Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

Рис. 1.5. Построение кубической плотноупакованной структуры

При последующем повторении укладки слоев этим способом получается структура, называемая гексагональной плотно-

упакованной структурой (рис. 1.4). Во втором способе шары

третьего слоя укладываются в лунки, не находящиеся точно над шарами первого слоя. При этом способе упаковки получается структура, называемая кубической плотноупакованной струк-

турой (рис. 1.5). Обе упаковки дают степень заполнения объема

74 %. Никакой другой способ расположения шаров в простран-

стве при отсутствии их деформации большей степени заполне-

ния объема не дает. При укладке шаров ряд за рядом способом

гексагональной плотной упаковки можно получить правильную

шестигранную призму, второй способ упаковки ведет к возмож-

ности построения куба из шаров. Если при построении кристаллов из атомов или молекул действует принцип плотной упаковки, то,

казалось бы, в природе должны встречаться кристаллы только в

виде шестигранных призм и кубов. Кристаллы такой формы дей-

ствительно очень распространены. Гексагональной плотной упа-

ковке атомов соответствует, например, форма кристаллов цинка,

металлов. Но этими двумя формами многообразие мира кри-

сталлов вовсе не ограничивается. Существование форм кри-

сталлов, не соответствующих принципу плотной упаковки рав-

новеликих шаров, может иметь разные причины. Во-первых, кри-

сталл может быть построен с соблюдением принципа плотной упаковки, но из атомов разных размеров или из молекул,

имеющих форму, сильно отличающуюся от шарообразной. Во-

вторых, отличие упаковки атомов или молекул от плотной может быть объяснено существованием более сильных связей между ними по определенным направлениям. В случае атомных кри-

сталлов направленность связей определяется структурой внеш-

них электронных оболочек атомов, в молекулярных кристаллах – строением молекул [27, 76].

Рис. 1.6. ОЦК-структура: а – элементарная ячейка; б – элементарная ячейка в модели жестких сфер

В основном металлы кристаллизуются в одном из трех типов

структур: объемно-центрированной кубической (ОЦК), гране-

центрированной кубической (ГЦК) и гексагональной плотно-

упакованной (ГПУ). Эти группы представлены практически рав-

номерно. От типа структуры сильно зависят механические и другие

22

свойства металлов. Рассмотрим подробнее элементарные ячейки этих типов структуры [15].

В ОЦК-структуре атомы расположены в вершинах и центре ку-

ба (рис. 1.6). При этом в модели жестких сфер атомы касаются друг друга вдоль направления главной диагонали куба.

Рис. 1.7. ГЦК структура: а – элементарная ячейка; б – элементарная ячейка в модели жестких сфер

В гранеценрированной кубической ячейке атомы располагают-

ся в вершинах и центрах всех граней (рис. 1.7), таким образом,

ячейка содержит четыре атома, соответствующих четыре взаимно проникающим примитивным кубическим решеткам. В модели же-

стких сфер атомы касаются вдоль направления малой диагонали куба.

Гексагональная решетка состоит из плотноупакованных гексаго-

нальных слоев. Длина ребра c отличается от длины ребра a. Эле-

ментарная ячейка (рис. 1.8, а) затенена. Она содержит два атома.

Для наглядности в случае гексагональной симметрии в качестве структурной единицы рассматривают три ячейки, которые вместе образуют правильную шестиугольную призму, отражая таким об-

23

разом гексагональную симметрию. Объемная модель представлена

на рис 1.8, б, в. Такая плотная упаковка (ГПУ) возможна, если от-

ношение ребер ca составляет

ac 83 1, 63.

Рис. 1.8. ГПУ структура: а – утроенная элементарная ячейка; б – плотная упаковка; в – элементарная ячейка в модели жестких сфер

Приближение к идеальному соотношению ca можно найти в структуре магния. Для других металлов наблюдаются заметные отклонения как в большую, так и в меньшую стороны (табл. 1.1)

[15].

24

В кристаллографии существуют определенные правила, позво-

ляющие характеризовать направления и плоскости в кристалличе-

ской решетке и положения атомов в элементарной ячейке.

Для описания положения атомов вводится система координат,

связанная с элементарной ячейкой и определяющая ее (рис 1.9).

Координаты в такой системе называются внутренними.

Единицей измерения вдоль каждой оси служит длина ребра элементарной ячейки. В соответствии с этим атомы внутри ячейки имеют координаты, меньшие единицы.

Рис. 1.9. Определение внутренних координат атомов в стандартной ячейке

25

Например, центр ячейки задается координатами 1 2,1 2,12 . По-

ложение атомов любой ячейки относительно общего начала коор-

динат получается путем сложения внутренних координат и векто-

ра трансляции, связывающего общее начало координат с верши-

ной данной ячейки [15, 26, 46].

Кристаллографические плоскости и направления описываются путем индексирования.

Индексы Миллера для плоскостей определяются следующим образом. Допустим, решетка характеризуется параметрами a, b и c, длины которых не обязательно совпадают. Длины отрезков, от-

секаемых кристаллографической плоскостью на осях координат,

будем рассматривать как кратные параметров решетки (рис 1.10).

Пусть они равны соответственно ma, nb, qc (отрицательные зна-

чения – отсечение отрезков на отрицательных полуосях коорди-

нат). Умножим обратные величины 1 m,1 n,1q на такое число r,

чтобы в результате получились взаимно простые це-

лые числа. Это и будут индексы Миллера h, k,l данной плоскости,

то есть

1 1 1 r , , hkl .

m n q

Например, в кубической решетке плоскость, отсекающая на осях координат отрезки, длины которых равны соответственно

1, 23,1 3 (рис 1.10, г), характеризуется индексами Миллера:

26

Рис. 1.10. Ориентация кристаллографических плоскостей кубической сис-

темы: а – (100); б – (110); в – (111); г – (236)

Если плоскость параллельна некоторой оси, то есть не пересекает ее, формально считается, что длина отсекаемого отрезка равна символу . Например, грань куба (рис. 1.10, а) параллельна плос-

кости yz, поэтому длины отсекаемых ею отрезков будут 1, , .

Следовательно, индексы Миллера этой плоскости есть

27

Рис. 1.11. Индексы Миллера некоторых направлений в кубической

системе: а – [100]; б – [112]; в – [ 1 10]; г – [111]

Только в случае кубической симметрии индексы Миллера кристаллографической плоскости совпадают с координатами век-

тора нормали к ней [15, 46].

Направление в пространстве задается вектором. Индексы Мил-

лера для направлений – это координаты вектора, задающего на-

правление, умноженные на некоторое число так, чтобы все коор-

динаты стали целыми числами. Например, вектор с координатами

В случае кубической симметрии расположение атомов на раз-

личных плоскостях и вдоль некоторых направлений одинаково, так что их невозможно различить. Это находит свое отражение в свой-

ствах индексов Миллера для данного типа симметрии. Направле-

ния hkl , получаемые при перестановке индексов Миллера или

изменении их знака, эквивалентны между собой. Если система ко-

ординат выбрана заранее и все плоскости проиндексированы в со-

ответствии с выбранной системой координат, то кристаллографи-

чески эквивалентные плоскости можно отличить друг от друга.

Например, поворот вокруг оси z 001 на 90 приводит к располо-

жению узлов решетки, совпадающему с первоначальным, однако при этом направление 100 перейдет в 010 . Физические свой-

ства кристаллов не зависят от выбора системы координат и опреде-

ляются только расположением атомов. Совокупность всевозмож-

ных кристаллографически эквивалентных плоскостей и направле-

ний обозначаются фигурными и угловыми скобками соот-

ветственно. Индивидуальные же плоскости и направления обозна-

чаются круглыми и квадратными скобками. Например,

семейство плоскостей 111 состоит из плоскостей 111 , 111 ,

1 11 , 11 1 и всех плоскостей с противоположными направле-

ниями нормалей, например 1 1 1 вместо 111 , хотя физически

они не соответствуют каким-то новым плоскостям. Аналогично

29

т.д., как описано выше, а также все противоположные направления

(если важна ориентация в пространстве). Если в кубической сим-

метрии все величины h, k,l различны, то все семейство hkl со-

ответствует 24 разным плоскостям (или даже 48, если различать

hkl и h k l ). Для решеток с более низкой симметрией эквива-

лентных плоскостей и направлений меньше, поскольку некоторые

(или все) оси отличаются друг от друга [15, 46].

Индексы Миллера можно определить в любой симметрии, одна-

ко гексагональная симметрия базовой плоскости в гексагональной решетке не отражается тремя индексами Миллера, если использу-

ются только две (например, a1 и a2 ) из трех гексагональных осей

( a1 , a2 и a3 , рис. 1.12). Поэтому для гексагональной системы ис-

пользуют индексы Миллера–Браве, которые состоят из четырех

Рис. 1.10 Индексы плоскостей и направлений в гексагональной решетке

30