Сандаков Векторная алгебра Учебно-методическое пособие 2012

1

7

0

1

7

2

2

,

пр

AM

0

50

BC

перпендикулярна стороне BC.

т.е. медиана AM

Задача 2.4. Докажите, что вектор

p

(a, c)b

(a, b)c перпенди-

кулярен вектору a.

произведения.

a,

b

Задача 2.5.

Вектор

перпендикулярный

к

векторам

7i 3 j k и

c 2i 3 j 8k, образует с осью OZ тупой угол.

Найдите его координаты, зная, что

a

6.

Решение. Пусть угол между вектором a и осью OZ,

или, что

тоже самое, угол между векторами a и k.

(a, k)

Пусть, далее, a (x; y;

z).

Поскольку k (0; 0; 1),

то

x 0 y 0 z 1 z. С другой стороны, так как

k

1,

то

(a, k)

a

k

cos

a

cos .

z

a

Следовательно,

cos . По

условию

задачи тупой угол, т.е. cos 0. Тогда z 0.

Ввиду того, что

a

6 , имеем:

x2 y2 z2 6.

(2.2)

Из условий задачи следует (a, b) (a, c) 0, т.е.

7x

3y

z 0;

(2.3)

3y

8z 0.

2x

Выразим из системы (2.3) x и y через z

x z,

y 2z.

(2.4)

Подставляя эти значения x и y в (2.2), получим

Так как,

z 0, то z 1.

z 1.

Подставляя это значение z в (2.4) имеем:

x 1,

y 2.

Следовательно, a (1; 2; 1).

a (1; 2; 3)

Задача 2.6. Найдите проекцию вектора

на ось, со-

ставляющую

с

координатными

осями OY и

OZ углы 60 ,

45 ,

а с осью OX тупой угол .

Решение. Пусть e

(x; y; z)

единичный направляющий вектор

1

данной

оси.

Так как

x

e

cos cos ,

y

e

cos cos 2 ,

z

e

cos cos

2

(следует

из определения

направляющих

2

косинусов

вектора

a

(см. § 1)),

отсюда:

1

a

2

x2

y2 z2

cos2 1 1 .

4

2

Следовательно, cos2 1 ,

т.е.

cos 1 .

4

2

cos 1 ,

По условию тупой угол, т.е. cos 0. Тогда

и

2

1

; 1

2

e

;

. Из формулы следует, что

2

2

2

пр a

(a, e) (a, e) 1

1

2 1

3

2

3

2 1 .

e

2

2

3

2

e

Введем следующие

Решение. По условию задачи (BK,

AE) 0.

a

обозначения: CA a,

CB b,

a

b

.

Тогда

BK

2

b,

b

AE

2

a (рис. 2.2). Так как

(BK,

BE) 0,

то:

b

0

a

,

5

1

1

b

a

a,

b

a,

a

b, b

2

2

4

2

2

54 a, b 2,

т.е.

a, b 54 2. Из определения скалярного

Рис. 2.2

a, b

a, b

4

произведения векторов

a

и

b

имеем

cos

a

b

2

5 .

Следовательно,

arccos

4 .

5

Задачи для самостоятельного решения

1. Вектор c

образует с векторами

a

и b углы, равные

.

Векторы

a

и b взаимно ортогональны и | a | = 3, | b | = 5, | c | =32.

Вычислите:

а) (a

2b, b 2a);

б) (a b 2c)2;

в) p

(a

b

2c).

c

и b

2. Известно, что | a | = 6; | b | = 4, а угол между векторами a

равен

.

Определите

скалярное

произведение

векторов

p 2a 3b и3 q 3a 5b.

6. Даны вершины

треугольника

A( 1; 2; 4),

B( 4; 2; 0),

C(3; 2; 1). Найдите:

а) внутренний угол при вершине А;

б) внешний угол при вершине С;

в) проекцию медианы AM на сторону BC.

7. Какой угол образуют единичные вектора a и b,

если извест-

но, что векторы p a 2b и q 5a 4b

взаимно ортогональны?

8. Даны вершины A(1; 0), B(2; 1),

C(1; 3) треугольника ABC.

Найдите разложение вектора высоты BH этого треугольника по век-

торам AC и AB.

9. Даны векторы

совпадающие со сторонами

AB b

и AC c,

треугольника ABC.

Найдите разложение по базису b, c вектора,

приложенного к вершине b

этого треугольника и совпадающего с

его высотой BH.

§ 3. Векторное произведение двух векторов

a, b, c назы-

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов

Рис. 3.1

1)

[a, b]

a

b

sin , где

угол между векторами a и b

0 2 ,

т.е

.

длина векторного произведения [a, b]

равно площа-

ди параллелограмма, построенного на векторах a и

b, приведен-

ных к общему началу;

2)

[a, b] a; [a, b] b, т.е. вектор [a, b]

перпендикулярен плос-

кости, проходящей через вектора a

приведенных к общему

и b ,

началу;

[a, b]

3)

направление вектора

такое,

что тройка векторов

a; b;

[a, b] правая.

двух векторов:

1)

[a, b] [b, a] (антикоммутативность);

2)

[ a b, c] [a, c] [b, c]

(линейность по первому

аргу-

менту3)

);[a, b c] [a, b] [a, c]

(линейность по второму

аргу-

менту);

4)

два вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда

[a, b] 0 (критерий коллинеарности двух векторов).

y

z

x

z

x

y

,

(3.1)

[a, b]

1

1

i

1

1

j

1

1

k

y2

z2

x2

z2

x2

y2

где

a11

a12

a a

22

a a

21

называется определителем матрицы

a21

a22

11

12

a

a

второго порядка.

11

12

a21

a22

Равенство (3.1) можно записать в виде

k

[a, b]

i

j

(3.2)

x1

y1

z1

.

x2

y2

z2

Задача 3.1. Угол

между векторами a

и b

равен

6

,

a

3,

b

4. Вычислите:

1)

[a, b]

;

2)

[3a b, 2b a]

.

торов следует, что одним из векторов, перпендикулярных плоско-

сти

треугольника ABC, является

вектор

. Так

как

N

AB,

AC

(5 1;

2 2; 6 0) (4; 0; 6).

AB (3 1; 0 2; 3 0)

(2; 2; 3), AC

Векторное произведение векторов

и

AB

AC найдем по форму-

ле (3.2)

i

j

k

2

3

2

3

2

2

N AB,

AC

2

2

3

0

6

i

4

6

j

4

0

k

4

0

6

12

i (12 12) j 8k 12i 24 j 8k,

N

N

144 576 64 28.

N

3

6

2

Тогда n

i

j

k

.

28

7

7

7

N

2. Из определения векторного произведения векторов

и

AB

AC

следует, что модуль вектора

AC

равен площади параллело-

AB,

грамма, построенного на векторах

и

AB

AC. Отсюда получаем,

что

площадь

треугольника

ABC

равна

1

. Так

как

AB,

AC

2

28,

то

S

14.

AB, AC

N

ABC

Задача 3.3.

В

базисе

i ,

j, k

даны

вершины

треугольника

A(1; 0; 1),

B(1; 1; 0),

C(2; 3; 1).

Вычислите длину его высоты,

опущенной из вершины A на сто-

рону BC.

Решение.

Из

соотношения

s

1

h

(рис. 3.2)

следует:

Рис. 3.2

2

BC

h

2S

.

Вектор

BC

(2 1;

3 1; 1 0)

(1; 2; 1).

Тогда

BC

BC

1 4 1

6.

ABC

С другой

стороны,

площадь

треугольника

равна

S

1

.

Так

как

0 1; 1 0)

(0; 1; 1)

и

BA, BC

BA (1 1;

2