Сандаков Векторная алгебра Учебно-методическое пособие 2012

Аффинная (косоугольная) система координат в пространстве

определяется выбором начальной точки O (началом координат) и

какого-либо базиса

p, q,

r

пространства.

Координатами точки М в данной аффинной системе координат

называются координаты вектора OM в выбранном базисе p, q, r.

то пишут M (x;

y; z) . Если вектор a задан

Если OM xp yq zr,

своими началом и концом, т.е.

(причем известны коор-

a M M

2

1

динаты точек

M1(x1; y1; z1)

и

M2(x2; y2; z2)

в заданной системе

находятся по форму-

координат Opqr),

то координаты вектора a

лам: a (x

2

x ;

y

2

y ; z

2

z ) .

1

1

1

Чаще всего будем иметь дело с декартовой

прямоугольной системой координат в про-

странстве, которая определяется заданием

начальной точки О (началом координат) и ка-

кого-либо ортонормированного базиса (ОНБ)

e ,

e

, e . Обычно этот ортонормированный

1

2

3

j; k . В нем i ; j; k

базис обозначают i ;

вза-

имно-перпендикулярны и по длине равны

единице. Обозначим через

, , углы, обра-

зованные вектором

a

(a

с базисными

0)

векторами i ;

j; k (рис. 1.10).

Рис. 1.10

Если a (x; y; z) в базисе i ;

j; k ,

то x

x

cos ;

y

y

cos ;

z

z

cos . По теореме Пифагора

a

x2 y2 z2.

Следователь-

но, cos2 cos2 cos2 1,

cos ;

cos ;

cos

называются

направляющими косинусами вектора a .

Ортом ненулевого вектора

a

(обозначается ea )

называется

единичный вектор, направление которого совпадает с a .

Координаты орта вектора a имеют вид: e (cos ; cos ; cos ) .

a

Задача 1.1. Точки K и Z служат серединами сторон BC и CD

параллелограмма ABCD.

Выразите векторы ВС и

CD

через векторы AK и

AK.

Решение. Из определения ра-

венства векторов, суммы векто-

ров и умножения вектора на

число следует (рис. 1.11), что

1

AK

AB BK CD

2

BC,

1

Рис. 1.11

AZ

AD DZ BC

2 CD.

Разрешая получившуюся систему:

1

BC

CD

AK;

2

1

BC

2

CD

AZ

относительно векторов

и

,

BC

CD

получим:

4AZ

2AK

2AZ

4AK

.

BC

3

; CD

3

Задача 1.2. Пусть М – точка пере-

сечения медиан грани ABC треуголь-

ной пирамиды SABC. Разложите век-

тор

SM

по базису e

SA,

e

SB,

1

2

e3 SC.

Рис. 1.12

Решение. Из рис. 1.12 имеем (согласно определению суммы век-

торов) SM

SA

AM.

Так как точка М является точкой пересечения медиан треуголь-

2

ника ABC, то AM

3

AD.

2

Следовательно,

(1.11)

SM

SA

3

AD .

С другой стороны,

Так как

1

AD

SD

SA.

SD

2

(SB SC), то

1

1

AD

(1.12)

2

SB

2

SC

SA.

Подставляя (1.12) в (1.11), получим

1

1

1

1

SM

3

(SA SB

SC)

3

e

3

e

3

e .

1

2

3

Задача 1.3. На плоскости даны три вектора a (5; 16),

b (2; 1),

c

(1; 2). Найдите разложение каждого из них по двум другим.

Решение. Заметим, что векторы b

и c

неколлинеарны. Следова-

тельно, векторы b

и c

образуют базис на плоскости. Запишем раз-

ложение вектора a

по базису b,

с

с неизвестными коэффициента-

ми , : a b c, т.е.

(5;16) (2;1) (1; 2) (2 ; ) ( ; 2 ) (2 ); 2 ).

Приравнивая соответствующие координаты получим:

5 2 ;

16 2 .

Решая эту систему, найдем 2;

9 . Итак,

a 2b 9c.

(1.13)

Из равенства (1.13) находим:

1

9

1

2

b 2 a

2 c,

c

9 a

9 c.

Это разложения векторов b

и c, соответственно, по базисам a, c и

a, b.

Задача 1.4. Даны точки А(1; 0; 2), B( 1; 1; 0), C(3;

5; 2). Най-

дите:

а) координаты вектора 2AB

BC;

б) орт и направляющие косинусы вектора

;

AB

в) какой-нибудь вектор, направленный по биссектрисе внут-

реннего угла B треугольника ABC.

Решение.

( 1 1; 1 0; 0 2)

( 2; 1; 2) ;

А. AB

(3

( 1); 5 1; 2

0) (4; 4; 2) ;

BC

2AB BC ( 2 2 4; 2 1 4; 2( 2) ( 2)) ( 8; 2; 2) .

Б. Орт вектора

:

AB обозначим

e

AB

4 1

4 3 ;

AB

1

2

;

1

;

2

;

AB

e

AB

3

AB

AB

3

3

3

cos 2

;

cos 1 ;

cos

2 .

3

3

3

В. Найдем орты векторов

BA и

BC :

32 ; 13 ; 32 ;

eBA

eAB

2

2

1

BC

BC

e

3

;

3

;

3

.

2 4 4 1

BC

BC

Вектор e eAB eBC

направ-

лен по биссектрисе внутреннего

угла B треугольника ABC (так как

является

диагональю

ромба)

(рис. 1.13).

4

1

1

;

;

e

3

3

.

3

Вместо

вектора

e

можно

взять

вектор

(4; 1; 1) ,

колли-

e

Рис. 1.13

неарный вектору e

и одинаково

с ним направленный.

Задача

1.5.

Даны три вершины параллелограмма

A( 2; 1),

B(1; 3), C(4; 0). Найдите четвертую вершину D.

Решение. Так как ABCD параллелограмм

то

(рис. 1.14)

но

( 3;

2) .

Следовательно,

CD

BA,

BA ( 2 1; 1 3)

( 3;

2) . Обозначим через x и

CD

y координаты вершины D параллело-

грамма ABCD, т.е. D(x, y). Тогда

x 4; y 0 .

CD

Так как, с другой стороны,

Рис. 1.14

CD 3; 2 , , отсюда имеем:

x 4 3;

y 2.

1

F

(i

j),

1

2

2

F

(i

k ),

2

2

3

F

(k

j).

3

2

Рис. 1.15

Равнодействующая этих трех

сил F равна

3i

4 j

5k

3

4

5

.

F F

F

F

, или

F

;

;

1

2

3

2

2

2

2

3

2

4 2

5 2

F

5.

2

2

2

Задача 1.7. Даны три некомпланарных вектора a, b, c. Проверь-

те, будут ли линейно зависимы векторы:

c;

m a

b c и

n

a

b

c.

1 3

0;

3

0;

2

0.

2

3

1

Очевидно 1

2,

2 1, 3

1

являются ненулевым решением

последней системы. Следовательно,

,

m и

n линейно зависимы.

Кроме того, 2

m n

0 .

Задачи для самостоятельного решения

1. Определите начало вектора a (2; 3; 1),

если конец его совпа-

дает с точкой М( 2; 1; 3).

2. В треугольнике АВС даны: A( 1; 3; 2),

AB (3; 1; 1) и

BC

4.

Найдите

модуль

и направляющие косинусы вектора a

(2; 3; 6).

5.

Определите, может ли вектор a

составлять с координатными

осями углы:

а) α = 30°,

β = 60°,

γ = 150°;

б) α = 45°,

β = 60°,

γ = 120°.

6.

(2; 3; 6) и

( 1; 2; 1) являются сторо-

Два вектора AB

AC

трисе угла между векторами a и b, при условии

с

4 3.

8.

На плоскости даны два вектора

p

(1; 2),

q (0, 3). Найдите

разложение вектора a (2; 5) по базису

p, q.

9.

Даны три вектора p (2;1;0),

q (1; 1; 2),

r (2; 2; 1).

Найдите разложение вектора c (3; 7;

7) по базису

p, q, r.

углы между каждыми двумя последовательными силами равны 72 .

13. Докажите, что для любых трех векторов

a, b, c и любых

трех чисел , ,

векторы a b;

b

c;

c a линейно за-

висимы.

14. Даны три некомпланарных вектора a, b, c. Проверьте, будут

ли линейно зависимы векторы:

а)

2a b

c;

m 2b

c

a и n

2c a b;

б)

a

b

c;

m b

c и n c a.

С помощью понятия проекции скалярное произведение двух

векторов a

и b

принимает вид:

(a, b)

b

пр a

a

пр b.

(2.1)

b

a

Справедливы следующие свойства скалярного произведения для

любых векторов a и b и любого R :

1) (a, b) (b, a);

2) (a b, c) (a, c) (b, c);

3) ( a, b) (a, b);

и b ортого-

4) (a, b) 0 тогда и только тогда, когда вектора

a

перемножаемых векторов в ортонормированном базисе.

и b

Если в ортонормированном базисе i ,

j, k

сомножители a

имеют координаты a x ;

y ;

z , b

x

; y

2

; z

2

, то их скалярное

1

1

1

2

произведение вычисляется по формуле (a, b) x1x2 y1y2 z1z2 .

2

3,

4.

Задача 2.1. Векторы a и b

образуют угол 3 ,

a

b

Найдите b: 1) (a, b); 2) (3a 2b; a 2b);

3) (3a 2b)2

.

cos

2

3 4

1

6.

Решение. 1. (a, b)

a

b

3

2

2. (3a 2b; a 2b) 3(a, a) 6(a, b) 2(b, a) 4(b, b)

3

2

4

2

3 3

2

4

1

4 4

2

61.

a

4(a, b)

b

3 4

2

дения.

2

3. (3a

2b)

(3a

2b; 3a

2b)

9(a, a) 12(a, b) 4(b, b)

9

2

12

1

4

2

9 (3)

2

12

1

4

2

217.

a

a

b

b

3 4

4