Сандаков Векторная алгебра Учебно-методическое пособие 2012

УДК 514.12(075) ББК 22.151.5я7 С 18

Сандаков Е.Б., Гордеев Ю.Н. Векторная алгебра: Учебно-методиче-

ское пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2012. – 36 с.

Пособие состоит из четырех параграфов, посвященных изучению темы «Векторная алгебра» курса «Аналитическая геометрия». В начале каждого параграфа приведены краткие теоретические сведения (подробные сведения можно найти в пособии [1]), необходимые для решения задач. Далее дано большое число примеров решения задач, которые способствуют лучшему усвоению студентами данного материала.

Предназначено для студентов Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» всех специальностей, изучающих курс «Аналитическая геометрия». Пособие полностью соответствует программе курса «Аналитическая геометрия», предусмотренной для таких технических и экономических вузов с углубленным изучением высшей математики, как НИЯУ МИФИ.

Рецензент канд. техн. наук, доц. К.К. Гладун

Редактор М.В. Макарова

Оригинал-макет изготовлен С.В. Тялиной

Подписано в печать 28.11.2012. Формат 60 84 1/16.

Уч.-изд.л. 2,25. Печ.л. 2,25. Тираж 490 экз. Изд. № 010-1. Заказ № 280

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». Типография НИЯУ МИФИ.

115409, Москва, Каширское ш., 31.

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

3

§1. Векторы. Линейные операции над ними. Разложение вектора по базису

Вектором называется направленный отрезок. Обозначение: AB, a, b, … (рис. 1.1).

Два вектора называются равными, если один из них может быть

называемым свободным вектором. Точки приложения вектора могут быть самыми различными. В дальнейшем под словом «вектор» будем понимать именно свободный вектор.

4

Основные свойства сложения векторов и умножения их на число

Теорема 1.1 (основные свойства). Пусть x, y, z – любые векторы, а и – любые числа, и R. Тогда:

x y y x (коммутативность, рис. 1.4);

x ( y z) (x y) z (ассоциативность, рис. 1.5);0 (нуль вектор): x x 0 x ;

x вектор ( x) – противоположный: x ( x) 0 ;

x 1 x ;

x, , R : ( x) ( ) x ,

x, , R : ( ) x x x ;x, y, R : (x y) x y .

5

Доказательство. Свойства (1.1)–(1.8) следуют из определений суммы и произведения вектора на число и рис. 1.4 1.7.

Следствие 1.3: сложение векторов определяется по правилу параллелограмма (см. рис. 1.4).

Замечание 1.1. У векторов, которые рассматриваем, начальные точки выбраны произвольно (т.е. не различаем равные вектора, получающиеся друг из друга параллельным переносом). Такие векторы иногда называют «скользящими» векторами. (Они определены с точностью до точки приложения при параллельном «скольжении».) Часто в физике, механике и т.д. рассматривают «связные» векторы, т.е. векторы, общая начальная точка приложения для которых фиксирована.

Определение 1.3. Множество V называется линейным простран-

суммой векторов x и y ;

2) для x V и R определен x V , называемый произ-

ведением вектора x на число ;

3) для x, y, z V и , R в множестве V выполняются

свойства (1.1)–(1.8).

Укажем примеры линейных пространств свободных векторов. Пример 1.1. Подмножество V0 , состоящее из одного нулевого

вектора, очевидно, является ЛПСВ.

6

Пример 1.2. Подмножество V1 всех свободных векторов, парал-

лельных некоторой прямой, является ЛПСВ (условия 1.1–1.8 определения ЛПСВ легко проверяются).

Пример 1.3. Подмножество V2 всех свободных векторов, парал-

лельных некоторой плоскости, является ЛПСВ (условия 1.1–1.8 легко проверяются).

Пример 1.4. Множество V3 всех свободных векторов в про-

странстве, очевидно, является ЛПСВ.

Укажем примеры множеств векторов, по той или иной причине не являющихся ЛПСВ.

Пример 1.5. Множество всех свободных векторов пространства за исключением векторов параллельных некоторой фиксированной прямой l не является линейным пространством (так как в пределах этого множества нельзя складывать векторы, симметричные относительно указанной прямой).

Пример 1.6. Множество Х всех векторов пространства, имеющих общее начало, концы которых лежат на фиксированной прямой l, не проходящей через начало координат, не является линейным пространством (так как нулевой вектор не принадлежит множеству Х).

Определение 1.4. Векторы x, y, z, ... называются коллинеарными (обозначаем x y) , если все они параллельны одной прямой. Векторы x, y, z, ... называются компланарными, если все они па-

раллельны одной плоскости.

Из определения следуют следующие очевидные утверждения:

1)нулевой вектор коллинеарен любому вектору;

2)каждый вектор x коллинеарен самому себе;

3)если x y, то и y x ;

4)если x y и y z, то x z ;

5)если несколько векторов коллинеарны между собой, то они и подавно компланарны между собой;

6)любые два вектора компланарны между собой.

Имеют место следующие важные теоремы.

Теорема 1.2 (о разложении). Для вектора a, коллинеарного любому вектору l1 0, единственное число 1 R : a 1l1 .

7

Теорема 1.3. Для вектора a, компланарного двум неколли-

один из них есть линейная комбинация остальных.

Из определений, теоремы разложения и критерия линейной зависимости получаем выводы.

Вывод 1.1.

1. Линейно зависимыми векторами в V1 – «прямой», V2 – «плоскости», V3 – «пространстве» являются, соответственно:

8

вV1 – нулевой вектор 0 , в V2 – любые два коллинеарных вектора,

вV3 – любые три компланарных вектора.

2. Линейно независимыми векторами в V1, V2 , V3 , соответственно, являются: в V1 – любой ненулевой вектор, в V2 – любые два неколлинеарных вектора, в V3 – любые три некомпланарных век-

тора.

3. В Vm (m 1, 2, 3) существует m линейно независимых векторов, причем любые (m + 1) векторов линейно зависимы в Vm .

Пусть V – линейное пространство свободных векторов (напри-

dim V n.

Из вышеприведенных результатов следует вывод.

Вывод 1.2. Пусть V1, V2 , V3 – линейное пространство свободных

векторов, расположенных, соответственно, на «заданной прямой», «заданной плоскости», в «пространстве».

9

V3 , dim V3 3 ;

Замечание 1.2. Из вывода следует, что «заданная прямая» одномерна, «заданная плоскость» двумерна, «пространство» в обычном

(перпендикулярны) и по модулю равны единице. Если базис произвольный, то он называется косоугольным, или аффинным.

Из сказанного выше следует, что базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора. Пусть p , q базис и a

10