Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

n 100 (случай б), обычная выборка (случай в) для N 500 . Точ-

ками на рисунке изображены графики точной функции, сплошной линией – модельные значения.

Из приведенных рисунков видим, что для ε 12 различия не видно, для ε 18 для случая 8.14,а график сильно изрезан в об-

ласти максимума исходной функции и не достигает минимума в точке t 0 . Следовательно, для крупнозернистых образцов в слу-

чае острых текстур ( ε мало) требуется увеличивать объем выборки.

Рис. 8.13. Моделирование зеренной структуры ε 12

201

Рис. 8.14. Моделирование зеренной структуры ε 18

Контрольные вопросы

1. Ядерные методы вычисления ФРО и ПФ по набору отдель-

ных ориентаций на SO(3)

2. Проекционные методы вычисления ФРО и ПФ по набору от-

дельных ориентаций.

3.Вычисление математического ожидания и дисперсии для оценки ФРО и ПФ ядерными и проекционными методами.

4.Оценки точности вычисления ФРО и ПФ по набору отдель-

ных ориентаций.

5.Свойство состоятельности ядерных и проекционных оценок

ФРО.

6.Как влияет зависимость ориентаций на вычисление ФРО?

7.Выбор параметра сглаживания в ядерных методахвычисле-

ния ФРО.

8. Как влияет симметрия кристалла на точность вычисления

ФРО и ПФ?

202

9. Устойчивы ли ядерные и проекционные методы относитель-

но погрешностей измерения ориентаций?

203

Глава 9. Применение ФРО при исследовании физических

свойств

Многие физические свойства поликристаллических материалов анизотропны [2, 10, 13, 24, 25, 40, 47, 75, 108]. Свойство поликри-

сталла, измеренное в некотором направлении, – среднее значение свойств индивидуальных зерен, составляющих поликристалл. Та-

ким образом, данное свойство зависит от свойства монокристалла и распределения ориентаций кристаллитов в поликристалле. Если это распределение равномерное, то материал макроскопически изо-

тропен. Наличие преимущественных ориентаций (текстуры) при-

водит к изменению свойств поликристалла. Кроме текстуры, могут быть и другие причины, приводящие к изменению свойств поли-

кристаллического материала: наличие пор или трещин, форма кри-

сталлитов, распределение фаз в многофазном материале. Однако в некоторых практически важных случаях основной и часто единст-

венной причиной является текстура. В таких случаях свойства по-

ликристалла могут быть найдены путем усреднения соответст-

вующих свойств образующих поликристалл зерен с функцией рас-

пределения зерен по ориентациям.

9.1. Вычисление средних значений свойств поликристалла

где r – орт направления; – свойство кристаллита, имеюще-

го ориентацию g ; в системе координат образца (в зависимости от

того, каким образом математически описывается свойство кристал-

лита – с помощью тензора или указательной поверхности, величи-

ны E и в (9.1) являются тензорами или функциями направ-

лений соответственно).

Формулу (9.1) можно переписать в более наглядном виде. Пусть

EB – свойство отдельного монокристалла в системе координат кристаллита KB . Допустим, имеется образец с закрепленной с ним системой координат K A . Образец состоит из N кристаллитов с

При переходе к непрерывному случаю сумма заменяется инте-

гралом на группе вращений трехмерного евклидова пространства

SO 3 :

SO(3)

205

где в качестве весовой функции в интеграле берется нор-

мальное распределение канонического вида (2.3).

По формуле (9.3) проводится вычисление усредненных значе-

ний модулей упругости и модулей упругой податливости. Изло-

женный материал представляет также достаточно полное описание методов и результатов численного расчета упругих усредненных свойств поликристаллического магния (+4,5%Al+1%Zn) и титана

(экспериментально чистый образец).

9.2. Вычисление усредненных упругих свойств для

поликристаллов магния и титана

Для измеренных на спектрометре количественного анализа тек-

стуры (СКАТ) материалов магния (рис. 9.1,а) и титана (рис.

9.2,а) с экспериментальными полюсными фигурами, были числен-

но построены модельные ПФ для магния (рис. 9.1,б) и титана (рис.

9.2, б), которые с выбранными параметрами полуширин распреде-

ления могут аппроксимировать экспериментальные ПФ.

Рис. 9.1. Экспериментальная (а) и расчетная (б) ПФ для магния с параметрами полуширины α11 0,9; α22 0,8; α33 0, 2

206

Рис. 9.2. Экспериментальная (а) и расчетная (б) ПФ для титана с параметрами полуширины α11 0, 01, α22 0, 4, α33 0,8

Ниже проиллюстрирован метод расчета упругих характеристик,

в данном случае – модулей упругой податливости, так как для уп-

ругих свойств он наиболее интересен.

Известно, что упругие свойства могут быть описаны с помощью указательной поверхности, и в этом случае не надо рассчитывать весь тензор четвертого ранга. Но в случае рассмотрения задач на вычисление свойств при механическом кручении образцов уже не подходит метод установления модулей по указательным поверхно-

стям. Приходится рассчитывать усредненные модули с помощью усреднения по всем поверхностям. И информацию дает весь тензор упругой податливости.

Метод расчета изложен на примере образцов, обработанных го-

рячей и холодной прокаткой. Для таких обработок (присутствие оси прокатки) находят как данный алгоритм, так и методы опреде-

ления упругих характеристик с помощью указательной поверхно-

сти.

Усреднение производится с помощью интегрирования произве-

дения функции распределения и тензора четвертого ранга:

207

модуля упругой податливости, преобразованные с помощью мат-

рицы поворота по закону преобразования тензора четвертого ранга:

Если в качестве входных параметров используются модули же-

сткости или модули упругой податливости, то можно записать

Eijkl cijkl

или

Eijkl sijkl .

В работе усреднение производится с помощью интегрирования методом Гаусса.

Интеграл (9.3) приводится к виду

функции распределения используется нормальное распределение канонического вида (2.3). Суммирование ряда (2.3) выполняется с помощью устойчивой схемы Кленшоу.

Упругие свойства гексагональных кристаллов магния и титана описываются пятью независимыми параметрами. Такими парамет-

рами являются, например, модули упругости: C11, C12 , C13 , C33 ,

208

и титана соответственно, на рис. 9.1,б и 9.2,б – расчетные ПФ, по-

лученные аппроксимацией ПФ от КНР. Для магния с найденными

податливости поликристаллов магния и титана, выполненных в

Продолжение табл. 9.1

Таблица 9.2. Значения вычисленных коэффициентов упругой по-

относительные погрешности вычисления эффективных коэффици-

ентов упругой податливости.

210