11.2.5. Схема для многомерного уравнения
Рассматривается дифференциальное уравнение параболического типа
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′′ |
′′ |
(t, x, y), (t, x, y) G |
|
|
(11.19) |
ut = η(uxx |
+ uyy )+ f |
|
|
на прямоугольнике G = [0,T ]×[0, L]×[0, H ] с краевыми условиями |
|
|
|
|
|
u(0, x, y)=U 0 (x, y); |
|
|
|
u(t,0, y)=U 1 (t, y), |
|
u(t, L, y)=U 2 (t, y); |
|
|
(11.20) |
u(t, x,0)=U 3 (t, x), |
|
u(t, x, H )=U 4 (t, x) |
|
|
|
В области G используется разностная сетка |
|
|
|
Ω = {(ti , x j , yk ) |
|
ti = iτ, i = |
|
; x j = jhx , j = |
|
; |
yk = khy , k = |
|
}, |
|
0,m |
0,n |
0,l |
с постоянными шагами |
интегрирования по каждой |
переменной: |
τ =T m , |
hx = L n , hy = H l. Вводятся обозначения |
|
|
|
Λxu jk = η(u j−1k − 2u jk |
+ u j+1k ) hx2 , |
|
Λyu jk = η(u jk −1 − 2u jk + u jk+1 ) hy2 |
(11.21) |
для разностных операторов вторых производных по соответствующим направлениям. Для дифференциального уравнения (11.19) записывается разностный аналог с «весами» (рис. 11.6):
i, j, k
t
j – 1
j + 1
y
k+1
k–1
i–1,j,k
x
Рис. 11.6. Шаблон для аппроксимации двумерного дифференциального уравнения параболического типа
|
|
|
|
|
|
|
+ |
u jk − u jk |
τ = σ |
Λx u jk + Λy u jk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (1 − σ)(Λxu jk |
+ Λyu jk ). |
|
(11.22) |
В развернутой форме разностное уравнение (11.22) имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
u jk − u jk |
τ = ση u j−1k − 2u jk + u j+1k |
hx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ |
+ u jk−1 |
− 2u jk + u jk+1 |
|
hy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (1 − σ)η[(u − − 2u + u + ) h2 +
j 1k jk j 1k x
+ (u − − 2u + u + ) h2 ]
jk 1 jk jk 1 y
и содержит по пять неизвестных значений. Это означает, что для определения всех искомых величин в узлах сеточной области Ω при очередном шаге по времени необходимо решить систему (m + 1)×(n +1) линейных алгебраических уравнений с заданными граничными условиями.
В соответствии с принятой терминологией схема (11.22) при σ = 0 является явной, при σ = 1 – неявной. Погрешность аппроксимации дифференциального уравнения (11.19) схемой (11.22) имеет порядок O(τ, hx2 , hy2 ) при произволь-
ном значении коэффициента σ. В случае σ = 1/2 (схема Крэнка–Николсона) порядок погрешности аппроксимации по шагу τ повышается до O(τ2 , hx2 , hy2 ). Схема (11.22) устойчива при выполнении условия
hx2hy2 
2ητ(hx2 + hy2 )≥1 − σ.
11.2.6. Схема переменных направлений
Рассматривается экономичная разностная продольно-поперечная схема, снижающая необходимые ресурсы вычислительной техники для нахождения
решения |
пространственной |
задачи |
i, j, k |
|
(рис. 11.7). Схема первого полушага: |
|
t |
|
~ |
) |
~ |
|
i – 1/2, j, k |
|
|
2(u jk − u jk |
τ = Λxu jk + |
|
+ Λyu jk |
|
~ |
(11.231) |
|
|
+ f jk . |
|
j + 1 |
Схема второго полушага: |
y j – 1 |
|
~ |
|
~ |
+ |
|
k+1 |
2 u jk − u jk |
|
τ = Λxu jk |
k–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
(11.232) |
|
i–1,j,k |
|
+ Λy u jk |
+ f jk. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
Разностные операторы в этих урав- |
Рис. 11.7. Шаблон для аппроксимации |
нениях определяются формулой (11.21); |
пространственного дифференциального |
символ ~ (волна) |
относится к проме- |
уравнения параболического типа схемой |
жуточному временному слою ti−1 / 2 . |
переменных направлений |
|
|
В полном виде разностная схема для первого полушага записывается сле- |
дующим образом: |
|
|
|
2 ~ |
~ |
−u jk ) |
|
~ |
~ ~ |
2 |
2(u jk |
τ = η(u j−1k − |
2u jk +u j+1k ) hx + η(u jk −1 − 2u jk +u jk +1 ) hy + f jk , |
~ |
2 |
~ |
|
2 |
~ |
|
2 |
)= |
u j−1k (− η |
hx |
)+ 2u jk (1 τ + η |
hx |
)+ u j+1k (− η |
hx |
= u jk −1 (η hy )+ 2u jk (1 |
τ − η hy )+ u jk+1 |
(η hy |
)+ f jk. |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
~ |
Последнее выражение представляет собой систему алгебраических уравнений относительно неизвестных значений искомой функции для временного слоя ti–1/2, причем все неизвестные величины лежат вдоль одной координатной оси. Это означает, что вместо системы (m +1)×(n +1) уравнений вида (11.22) на первом полушаге разностной схемы (11.231) следует решать n + 1 систему, каждая из которых содержит по m + 1 линейному алгебраическому уравнению, а на втором полушаге для схемы (11.232) – m + 1 систему по n + 1 линейному алгебраическому уравнению в каждой. Это приводит к существенной экономии вычислительных ресурсов, и, кроме этого, позволяет распараллелить расчеты, то есть использовать преимущества транспьютерных и многопроцессорных вычислительных систем.
Для каждого полушага погрешность аппроксимации оценивается как O(τ, hx2 , hy2 ). На двух последовательных полушагах общая погрешность (за счет
погашения |
погрешностей разного знака каждого полушага) |
составляет |
O(τ2 , h2 |
, h2 ). |
Разностная схема (11.23) безусловно устойчива по |
начальным |
x |
y |
|
|
данным и по правой части.
11.2.7. Метод расщепления
Пусть решение u(t, x, y) уравнения (11.19) известно для некоторого момента времени ti. Решение для следующего момента времени ti+1 раскладывается в ряд Тейлора:
u(ti+1, x, y)= u(ti , x, y)+ ut′(ti , x, y)τ + O(τ2 ).
Используются обозначения для дифференциальных операторов:
A = η∂2 ∂x2 , |
A = η∂2 |
∂y2 , A = η(∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 )= A + A . |
x |
y |
x |
y |
Искомое решение с учетом выражения (11.19) записывается в виде |
u(ti+1, x, y) = u(ti , x, y)+ Au(ti , x, y)τ + O(τ2 )= (E + τA)u(ti , x, y)+ O(τ2 ). |
(11.24) |
Рассматриваются две вспомогательные задачи: |
|
′ |
′′ |
v(ti , x, y)= u(ti , x, y), |
(11.25) |
vt = ηvxx = Axv, |
′ |
|
′′ |
|
, x, y). |
(11.26) |
wt |
= ηwyy = Ay w, w(ti , x, y)= v(ti 1 |
|
|
|
+ |
|
[ti ,ti+1 ] для функ- |
В задаче (11.25) |
начальным условием на сегменте |
ции v(t, x, y) выступает известное решение u(ti , x, y); в задаче (11.26) начальным условием для w(t, x, y) на том же отрезке – найденная из решения задачи (11.25) функция v(ti+1, x, y). Для функции w(t, x, y) записывается ряд Тейлора: w(ti+1, x, y)= w(ti , x, y)+ wt′(ti , x, y)τ + O(τ2 ).
Или, принимая во внимание уравнение (11.26) с начальным условием,
w(t |
i+1 |
, x, y)= w(t |
, x, y)+ A w(t |
|
, x, y)τ + O(τ2 )= (E + τA |
)w(t |
, x, y)+ O(τ2 )= |
|
|
|
i |
|
|
|
y i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
i |
|
|
|
|
|
|
|
= (E + τA |
)v(t |
i+1 |
, x, y)+ O(τ2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
дальнейших |
преобразований |
используется |
|
разложение решения |
v(ti+1, x, y) в ряд Тейлора возле ti |
и уравнение (11.25) с соответствующим на- |
чальным условием: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(ti+1, x, y) = (E + τAy )[v(ti , x, y)+vt′(tk , x, y)τ+O(τ2 )] +O(τ2 )= |
|
|
|
= (E + τA |
y |
)[(E + τA |
|
)v(t |
, x, y)+ O(τ2 )] + O(τ2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполнение алгебраических преобразований приводит к формуле |
|
|
w(t |
i+1 |
, x, y) = (E + τA |
y |
|
+ τA + τ2 A A |
y |
)v(t |
, x, y)+O(τ2 )= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
i |
|
|
|
|
|
|
|
= (E + τA + τA |
)u(t |
i |
, x, y) |
+ O(τ2 )= (E + τA)u(t |
i |
, x, y)+ O(τ2 ). |
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнение правых частей последнего выражения и соотношения (11.24) позволяет сделать вывод, что
w(ti+1, x, y)= u(ti+1, x, y)+ O(τ2 ).
Это означает, что последовательное решение двух одномерных задач (11.25) и (11.26) с соответствующими начальными условиями позволяет получить решение исходной двумерной задачи (11.19) с точностью до O(τ2 ).
11.3. Уравнения гиперболического типа
Механические колебания тонкой однородной струны плотностью ρ, растянутой усилием F, описываются дифференциальным уравнением гиперболического типа
|
′′ |
2 |
′′ |
|
+ f (t, x), λ = F ρ |
|
|
|
utt |
= λ uxx |
|
|
с начальными |
u(0, x)=U (x), ut′(0, x)=V (x) |
|
|
|
|
|
и граничными условиями |
|
|
|
|
|
|
|
u(t,0) =U 0 (t), u(t, L)=U L (t). |
|
|
11.3.1. Схема «крест» |
|
|
|
|
|
|
Для построения |
разностного |
аналога дифференциального |
ния (11.27) используется шаблон, представленный на рис. 11.4, |
|
|
|
2 |
|
2 |
− 2u j + u j+1 ) h |
2 |
+ f j. |
u j − 2u j + u j τ |
|
= λ (u j−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.27)
(11.28)
(11.29)
уравне-
(11.30)
Для оценки погрешности аппроксимации уравнения (11.27) этой разностной схемой используются разложения решения в ряды Тейлора:
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
2 |
′′′ |
|
|
|
|
3 |
iv |
|
|
|
|
4 |
24 +O(τ |
5 |
), |
|
u(ti+1, x j )= u(ti , x j )+ut (ti , x j )τ+utt (ti , x j )τ |
|
2 +uttt (ti , x j )τ |
|
|
6 +utttt (ti , x j )τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
2 |
′′′ |
|
|
|
|
|
3 |
iv |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
u(ti−1, x j )= u(ti , x j )− ut (ti , x j )τ + utt (ti , x j )τ |
|
2 − uttt (ti , x j )τ |
|
6 + utttt (ti , x j )τ |
|
|
24 + O(τ |
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
2 |
′′′ |
|
|
|
|
3 |
iv |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
u(ti , x j+1 )= u(ti , x j )+ux (ti , x j )h +uxx (ti , x j )h |
2 +uxxx (ti , x j )h |
(ti , x j )h |
24 +O(h |
), |
|
|
|
|
|
6 +uxxxx |
|
|
|
u(t |
, x |
j−1 |
)= u(t |
, x |
j |
)− u′ |
(t |
, x |
j |
)h + u′′ |
(t |
, x |
j |
)h2 |
2 − u′′′ |
(t |
, x |
j |
)h3 |
6 + uiv |
(t |
, x |
j |
)h4 |
24 + O(h5 ). |
|
i |
|
i |
|
x |
i |
|
xx |
i |
|
|
|
|
xxx |
i |
|
|
|
|
xxxx |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена узловых значений в выражении (11.30) точным решением с помощью этих разложений позволяет оценить погрешность аппроксимации
ψij = [utt′′(ti , x j )+uttttiv (ti , x j )τ2 
12 +O(τ3 )]−λ2 [u′′xx (ti , x j )+uxxxxiv (ti , x j )h2 
12 +O(h3 )]− f j .
Сучетом исходного уравнения (11.27) погрешность аппроксимации уравнения (11.27) разностной схемой (11.30) определяется выражением
ψij = uttttiv (ti , x j )τ2 
12 − λ2uxxxxiv (ti , x j )h2 
12 + O(h3 ,τ3 ).
Из последнего соотношения следует, что искомая погрешность аппроксимации имеет второй порядок малости относительно шагов интегрирования τ и h, то есть ψij = O(h2 ,τ2 ).
Полученная явная разностная схема (11.30) является трехслойной. В начальный момент времени t = 0 решение известно из начального условия (11.28).
Для следующего временного слоя (t = τ), используя второе начальное условие, можно записать выражение
[u j −U (x j )]
τ =V (x j ),
из которого следует соотношение для нахождения решения на втором временном слое,
u j = U (x j )+ τV (x j ). |
(11.31) |
Известное для двух начальных слоев решение с помощью формул (11.30) позволяет найти искомые узловые значения uˆ j для третьего слоя, и так далее.
Формула (11.31) имеет первый порядок аппроксимации начального условия (11.28) по шагу τ, что выше погрешности аппроксимации разностной схемы (11.30). Для построения более точной аппроксимации может быть использован прием, рассмотренный ранее,
u(τ, x j )= u(0, x j )+ ut′(0, x j )τ + utt′′(0, x j )τ2 
2 + O(τ3 )=
=U (xj ) +V (xj )τ + λ2U′′(xj ) + f (0, xj ) τ2 / 2 + O(τ3 ),
сиспользованием формул (11.27) и (11.28). Отсюда получаются разностные соотношения для искомых узловых значений второго временного слоя,
u j =U (xj )τ + λ2U′′(xj ) + f (0, xj ) τ2 / 2. |
(11.32) |
Для оценки устойчивости схемы (11.30) по отношению к возмущению начальных данных используется метод Неймана. Разностная схема, записанная относительно погрешностей, имеет вид
|
|
|
|
τ |
2 |
2 |
(δu j−1 |
− 2δu j + δu j+1 ) |
h |
2 |
= 0. |
|
δu j − 2δu j + δu j |
|
− λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимается, что
|
ikxj |
, |
|
ikx j |
, |
|
2 |
|
2 |
|
ikx j |
. |
δu j = ak e |
|
δu j = ρk δu j = ρk ak e |
|
δu j = ρk |
δu j |
= ρk ak e |
|
Подстановка этих формул в предыдущее выражение, |
|
|
|
|
(ρk2 − 2ρk |
+1)eikxj τ2 − λ2 (ρk eik (x j −h) |
− 2ρk eikxj + ρk eik (x j +h)) |
h2 = 0, |
[(ρk2 − 2ρk +1)− ρk λ2τ2 (e−ikh |
− 2 + eikh ) |
h2 ]eikxj |
= 0, |
|
|
|
|
ρk2 |
− ρk [2 + λ2 τ2 (e−ikh − 2 + eikh ) h2 ] |
+1 = 0, |
|
|
|
приводит к квадратному уравнению относительно коэффициента роста гармоник ρk ,
ρ2k − 2ρk [1 − 2λ2τ2 sin2 (kh
2)
h2 ]+1 = 0.
Корни этого уравнения равны
ρk1 = [1 − 2λ2τ2 sin2 (kh
2)
h2 ]+ 
(1 − 2λ2τ2 sin2 (kh
2)
h2 )2 −1,
ρk 2 = [1 − 2λ2τ2 sin2 (kh
2)
h2 ]− 
(1 − 2λ2τ2 sin2 (kh
2)
h2 )2 −1.
Поскольку произведение корней ρk1ρk 2 =1, разностная схема (11.30) будет устойчивой лишь в случае ρk1 =1 и ρk 2 =1 для всех гармоник. Для квадратно-
го уравнения с действительными коэффициентами это равносильно требованию, чтобы корни образовывали комплексно-сопряженную пару. Отсюда следует, что
[1 − 2λ2τ2 sin2 (kh
2)
h2 ]2 ≤1, 1 − 2λ2τ2 sin2 (kh
2)
h2 ≤1,
− 2 ≤ −2λ2τ2 sin2 (kh
2)
h2 ≤ 0.
Поскольку правая часть неравенства выполняется тождественно, следует определить условия, при которых справедлива левая часть, то есть
λ2τ2 sin2 (kh
2)
h2 ≤1,
λτsin(kh
2)≤ h .
Наибольшее значение множителя sin2 (kh
2), равное 1, позволяет определить ограничение на шаг интегрирования по времени, τ < h
λ , обеспечивающее устойчивость1 разностной схемы (11.30).
11.3.2. Разностная схема с «весами»
Разностный аналог дифференциального уравнения (11.27) для шаблона, показанного на рис. 11.8, а, имеет вид
|
|
+ |
(11.33) |
j+1 − 2u j + u j−1 |
|
|
|
|
|
1 В последнем выражении стоит знак строгого неравенства, поскольку согласно [15], при λτ = h схема обладает слабой неустойчивостью счета.
+ (1 − 2σ)(u − 2u + u |
|
)+ σ u j 1 |
− 2u j + u j 1 |
h2 + f . |
|
|
|
|
|
|
|
|
j−1 |
j |
j+1 |
+ |
− |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь σ [0,1
2] – весовой коэффициент. При σ = 0, как частный случай, получается схема «крест» (11.30). Для σ =1
2 выражение (11.33) преобразуется к виду, соответствующему шаблону на рис. 11.8, б,
|
|
|
|
τ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
2h |
2 |
+ f j . (11.34) |
u j − 2u j + u j |
|
= λ |
u j−1 |
− 2u j + u j+1 |
|
+ u j+1 |
2u j + u j−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
i+1 |
i+1 |
i |
i |
i–1 |
i–1 |
x |
x |
j – 1 j j + 1 |
j – 1 j j + 1 |
а |
б |
Рис. 11.8. Шаблоны с «весами» для аппроксимации
дифференциального уравнения гиперболического типа
Рассмотренные схемы устойчивы по начальным данным при выполнении условия
λ2τ2 (1 − 4σ) h2 ≤1. |
(11.35) |
Очевидно, что в случае σ ≥1
4 схема (11.33) абсолютно устойчива. При σ <1
4 условие (11.35) преобразуется к виду
λτ ≤ h
1 − 4σ .
11.3.3. Схема для многомерного уравнения
Уравнение (11.27) является частным случаем пространственного диффе-
ренциального уравнения гиперболического типа |
|
′′ |
2 |
′′ |
′′ |
′′ |
(11.36) |
utt |
= λ |
(uxx + uyy |
+ uzz )+ f (t, x, y, z), x, y, z G |
с начальными |
|
|
|
|
|
u(0, x, y, z)=U (x, y, z), |
ut′(0, x, y, z) =V (x, y, z), x, y, z G |
(11.37) |
268
и граничными условиями
u(t, x, y, z) =U∂Ω (t, x, y, z), x, y, z ∂Ω. |
(11.38) |
Как и в случае с пространственным уравнением параболического типа,
вобласти G строится разностная сетка (рис. 11.9)
Ω={(ti , xj , yk , zq )| ti = iτ, i = 0, m; x j = jhx , j = 0, n; yk = khy , k = 0,l; z j = qhz , q = 0, p},
|
z |
|
|
|
|
причем шаги интегрирования постоянны |
|
|
|
|
|
по каждому направлению, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ = T m, hx = L n, |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hy = H l , hz =W p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для разностных операторов вторых |
|
|
|
|
|
|
производных по соответствующим на- |
|
|
|
|
|
|
правлениям вводятся обозначения: |
|
|
|
|
|
|
Λ |
x |
u |
jkq |
= λ2 (u |
j−1kq |
− 2u |
jkq |
+ u |
j+1kq |
) |
h2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
t |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− 2u jkq + u jk+1q ) |
2 |
,(11.39) |
|
|
|
|
Λyu jkq |
= λ (u jk−1q |
hy |
Рис. 11.9. Шаблон дляаппроксимации |
|
Λzu jkq |
= λ2 (u jkq−1 |
− 2u jkq + u jkq+1 ) |
hz2 |
|
|
|
пространственного дифференциального |
|
|
|
Разностный |
аналог для пространст- |
|
уравнениягиперболического типа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
венного |
дифференциального |
|
уравне- |
ния (11.36) на шаблоне, соответствующем рис. 11.9, имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
τ |
2 |
= Λxu jkq + Λyu jkq + Λzu jkq |
+ f jkq = |
∑Λαu jkq |
+ f jkq . |
(11.40) |
u jkq − 2u jkq + u jkq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α=x, y,z |
|
|
|
|
|
|
Порядок аппроксимации этой схемой дифференциального уравнения (11.36) определяется величиной O(τ2 , hx2 , hy2 , hz2 ). Решение разностного уравнения (5.40) устойчиво при выполнении обобщенного критерия Куранта
τ <1 λ hx−2 + hy−2 + hz−2 . |
(11.41) |
11.3.4. Факторизация разностной схемы с «весами»
Рассматривается разностный аналог пространственного дифференциального
уравнения гиперболического типа (11.36):
|
|
|
|
τ |
2 |
= |
∑ |
|
|
− 2σ)u jkq |
u jkq − 2u jkq + u jkq |
|
Λα σu jkq + (1 |
|
|
|
|
|
|
|
α=x, y,z |
|
|
|
где σ [0, 1
2].
|
|
+ f jkq , |
(11.42) |
+ σu jkq |
|
|
|
|
Схема (11.42) преобразуется к виду
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
u jkq − στ |
|
∑Λα u jkq = 2u jkq + (1 − 2σ)τ |
|
∑Λαu jkq − u jkq + στ |
|
∑Λα u jkq + f jkq , |
|
|
|
α=x, y,z |
|
|
|
|
|
α=x, y,z |
|
|
α=x, y,z |
|
|
2 |
|
∑Λ |
|
|
− 2σ)τ |
2 |
|
|
2 |
|
|
E − στ |
|
|
α u jkq = 2E + (1 |
|
|
∑Λα u jkq − E − στ |
|
∑Λα u jkq + f jkq. |
|
|
α=x, y,z |
|
|
|
|
α=x, y,z |
|
|
α=x, y,z |
|
Вводятся обозначения:
B = E − στ2 ∑Λα = E − στ2Λx − στ2Λy − στ2Λz ,
α=x, y,z
|
− 2σ)τ |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
Φ jkq = 2E + (1 |
|
∑Λα u jkq − E − στ |
|
∑Λα u jkq + f jkq . |
|
|
|
α=x, y,z |
|
|
|
α=x, y,z |
|
С учетом этого выражения разностную схему (11.42) можно представить как систему линейных алгебраических уравнений относительно узловых значе-
ний u jkq искомой функции:
Bu jkq = Φ jkq .
Произведение трех операторов
(E − στ2Λx )(E − στ2Λy )(E − στ2Λz )= E − στ2Λx − στ2Λy − στ2Λz + O(τ4 )
аппроксимирует оператор B с погрешностью O(τ4 ). Иными словами возможно расщепление оператора B на три одномерных оператора,
|
|
(11.43) |
Bu jkq ≈ (E − στ2Λx )(E − στ2 |
Λy )(E − στ2Λz )u jkq. |
С помощью обозначений |
|
|
|
, Wjkq = (E − στ2Λy )Vjkq |
|
Vjkq = (E − στ2Λz )u jkq |
|
полученное выражение можно переписать в виде системы линейных алгебраических уравнений
(E − στ2Λx )Wjkq = Φ jkq , |
|
|
|
(11.44) |
(E − στ2Λy )Vjkq =Wjkq , (E − στ2Λz )u jkq =Vjkq. |
Последовательное решение этих трех систем уравнений позволяет полу- |
чать узловые значения |
|
|
|
|
u jkq , то есть искомое решение задачи. Факторизованная |
система имеет погрешность аппроксимации O(τ2 , h2 |
, h2 |
, h2 ). Условие устойчи- |
|
x |
y |
z |
|
вости разностной схемы:
270
