Методы вычислительной математики

Прямой ход метода прогонки выполняется в следующей последовательности. Записывается выражение (9.43) для k = 0,

y0 = u1 y1 + v1 ,

и сравнивается с разностным аналогом граничного условия

y0 = α1 y1 (α1 − α0h) − Ah(α1 − α0h)

сеточной задачи (9.42). Отсюда можно вычислить начальные значения

Далее используются формулы (9.44) для определения всех остальных величин uk , vk , k = 2,m . Для выполнения обратного хода метода прогонки формула (9.43) при k = m – 1, то есть

ym−1 = um ym + vm ,

подставляется в разностный аналог второго граничного условия системы (9.42), ym =β1 (um ym + vm )(β1 + β0h)+ Bh(β1 + β0h),

ym [1 −β1um (β1 + β0h)]= (β1vm + Bh)(β1 + β0h),

ym = (β1vm + Bh)(β1 + β0h −β1um ).

Далее, с использованием соотношения (9.43), определяются все искомые величины yk , k = 0,m −1.

Метод прогонки можно использовать в тех случаях, когда в приведенных формулах знаменатели дробей не обращаются в нули. В частности, можно избежать равенства нулю выражения α1 − α0h в формулах (9.45) подбором соответствующего значения шага интегрирования h. При выполнении условий

221

зательства этого утверждения оцениваются значения переменных uk , k =1,m . Согласно условиям (9.46)

u1 = α1 (α1 − α0h) ≤1.

Предполагается, что uk ≤1 для произвольного значения k. Тогда, с учетом соотношений (9.46), получается неравенство

2Bk + Ck uk ≥ 2Bk − Ck uk = 2Bk − Ck uk ≥ 2Bk − Ck ≥ Ak > 0 ,

uk+1 = Ak 2Bk + Ck uk ≤1.

Тем самым по индукции показано, что все uk ≤1, k =1,m . Согласно условиям (9.46) β1 < β1 + β0h . Тогда и знаменатель

β1 + β0h −β1un ≥ β1 + β0h − β1un = β1 + β0h − β1 un ≥ β1 + β0h − β1 > 0

отличен от нуля.

Контрольные вопросы и задания

9.1. Поясните необходимость каждого из требований, предъявляемых к системам функций ψk и ϕk в методах моментов, Галеркина, Ритца и наи-

меньших квадратов.

9.2.При каких условиях полная система функций будет одновременно замкнутой?

9.3.Решите задачу из примера 9.4 с помощью системы пробных функций

ϕ1 (x) = (x −1)x, ϕ2 (x)= (x −1)2 x, …, ϕk (x)= (x −1)k x.

9.4. Выражение (9.33) в методе Ритца определяет лишь условие стационарности функционала. При каких условиях функционал Φ(yn ) будет иметь

единственный минимум?

9.5. В методе Ритца приближенное решение строится на основе функций из класса C[1a,b], которые в общем случае не являются дважды дифференцируе-

222

мыми, что требуется для удовлетворения дифференциального уравнения (9.16). Поясните, в каком смысле в этом методе понимается сходимость приближенного решения к точному.

9.6. Решите задачу из примера 9.4, используя систему пробных функций

9.7. Погрешность аппроксимации (9.41) определяется не только степенью шага интегрирования h, но и ограниченностью значений производ-

(9.23) будет иметь на отрезке [a, b] ограниченные значения производных до четвертого порядка включительно.

9.8.Предложите свою разностную схему аппроксимации уравнения (9.23)

иоцените ее погрешность.

9.9.Оцените порядок аппроксимации граничных условий (9.24) разностным аналогом (9.37). Предложите способ повышения порядка аппроксимации граничных условий.

9.10.Сопоставьте по эффективности метод Гаусса и метод прогонки для решения системы линейных алгебраических уравнений сеточной задачи.

9.11.Теорема 9.2 доказана для задачи (9.16) с граничными условиями (9.17). Установите условия разрешимости системы алгебраических уравнений (9.19) для задачи (9.16) с граничными условиями более общего вида (9.13).

223

Здесь и далее обозначено: θ = θ(t, x) – температурное поле, t – время, t [0, ∞) ,

λ, c, ρ – коэффициенты теплопроводности, теплоемкости и плотности материала стержня, η = λcρ – коэффициент температуропроводности, x – продольная

координата, x [0, L]. Для уравнения (10.2), записанного в виде

0 θ′tt′ + 2 0 θ′tx′ − ηθ′xx′ + θ′t = 0,

дискриминант

= a122 (t,x)− a11(t,x)a22 (t,x) = 0 − 0 (− η) = 0,

то есть уравнение относится к параболическому типу. Единственность решения уравнения (10.2) обеспечивается начальными

Для получения непрерывного решения задачи (10.2)–(10.4) необходима согласованность краевых условий,

Θ(0) = θ(0,0) = θ0 (0), Θ(L) = θ(0, L) = θL (0).

Ограничения (10.4) на решение задачи (10.2) относятся к граничным условиям первого рода. Для задачи теплопроводности может быть записано граничное условие (например, на правом конце стержня) второго рода

где q(t) – тепловой поток2 через торцевую поверхность. При теплообмене между торцевой поверхностью стержня и внешней средой, имеющей температуру θср, тепловой поток определяется выражением

что приводит к граничному условию третьего рода

1В дальнейшем совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями.

2Поток считается положительным, если он направлен внутрь тела.

225

Очевидно, что граничные условия (10.4) и (10.5) можно рассматривать как частные случаи условия (10.6).

10.1.2. Уравнение свободных поперечных колебаний струны

В предположении о малости колебаний поведение нерастяжимой струны, находящейся под действием растягивающей силы F, описывается дифференциальным уравнением

где u(t, x) – вертикальное перемещение точек струны. Дискриминант

= a122 (t,x)− a11(t,x)a22 (t,x)= 0 −1 (− Fρ)= Fρ > 0,

то есть уравнение относится к гиперболическому типу. Единственность решения уравнения (10.7) обеспечивается начальными

10.1.3. Уравнение стационарной диффузии

Перенос и рассеяние примеси движущимся потоком (жидкости или газа) в плоской (двумерной) области G (вертикальной или горизонтальной) с границей ∂G моделируются уравнением диффузии

где C = C(x, y) – концентрация примеси, vx, vy – компоненты вектора скорости потока, μ – коэффициент диффузии. Дискриминант уравнения

= a122 (x,y)− a11 (x,y)a22 (x,y) = 0 − μ μ = −μ2 < 0

226

позволяет отнести соотношение (4.11) к эллиптическому типу. Граничные условия для уравнения (10.11) могут записываться в форме условий:

10.2. Дифференциальные уравнения для функций нескольких переменных

При классификации дифференциальных уравнений второго порядка, записанных в канонической форме для функций n переменных, используется следующее правило. Дифференциальное уравнение в частных производных

от нуля и имеют один и тот же знак.

Уравнение стационарной диффузии (при отсутствии движения среды)

Cxx′′ + C′yy′ + Czz′′ = 0

является эллиптическим. Уравнение нестационарной теплопроводности

θ′t − η[θ′xx′ + θ′yy′ + θ′zz′ ]= 0

является параболическим. Уравнение малых поперечных колебаний мембраны utt′′ − F(u′xx′ + u′yy′ )ρ = 0

всюду гиперболично.

10.3. Метод Фурье разделения переменных

Метод разделения переменных рассматривается на примере решения задачи теплопроводности (10.2)–(10.4) с однородными граничными условиями при дополнительном предположении, что η = λcρ =1,

227

T(t) – функция только времени t, а X(x) – функция только координаты x. Решение (10.14) подставляется в дифференциальное уравнение (10.13),

X (x)Tt′(t) −T (t)X xx′′ (x) = 0, Tt′(t)T (t) = X xx′′ (x) X (x).

Поскольку левая часть последнего выражения зависит только от t, а правая – только от x, равенство возможно лишь в случае

Tt′(t)T (t)= X xx′′ (x) X (x)= −κ2 = const .

В результате получено два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Tt′(t) + κ2T(t)= 0, X xx′′ (x) + κ2 X (x)= 0,

решения которых известны:

T (t) = C1e−κ2t ,

X (x)= C2 sin(κx)+ C3 cos(κx).

Здесь C1, C2, C3 – постоянные интегрирования. С использованием обозначений A = C1C2 , B = C1C3 решение (10.14) представляется в виде

θ(t, x)= e−κ2t [Asin(κx)+ Bcos(κx)].

ДляопределенияпостоянныхA иB используютсяграничныеусловия(10.13):

θ(t,0) = e−κ2t [A 0 + B 1]= 0, B = 0 ;

θ(t, x)≡ 0 , что противоречит начальному условию задачи (10.13). Выполнение равенства

sin(κL) = 0

возможно в случае κL = πp, откуда получается κp = πpL, p =1,2,…. Таким образом, получено множество решений вида (10.14):

θp (t, x) = Ape−π2 p2tL2 sin(πpxL), p =1,2,….

228

В силу линейности дифференциального уравнения (10.13) выражение

∞

∑ Ape−π2 p2t L2 sin(πpxL)

p=1

также является решением задачи. При t = 0 этот ряд должен удовлетворять начальному условию (10.13). Иными словами, следует так подобрать коэффициенты Ap, чтобы

∞

∑ Ap sin(πpxL)= Θ(x).

p=1

Функция Θ(x) может быть представлена разложением в ряд Фурье:

∞

Θ(x)= ∑Φp sin(πpxL),

p=1

где Φp = 2∫L Θ(x)sin(πpxL)dxL . Сравнение двух последних выражений позво-

0

ляет получить решение задачи (10.13) в окончательном виде:

С помощью полученного выражения может быть записано приближенное решение этой задачи:

p=1

Вчастном случае при Θ(x)= Θ0 = const

Ap = 2Θ0 ∫L sin(πpxL)dx L = 4Θ0 πp, p =1,3,5,…

0

и формула (10.15) принимает более простой вид:

m

∑e−π2 p2t L2 sin πpx L p .

πp=1,3,5,…

10.4.Основные понятия и определения теории разностных схем) ( )( ][4Θ

Решение одномерной задачи (10.2)–(10.4) разыскивается в области

G ={(t, x) t [0,T ], x [0, L]}.

Для построения разностного аналога дифференциального уравнения (10.2) в частных производных используется сеточная область (рис. 10.1):

229

Рис. 10.1. Шаблоны для построения разностных аналогов производных

Для дифференциального уравнения (10.2) используются разностные аналоги первой и второй производных (см. рис. 10.1, а):

θ′t ≈ (θij+1 − θij )τ,

θ′xx′ ≈ (θij+1 − 2θij + θij−1 )h2.

Во всех внутренних узлах области Ω дифференциальное уравнение заменяется разностным аналогом:

Если для i-го временного слоя решение θij , j = 0,n известно (например, для i = 0 известно распределение функции θ(0, x)= Θ(x) – начальное условие), то из

выражения (10.16) можно определить все узловые значения искомой функции для i + 1 слоя1:

θij+1 = θij + τη(θij+1 − 2θij + θij−1 )h2 , j =1,n −1.

Значения θi0+1 и θin+1 на концах отрезка определяются из граничных усло-

вий (10.4):

1 Разностная схема в этом случае называется явной.

230