Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

ется подгруппа вращений вокруг оси, проходящей через эту точку,

а стационарной подгруппой точки M (0, 0,1) – подгруппа враще-

ний вокруг оси ОХ3. Мы видели, что этим вращениям соответст-

вуют диагональные матрицы из группы SU(2), т.е. матрицы вида

Отсюда вытекает, что единичная сфера S 2 – однородное простран-

ство с группой движений SO(3) и стационарной подгруппой ,

состоящей из матриц вида ω(t) . Это означает, что сферу S 2 мож-

но отождествить с пространством левых классов смежности груп-

если углы Эйлера матрицы u равны φ , θ , ψ , то ей соответствует точка М сферы с декартовыми координатами

M sin θ sin φ, sin θcosφ, cos θ .

Очевидно, что сферические координаты точки М равны

π2 φ и θ .

61

3.2.Неприводимые представления Tl u

Вэтом параграфе будут описаны неприводимые унитарные представления группы SU(2). Поскольку группа SU(2) компактна,

эти представления конечномерны. Чтобы построить их, рассмот-

рим сначала один класс представлений группы SL(2,C) унимоду-

лярных комплексных матриц второго порядка. Сужая эти пред-

ставления на подгруппу SU(2), получим ее неприводимые унитар-

ные представления.

Представления в пространствах однородных многочленов.

Каждой унимодулярной комплексной матрице второго порядка

соответствует линейное преобразование

ω1 αz1 γz2 , ω2 βz1 δz2

двумерного линейного комплексного пространства. Этому преоб-

разованию отвечает оператор

T g f z1, z2 f αz1 γz2 ,βz1 δz2

в пространстве от двух комплексных переменных.

Очевидно, что T (g1g2 ) T (g1)T (g2 ) , и потому T (g) является представлением группы SL(2,C). Это преставление приводимо,

поскольку в пространстве функций от двух комплекных перемен-

ных есть подпространства, инвариантные относительно преобразо-

ваний T (g) . Например, любой однородный многочлен от двух пе-

62

ременых переходит при преобразовании T (g) в однородный мно-

гочлен той же степени.

Пусть l – целое или полуцелое число. Обозначим через Bl про-

странство всех однородных многочленов

l

f (z1, z2 ) an z1l n z2l n

n l

степени 2l (n l, l 1,...,l) и через Tl (g) – сужение представ-

ления T (g) на пространство Bl .

Рассмотрим комплексную прямую z2 1 в двумерном ком-

плексном пространстве. Данная прямая пересекает каждую пря-

мую, проходящую через начало координат (кроме прямой z2 0 ) в

одной и только одной точке. Поэтому каждый многочлен f (z1, z2 )

63

Будем обозначать пространство многочленов степени 2l от одного переменного той же буквой Bl . Найдем в этом пространстве опера-

торы, соответствующие операторам представления Tl (g) . Для это-

го заметим, что многочлену φ z соответствует однородный мно-

гочлен f (z1, z2 ) от двух переменных, задаваемый формулой (3.11).

Оператор Tl (g) переводит этот многочлен в многочлен fg (z1, z2 ) f αz1 γz2 ,βz1 δz2 .

В силу однородности многочлена f (z1, z2 ) имеем

Итак, мы построили представление Tl (g) группы SL(2,C). Cузим теперь данное представление на подгруппу SU(2) группы SL(2,C).

Инфинитезимальные операторы представления Tl u . Вос-

пользуемся реализацией представления Tl u в пространстве мно-

гочленов степени 2l от одного переменного.

Рассмотрим однопараметрическую группу ω t , t ,

подгруппы SU(2) проходящей через единицу е группы при t 0 ,

пени 2l.

Определение. Инфинитезимальным оператором, отвечающим данной подгруппе ω t , называется оператор

Продифференцируем это равенство по t и положим t 0 . Мы по-

лучим, что подгруппе 1 соответствует инфинитезимальный опе-

ратор

A1 ilx 2i 1 x2 dxd .

Точно так же доказывается, что однопараметрическим подгруппам

2 и 3 соответствуют инфинитезимальные операторы

A2 lx 12 1 x2 dxd

и

Применим инфинитезимальные операторы A1 , A2 , A3 к базису

одночленам xl n , l n l :

A1xl n 2i l n xl n 1 2i l n xl n 1 , A2 xl n 12 l n xl n 1 12 l n xl n 1 , 66

A3 xl n inxl n .

Таким образом, инфинитезимальные операторы A1 и A2 переводят

базисные одночлены xl n в линейные комбинации «соседних» од-

ночленов xl n 1 и xl n 1 . Нетрудно написать операторы H и H ,

переводящие xl n в одночлены, пропорциональные xl n 1 и xl n 1 . Положим H iA1 A2 , H iA1 A2 , т.е.

H dxd ,

H 2lx x2 dxd .

Кроме того, введем оператор H3 , положив

H3 iA3 l x dxd .

Из введенных формул непосредственно вытекает

H xl n n l xl n 1 , H xl n n l xl n 1 ,

H3 xl n nxl n .

Из этих формул видно, что xl n – собственная функция оператора

H3 , соответствующая собственному значению n . Оператор H

переводит данную функцию в собственную функцию оператора

H3 , соответствующую собственному значению n 1. Оператор же

H переводит xl n в собственную функцию, соответствующую

67

собственному значению n 1. При этом оператор H обращает в

нуль функцию l, соответствующую наибольшему собственному

значению l, а оператор H – функцию x2l , соответствующую наименьшему собственному значению – l.

Неприводимость. Докажем, что представления Tl u группы

SU(2) неприводимы. Для этого достаточно показать, что в про-

странстве Bl нет нетривиального подпространства, инвариантного

странства, инвариантного относительно операторов H , H , H3 .

Обозначим через Bl n подпространство в Bl , состоящее из одно-

членов an xl n . Такое подпространство инвариантно относительно оператора H3 , причем различным значениям n соответствуют раз-

личные собственные значения оператора H3 в Bl n .

Предположим, что подпространство G в Bl инвариантно отно-

сительно операторов H , H , H3 . Из инвариантности подпро-

странства G относительно H3 следует, что оно является прямой суммой некоторых из подпространств Bl n , т.е.

G = Bl n1 + ... + Bl ns .

Поэтому если G ≠ 0, то оно содержит один из многочленов xl n . 68

Воспользуемся теперь инвариантностью подпространства Ģ от-

носительно операторов H и H . Из этой инвариантности вытека-

ет, что G содержит все функции видов H s xl n и H s xl n , где

H s xl n αxl n s , 0 s l n ,

H s xl n βxl n s , 0 s l n ,

α,β 0 . Отсюда вытекает, что G содержит все одночлены xl n ,

l m l , и потому совпадает с Bl . Тем самым неприводимость представления Tl u группы SU(2) доказана.

Инвариантное скалярное произведение. Поскольку группа

SU(2) компактна, в пространстве Bl ее конечномерного представ-

ления Tl u существует инвариантное скалярное произведение.

Найдем скалярное произведение xl k , xl m , где l k, m l . По-

кажем, что xl k , xl m 0 при k m . Для этого воспользуемся

инвариантностью скалярного произведения относительно операто-

этому

xl k , xl m Tl h xl k ,Tl h xl m e i k m xl k , xl m .

69

t = 0 (т.е. перейдем к инфинитезимальным операторам). Получим

0 A2 xl k , xl k 1 xl k , A2 xl k 1 .

Используя выражение A2 xl n , найденное ранее, имеем

0 l k xl k 1, xl k 1 l k 1 xl k , xl k .

Инвариантное скалярное произведение определено с точностью до постоянного множителя. Выберем этот множитель так, чтобы име-

ло место равенство l,l 2l! Тогда, пользуясь полученным реку-

рентным соотношением, находим

xl k , xl k l k ! l k !, l k l .

Отсюда следует, что система функций