Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

6.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 279 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

индекс l пробегает всевозможные целые и полуцелые неотрица-

тельные значения, а индексы m и n пробегают значения

l, l 1,...,l 1,l .

Иными словами,	функции tl		u удовлетворяют
		mn
шениям
			1
tmnl	u t spq u du		1	ls mp nq .

			2l 1
SU (2)			2l 1
SU (2)

соотно-

(3.18)

Подставляя в формулу (3.18) выражение

tmnl , , e i m n Pmnl cos

для матричных элементов и пользуясь выражением для инвариант-

ной меры du на группе SU(2)

	1
		du			sin d d d ,
		du	16 2		sin d d d ,
получим при l s , m p , n q
2	2
	Pmnl cos	Ppqs cos		sin ei p m i q n d d 0 . (3.19)
2 0 0
При	p m или q n в выражении (3.19) обращение в нуль имеет
место за счет показательных функций. При p m и								q n , но
l s	из (3.19) имеем

	Pmnl cos Ppqs cos sin d 0 .							(3.20)
	0
Из равенств (3.18) и (3.19) при						x cos получаем соотношение
ортогональности для функций Pl							z
					mn
	81

Pmnl

(x)Pmns (x)dx

ls .

Разложение в ряды на группе SU(2). Пусть f u

– любая

функция на

группе SU(2), для которой сходится

интеграл

f u

2du .

Функцию

f u можно разложить в ряд Фурье по

u :

функциям tl

f u lmntmnl u

(3.21)

l m,n l

где l 0,

,... Коэффициенты Фурье l

задаются формулой

lmn 2l 1 f u tmnl

u du .

(3.22)

Ряд (3.21) сходится к функции f (u) в среднем. Перейдем в соот-

ношениях (3.21) и (3.22) к параметрам Эйлера. Получаем следую-

щий результат.

Любая функция f ( , , ) 0 2 , 0 ,

2 2 , принадлежащая пространству L2 , т.е. такая, что

2 2	f , ,	2 sin d d d ,
	f , ,	2 sin d d d ,
2 0 0
разлагается в сходящийся в среднем ряд
	l
f ( , , ) lmne i m n Pmnl			cos ,

l m,n l

где

		m n			2l		2 2
l		1			2l	1					f , , ei m n Pl cos sin d d d
l											f , , ei m n Pl cos sin d d d
mn			162												mn
			162
								2 0 0

(мы использовали соотношение Pl cos ( 1)m n Pl cos ).
													mn				mn
Из равенства Парсеваля вытекает, что при этом выполняется
		l	1						2		1	2 2				2
			1				lmn		2		1			f , ,		2	sin d d d .

				2l 1						16 2
				2l 1						16 2
	l m,n l											2 0 0
	Разложение функций на сфере. В разделе 3.1 было показано,

что пространство смежных классов по подгруппе диагональных матриц

		it
e 2				0
h					it

	0		e		2
	0		e		2

можно отождествить с единичной сферой S2 в трехмерном евкли-

довом пространстве. При этом	смежному классу u , где
u u , , , соответствует точка
u u , , , соответствует точка		сферы со сферическими ко-

ординатами 2 и .

Применяя полученный ранее результат к функциям на сфере,

получим следующее. Пусть f – функция на единичной сфере

S2, такая, что

f 2d

sin d d

(через

обозначена нормированная евклидова

мера на S2). Тогда

f , lme im Plm cos ,

l 0 m l

где

2l 1 l m ! 2

f , eim Pm cos sin d d .

l m !

При этом выполняется равенство

f 2 d

l 0 m l

1	l m !	m	2
1	l m !		2
			.
			.
2l 1 (l m)!		l
2l 1 (l m)!

3.5. Характеры представлений Tl(u)

Вычисление характеров.			Характером представления				T u
							l
группы SU(2) называют след матрицы этого представления. Таким
образом, характер	l	u представления T u				задается формулой
	l			l
			l
		l u	tmml	u
			m l
или, в углах Эйлера, формулой
			l
l , , e im Pmml					cos .		(3.23)

m l

Характер представления является функцией на группе, постоянной на классах сопряженных элементов. Это означает, что для любых двух элементов u и u1 группы SU(2) выполняется равенство

l u1uu1 1 l u .

Из линейной алгебры известно, что любая унитарная унимоду-

лярная матрица

может быть записана в виде u u u 1

, где

u1 SU (2) , а – диагональная матрица вида

e 2

Числа e 2 и

2 –

собственные числа матрицы

u . При

этом среди матриц, эквивалентных u , есть лишь одна диагональ-

ная матрица, а именно: матрица , получающаяся из матрицы перестановкой диагональных элементов.

Отсюда следует, что каждый класс сопряженных элементов в

SU(2) задается одним параметром t, меняющимся в пределах

2 t 2 , причем параметры t и – t задают один и тот же класс.

Поэтому мы можем считать, что характеры l u являются функ-

циями одного переменного t, меняющегося от 0 до 2 .

Выведем теперь явное выражение для l u как функции t. Для этого заметим: при представлении Tl u диагональной матрице

соответствует диагональная матрица Tl порядка 2l+1, на глав-

ной диагонали которой стоят числа e ikt , l k l .

Пусть u u u 1 . Так как характеры постоянны на классах со-

пряженных элементов, то

e ikt .

k l

Суммируя геометрическую прогрессию, получаем

ei l 1 t

e ilt

sin l 1 2 t

(3.24)

eit

sin t

Для матрицы

характеристическое уравнение имеет вид

0 ,

т.е. 2 2 Re 1 0 . Корни этого уравнения выражаются фор-

мулой

	it
	it	Re i 1 Re 2 .
	e 2	Re i 1 Re 2 .
1,2

Отсюда

cos 2t Re .

Если углы Эйлера матрицы u равны , , , то

							i
		cos					2
						2 e	2	,
						2 e		,
и поэтому
Re cos			t	cos cos				.		(3.25)
Re cos				cos cos				.		(3.25)
		2				2		2
Следовательно, из (3.24)
		u			sin l 1 2 t				,
	l	u							,
	l					sin t 2
						sin t 2

где cos t2 выражается через углы Эйлера по формуле (3.25).

Выше мы получили другое выражение для l u через углы Эйле-

ра (см. (3.23)). Сравнивая два полученных выражения, находим ра-

венство

l						sin l 1 2 t
e im Pmml			cos			sin l 1 2 t		,
e im Pmml			cos					,
m l						cos t	2
m l
где
cos	t	cos		cos	.
cos		cos		cos	.
2				2	2

Ортогональность характеров. Характеры неприводимых уни-

тарных представлений компактной группы образуют ортонормиро-

ванную систему функций. Поэтому для группы SU(2) имеем

m u n u du mn (3.26)

SU (2)

Чтобы выразить соотношение (3.26) через параметр t (3.25), надо вычислить инвариантную меру du через этот параметр.

Сначала запишем интеграл в параметрах , , где


									u											.
									u											.

Легко найти, что
					f u du							1		1 2 2							r, , drd d ,
												1								f									(3.27)
												2								f									(3.27)
		SU (2)									4			0		0		0
		SU (2)												0		0		0
где r		2 ,	arg ,				arg . Из (3.27) получаем
где r		2 ,	arg ,				arg . Из (3.27) получаем

									1			1							1 12							2
			f	u du					1					d									d				f u	d ,
								2 2													2				2

																1
	SU (2)												1						1 1							0
где i					. Так		как					cos								t	,		то		последнюю формулу
где i				2	. Так		как					cos									,		то		последнюю формулу
1				2								1							2
																			2
можно переписать в виде
																	dt sin				t
										2 sin																2
			f u du				1								t						2		d			2	f u d .		(3.28)
			f u du				4 2																d				f u d .		(3.28)
							4 2							2										2
																								2
SU (2)									0									sin				t				0
																		sin				2
Если функция f u						постоянна на классах сопряженных элементов
(зависит только от параметра t),																то				из			формулы					(3.28)	выте-
кает
														1		2										t
						f u du								1			F t sin2									t	dt .
						f u du											F t sin2									2	dt .
				SU (2)												0										2

Разложение центральных функций. Функция u на группе

SU(2) называется центральной, если она постоянна на классах со-

пряженных элементов в SU(2). Из предыдущего пункта ясно, что центральные функции являются функциями одного переменного t:u F(t) .

Характеры неприводимых унитарных представлений компакт-

ной группы образуют полную ортонормированную систему в про-

странстве центральных функций на этой группе.

Применяя это утверждение к группе SU(2) и к функции

f t F (t) sin 2t , получаем следующий результат.

Пусть f t – функция на отрезке 0, 2 такая, что

2	f t	2 dt .
	f t	2 dt .

0

Тогда эта функция разлагается в сходящийся в среднем ряд:

ft an sin n

t ,

где n пробегает значения 0,				1	, 1,	3	,..., и
где n пробегает значения 0,			2		, 1,	2	,..., и
			2			2
	1	2						1
an			f t sin n						tdt .
an			f t sin n						tdt .
		0						2
Отсюда следует, что система						функций sin kx ,				k 1, 2,...,
полна на отрезке 0, .

Контрольные вопросы

1.Дайте определение групп SU(2) и SO(3).

2.Дайте определение неприводимых представлений группы

SU(2)

3.Как вычислить матричные элементы представлений группы

SU(2) ?

4.Как выразить матричные элементы представлений групп SU(2) и SO(3) через углы Эйлера?

5.Как выглядит разложение функций на группе SU(2) в ряд Фурье по обобщенным шаровым функциям. Что такое инва-

риантная мера?

6.Дайте определение характеров представлений группы SU(2) их свойства.

7.Как выглядит разложение функций на SU(2) по характе-

рам представлений?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 279 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]