Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

6.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2719 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

где

S(α) (2l

l 0

соответственно

M fNP (g) fNP (g)

	Q		2
1)	l			,
1)				,
	2l 1
			L
2 ζ2 (N ) (2l 1).					(8.40)
L2		l 0
		l 0

Из неравенств (8.39), (8.40) получаем следующее утверждение.

Утверждение 8.6 (достаточные условия устойчивости ядер-

ных и проекционных оценок в L2 и L1 ). Пусть для ядерных оце-

нок fNk (g) (8.34) и проекционных оценок fNP (g) (8.35) выполне-

ны условия а–г относительно погрешностей элементов выборки.

Тогда оценки	f k (g) устойчивы в				L	и L при	ζ2 (N)S(α) 0,
	N				2	1
N , α	0 , оценки	P		(g)	устойчивы в		L	и L	при
		f	N
							2	1

ζ2 (N ) 12 L(2L 1) 0, N , L .

8.7. Оценка точности ядерных методов для зависимых

ориентировок

По выборке из зависимых между собой вращений g1,..., gN , от-

вечающей плотности распределения f g , рассмотрим ядерную оценку [27, 28]

181

fNk g

Ci q gi 1g , q t 0,

q t sin2

dt 1. (8.41)

π π

N i 1

(8.41)

ядро

имеет

вид

q t Ql χl t ,

l 0

sin l 1 2 t

, C 0

– веса, отвечающие размеру зерна с

sin

t 2

ориентацией

gi ,

проекционная оценка получается из

i 1 N

(8.41) при Ql

l L;

l L.

Оценка (8.41) может быть преобразована к виду

fNk g

ClmnTl mn g ,

(8.42)

l 0

2l 1 mn l

где Cmn – оценки коэффициентов Cmn :

2l 1

Clmn

CiTl

mn gi .

(8.43)

i 1

Из выражений (8.42), (8.43) вычисляем математическое ожида-

ние

	Ql	l
fN g MfNk g	Ql	ClmnTl mn g . (8.44)
fN g MfNk g		ClmnTl mn g . (8.44)
l 0	2l 1 m,n l
182

Из (8.44) находим смещение оценки (8.42), (8.43):

	Q	l
sN g f g fN g 1	l	ClmnTl mn g . (8.45)

l 0	2l 1 m,n l

Из уравнения (8.45) видим, что смещение оценки (8.42) не зави-

сит от зависимости ориентаций и распределения размеров зерен.

Дисперсия оценки (8.42), (8.43) имеет вид

DfNk

l1 ,l2 0 l1 l2

DClmn

Tl mn g

l 0

2l 1

m,n l

cov Clm1 1n1 Clm2 2n2

2l 1 2l

,n1 l1

m2 ,n2 l2

T m1n1 g T m2n2

g .

(8.46)

В соотношении (8.46) имеем дисперсии оценок (8.43) и их кова-

риации

1 2

DClmn

CiC j cov Tl mn gi Tl mn g j ,

(8.47)

i, j 1

2l 1 2l

1 N

cov Clm1 1n1 Clm2 2n2

CiC j

i, j 1

cov Tl

m1n1

g j .

gi Tl

m2n2

(8.48)

183

Дисперсия оценок коэффициентов (8.47) имеет вид

C l,l,l , m, m, 2m C l,l,l , n, n, 2n

DCl

i 1

l 0

Cl2m2n

CiC j cov Tl mn gi Tl mn g j

2l 1

i, j 1

(8.49)

2l 1

где C l,l,l , m, m, 2m – коэффициенты Клебша–Гордана.

Ковариации (8.48) вычисляются следующим образом:

	cov Clm1n1 , Clm2n2 2l1							1 2l2 1

			1		2			N 2
			2
		N			l1 l2
	Ci				C		l1,l2 ,l , m1, m2 , m1 m2

	i 1			l		l1 l2
									1			N
C l1,l2 ,l , n1, n2					, n1 n2 Clm1 m2 ,n1 n2l				1		CiC j

									2l 1
									2l 1			i, j 1
												i j
									1		1
cov Tl m1n1		gi Tl m2n2 g j					Clm1n1 Clm2n2		1		1
													. (8.50)
													. (8.50)
1			2				1	2		2l1 1 2l2 1
1			2				1	2

Из соотношений (8.49), (8.50) легко найти, что если ориентации g1,..., gN зависимы таким образом: имеется K групп ориентиро-

вок количеством N1, N2 ,..., NK , N2 < N1 элементов из первых N1 ,

184

NK < NK 1 элементов из предыдущих NK 1 элементов, где

N j N , элементы внутри групп независимы между собой, то

j 1

2l 1

DCl

C l,l,l , m, m, 2m C l,l,l , n, n, 2n

i 1

l 0

Clmn

Cl2m2nl

2l 1

i 1

l1 l2

, n1 n2

C l1,l2 ,l , m1, m2 , m1 m2 C l1

,l2 ,l , n1, n2

l1 l2

m1 m2 ,n1 n2l

m1n1

m2n2

Cl1

Cl2

(8.51)

2l1 1 2l2 1

Из уравнений (8.45)–(8.46) получаем оценку точности ядерной

оценки (8.42), (8.43) в норме L2 :

f g f k

2 ,

(8.52)

где

Clmn

12 1

l 0

2l 1

m,n l

есть влияние смещения оценки sN ,

		Q	2			2
			2	2l 1		2		N
22		l						CiC j
22					2			CiC j
l 0	2l 1			N			i, j 1
влияние дисперсии оценки								fNk g .
								185

l
cov Tl		mn g j –
cov Tl	mn gi Tl	mn g j –
m,n l

Для центральных функций на SO(3) имеем разложение по ха-

рактерам представлений

			1	π				t
f t Cl χl t ,	Cl				f t χl t sin2				dt,
			π π
l 0						2			(8.53)
		sin l			1 2	t
χl t							.
		sin t			2

Ядерная оценка по выборке t1,..., tN из зависимых элементов

имеет вид

	Q
fNk t	l	Cl χl t ,
fNk t	2l 1	Cl χl t ,
l 0	2l 1

	1	N
		χl ti . (8.54)
Cl

	N i 1

Смещение оценки (8.54) вычисляется по формуле

f t MfNk t

Cl χl

t .

(8.55)

l 0

Дисперсия оценки (8.54) имеет вид

l2 j

C C cov χ

t χ t

. (8.56)

l1 ,l2 0

2l 1 2l 1 N

i, j 1

Из выражений (8.53)–(8.56) имеем оценку точности

f k

в L

f t f k t

(8.57)

где

1 1

l 0

cov χl

t j ,

CiC j

ti , χl

i, j 1

l 0

2l 1

186

2l 2

D l ti Cl Cl .

l 0

При наличии симметрии кристаллита имеет место представле-

ние ФРО

f (g) sim Cmnl

Tmnl gBj g ,

l 0 m,n l

M j 1

где gB

, j =1,…, M – подгруппа симметрии кристаллита.

В этом случае ядерная оценка ФРО имеет вид

fNk (g)

Cmnl

Tmnl gBj g ,

l 0

1 m,n l

j 1

где оценка коэффициентов вычисляется по формуле

Cmnl

2l 1 Tmnl gBj g .

NM i 1

j 1

Заметим,

что

при

наличии

симметрии

величина

2 M

f (g) f k (g)

2 не меняется.

8.8. Численные результаты

8.8.1. Вычисление точности ядерных и проекционных методов по набору из независимых ориентаций

В [27] рассматривается обобщение метода Розенблатта–Парзена на группу SO(3) c учетом инвариантной меры dg . В качестве оценки плотности берется величина

187

	1		N	φ φi		cos θ cos θi
fN* g			q1		q2
	N hN	3				hN
			i 1	hN

ψ ψ

(8.58)

по выборке g1 φ1,θi , ψi , ... , gN

φN ,θN , ψN , где, в частно-

сти,

φ2

q1 φ

2π π

exp

ψ2

q3 ψ 2π π

φ, ψ π,

exp

, -π

		1		cos2 θ
q2 θ	2π 1
			exp		,
				2

1 cosθ 1,

0 θ π.

(8.59)

С учетом инвариантной меры на SO(3) ЦНР может быть записано

в виде

F t dt 2l 1 exp l l 1 ε2

l o

sin l

sin

dt, π t π.

(8.60)

sin

Проекция на сферу S 2

в 3

ЦНР с учетом меры имеет вид [28]

f θ dθ 2l 1 exp l l 1 ε2

l o

188

P cosθ	1	sin θdθ, 0 θ π,	(8.61)

l	2

где Pl z – полиномы Лежандра.

Методом статистических испытаний разыгрывалось N = 500,

3103 случайных вращений для приближения ЦНР с параметром

ε2 2 k , k 0, 2, 6 с показателем свертки n 6 (в некоторых

случаях использовалось также n 10, 18 ).

Строились гистограммы для дискретных значений ЦНР, дис-

кретных значений проекции на сферу и для функций			F t	(8.60),
f θ	(8.61) с шагом	0,2 . Для вычисления функций		F t и
f θ	использовалось	суммирование ряда Фурье с	количеством

слагаемых l l	, l	ln δ0	, δ		10 10	. Полученные результа-
				0
max	max	ε

ты показаны на рис. 8.1–8.4, где даны гистограммы точного (штри-

ховая линия) и модельного (сплошная линия) распределений с па-

раметрами	ε2 1	(случай а),	ε2 1 4 (случай б),	ε2 1 6 4
(случай в).	Объем	выборки	N = 500 на рис. 8.1, 8.2, и N = 3000 –
на рис. 8.3, 8.4.

Рис. 8.1. Гистограммы точного и модельного распределений F t (N=500)

189

a б в

Рис. 8.2. Гистограммы точного и модельного распределений f θ (N=500)

a б в

Рис. 8.3. Гистограммы точного и модельного распределений F(t) (N=3000)

a б в

Рис. 8.4. Гистограммы точного и модельного распределений f( ) (N=3000)

Для проверки гипотезы о совпадении распределений F(t), f( ) и

их дискретных аналогов использовался критерий χ 2 . Рассматрива-

лась величина

1 Pi	Pi	2
1 Pi	Pi
Z N
			,	(8.62)
	Pi		,	(8.62)
i 1	Pi
190

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2719 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]