fxx (xk −1/ 2 ) 2h = −h

fxx (xk −1/ 2 ) 12.

Учитывая, что

f (x)dx −h[f (xk−1 ) + f (xk )] 2 ,

ψk = ∫k

xk −1

можно получить уточненную формулу интегрирования:

x∫k f (x)dx ≈h[f (xk−1 )+ f (xk )]2 − h3 fxx′′(xk−1/ 2 )12.

xk −1

Согласно теореме Лагранжа

fxx′′(xk−1/ 2 )h ≈ fx′(xk )− fx′(xk−1 ),

откуда следует формула интегрирования Эйлера:

x	f (x)dx ≈h[f (xk−1 )+ f (xk )] 2 − h2 [fx′(xk )− fx′(xk−1 )] 12 .
∫k		(7.13)

xk −1

Погрешность формулы (7.13) на отрезке [a,b] оценивается формулой, совпадающей с выражением (7.11).

1 Эйлер Леонард [4.4.1707 – 7.9.1783] – математик, механик, физик. В 1720 году поступил в Базельский университет, где получил степень магистра искусств. С 1727 года работал в Петербургской академии наук. В 1741 году занял пост директора класса математики Берлинской академии наук. С 1759 года в течение ряда лет руководил этой академией. В1766 году вернулся в Петербург, где до конца жизни подготовил около 400 научных трудов. Был избран членом Парижской академии наук и Лондонского королевского общества.

148

7.5. Оценка погрешности методом Рунге1

Для получения оценки погрешности рассматривается формула интегрирования методом трапеций. Для сегмента [xk−1, xk ] вводятся обозначения:

Jk = ∫ f (x)dx ,

xk −1

Jh,k = h[f (xk ) + f (xk−1 )]2.

В соответствии с полученным выражением (7.12) можно записать:

xk
Jk − Jh,k = ∫ f (x)dx − h[f (xk )+	f (xk−1 )] 2 = ψk ≈ −h	3	′′	,
Jk − Jh,k = ∫ f (x)dx − h[f (xk )+	f (xk−1 )] 2 = ψk ≈ −h		fxx (xk−1/ 2 ) 12	,

xk −1

или, иначе,

Jk − Jh,k ≈ Ck h3 .

(7.14)

Далее шаг уменьшается вдвое и вновь проводится интегрирование на том же сегменте [xk−1, xk ]. Общая погрешность равна

Jk − Jh / 2,k ≈ Ck (h 2)3 + Ck (h 2)3 = Ck h3 4 .

(7.15)

Вычитание формулы (7.15) из выражения (7.14) дает:

Jh / 2,k − Jh,k ≈ Ck h3 − Ck h3 4 = Ck 3h3 4 .

Это позволяет определить коэффициент

Ck ≈ 4(Jh / 2,k − Jh,k )3h3

и подсчитать погрешность вычисления интегралов:

Jk − Jh,k ≈ 4(Jh / 2,k − J Jk − Jh / 2,k ≈ (Jh / 2,k − J

h,k

)3 , )3 .

Следовательно, зная величины Jh / 2,k и Jh,k , можно получать оценки по-

грешностей при численном нахождении значения интеграла. В более общем случае (для произвольной схемы интегрирования с порядком погрешности p), можно получить следующие выражения:

Jk − Jh,k ≈ Ck h p ,

Jk − Jh / 2,k ≈ 2Ck (h2)p ,

1 Рунге Карл Давид Тольме [30.8.1856 – 3.1.1927] – немецкий физик и математик. В 1876–1877 годах учился в Мюнхенском, в 1878–1880 годах – в Берлинском университете. Работал в Берлине, Ганновере, Геттингене.

149

Ck ≈ 2 p h− p (Jh / 2,k − Jh,k )(2 p − 2).

Оценки погрешности принимают вид

Jk − Jh,k ≈ 2 p−1 (Jh / 2,k − Jh,k )(2 p−1 −1), Jk − Jh / 2,k ≈ (Jh / 2,k − Jh,k )(2 p−1 −1).

Приведенные формулы позволяют автоматизировать процесс вычисления интегралов с заданной точностью. Пусть на каждом из отрезков половинное дробление производится до тех пор, пока не выполнится условие

ψk = Jk − Jh / 2,k ≈ (Jh / 2,k − Jh,k )(2 p−1 −1)≤ εh(b − a), k =1,m .

Тогда общая погрешность интегрирования

	m		m	(b − a)= ε.
J − Jh / 2	= ∑	ψk	≤ ε∑h
J − Jh / 2	= ∑	ψk	≤ ε∑h
	k=1		k=1

Таким образом, вычисления с переменным шагом позволяют проводить численное интегрирование с заданной точностью при наименьших затратах.

7.6. Квадратурные формулы интерполяционного типа

Предполагается, что функция f(x) на всей сеточной области Ωm аппрокси-

мируется полиномом Лагранжа:

−1 )(x − xk+1 ) … (x − xm )

f (xk ).

Lm (x) = ∑ (x − x0 ) … (x − xk

k=0

(xk − x0 ) … (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) … (xk − xm )

Сопоставлением полученного выражения с формулой (7.2) определяется

явный вид для функций ϕk (x):

ϕk (x) =

(x − x0 ) … (x − xk−1 )(x − xk+1 ) … (x − xm )

, k =

0,m

(xk − x0 ) … (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) … (xk − xm )

Весовые коэффициенты формулы (7.3) определяются явным образом:

(x − x0 ) … (x − xk −1 )(x − xk +1 ) … (x − xm )

Ck = ∫ϕk (x)dx = ∫

dx .

(7.16)

− x

) … (x − x

k −1

)(x

− x

) … (x − x

)

k +1

Для подсчета погрешности квадратурной формулы интерполяционного

типа используется оценка погрешности интерполяционного полинома:

f (x) − L (x) = f (m+1)(ξ)ω(x) (m +1)!, ξ [a,b],

x…x

		ω(x) = (x − x0 )(x − x1 ) … (x − xm ).
Погрешность формулы приближенного интегрирования на отрезке [a,b]
b	m	b	b
Ψ = ∫ f (x)dx − ∑Ck f (xk ) = ∫[f (x)− Lm (x)]dx = ∫ fx(…mx+1)(ξ)ω(x)dx (m +1)!,
a	k=0	a	a

150

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4315 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022336.71 Кб11Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине..pdf
#
15.11.2022828.38 Кб7МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО К ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭЛЕКТРОПРИВОД».pdf
#
15.11.2022828.38 Кб2Методическое руководство к выполнению курсовой работы по дисциплине..pdf
#
15.11.202211.77 Mб22Методология научных исследований в сварке..pdf
#
15.11.20224.74 Mб29Методы выделения очистки и идентификации органических веществ..pdf
#
15.11.20223.42 Mб17Методы вычислительной математики..pdf
#
15.11.20225.46 Mб39Методы и инструменты поиска инновационных решений..pdf
#
15.11.20221.38 Mб7Методы и механизмы инноваций и предпринимательства..pdf
#
15.11.20222.42 Mб1Методы и модели в экономике Часть 1..pdf
#
15.11.202214.5 Mб7Методы и средства диагностики несущей способности изделий из компози..pdf
#
15.11.202211.79 Mб23Методы и средства защиты человека от опасных и вредных производственн..pdf