Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

Заключение

Данное учебное пособие посвящено рассмотрению методов ре-

шения некорректных задач текстурного анализа: задачи восстанов-

ления функции распределения ориентаций зерен в поликристалли-

ческих материалах (в том числе и наноматериалах) по набору из-

меренных рентгеновским или нейтронным методом полюсных фи-

гур, и задачи вычисления ФРО по набору ориентаций отдельных зерен, получаемому методами электронной микроскопии.

Особое место в пособии уделяется нормальным распределени-

ям, удовлетворяющих центральной предельной теореме на группе вращений SO(3). Нормальному распределению посвящена глава, в

которой изложены три различных метода вычисления НР – метод рядов Фурье, метод использования аппроксимации ряда Фурье и специализированный метод Монте-Карло. Из нормальных распре-

делений на SO(3) только ЦНР имеет аналитическое выражение.

Коэффициенты его ряда Фурье заданы явно. Остальные нормаль-

ные распределения можно получить только численно, притом вы-

числения эти весьма трудоемки. Поэтому ЦНР чаще используется в задачах, связанных с восстановлением и аппроксимацией ФРО и ПФ.

Развитие методов решения основной проблемы КТА – задачи восстановления ФРО поликристаллических материалов по набору полюсных фигур происходило в течение последних пятидесяти лет.

В настоящее время эта задача основательно изучена, разработано много методов и готовых комплексов программ для ее решения. В

учебном пособии дан краткий обзор этих методов. Наиболее полно

221

изложен разрабатываемый авторами метод аппроксимации ФРО центральными НР. Такое представление ФРО удобно для интер-

претации текстуры как суперпозиции отдельных текстурных ком-

понент с некоторыми весами. При этом погрешность вычисления ФРО содержит как составляющую, обусловленную дефектами об-

работки материала (дефектами кристаллической решетки, наличи-

ем примеси, дефектами начального состояния и т.п.), так и состав-

ляющую из погрешностей измерения полюсных фигур. ПФ, полу-

ченные рентгеновским методом, являются неполными (до полярно-

го угла 70 80 вместо 90 ), в измерениях участвует достаточно тонкий слой вещества на поверхности образца и, в зависимости от направления луча, наблюдаются разные слои материала, имеет ме-

сто явление дефокусировки. Размер зерен и шаг измерения также влияют на погрешность. ПФ, полученные нейтронным методом,

имеют статистику зерен в 104 106 раз превосходящую статистику зерен в рентгеновском эксперименте. Кроме того, определяются полные ПФ. В связи с этим ПФ, измеренные нейтронным спосо-

бом, имеют меньший уровень погрешности, но этот эксперимент намного дороже, поэтому используется реже.

В последние десятилетия непрерывное развитие технологии в области электронной микроскопии и компьютерной техники по-

зволяют одновременно изучать локальную тексктуру (размеры зе-

рен поликристаллов, их границы, углы разориентации между со-

седними зернами и т.д.) и глобальную текстуру (ФРО, свойства ма-

териалов, процессы деформации и т.д.). В учебном пособии рас-

сматривается методика получения ориентаций отдельных зерен

222

поликристаллов при EBSD-измерениях и методика вычисления ФРО и ПФ по результатам таких экспериментов. На погрешность измерения ориентаций влияют параметры – шаг измерения, вели-

чина размера зерен, величина угла разориентации между соседни-

ми зернами. Существуют неиндексируемые области, как правило,

на границах зерен. Поскольку неиндексируемые области выбрасы-

ваются из рассмотрения, теряется 10 50 % объема областей.

Большое влияние на величину погрешности оказывает статистиче-

ская зависимость ориентаций зерен, связанная с выбором величи-

ны шага измерений и угла разориентации для идентификации раз-

личающихся между собой ориентаций, а также способ получения ориентаций части неиндексируемых зерен путем усреднения ори-

ентаций соседних зерен. Кроме того, зависимость ориентации обусловлена явлением «памяти» положения зерен в образце в про-

цессе обработки (например, в процессе рекристаллизации).

В пособии рассматриваются ядерные и проекционные методы решения задачи вычисления ФРО и ПФ по набору ориентаций от-

дельных зерен поликристалла, исследуются статистические харак-

теристики получаемых результатов. Приводятся аналитические и численные оценки точности приближения ФРО в зависимости от объема выборки, дисперсии ФРО, параметров сглаживания исход-

ных данных – ядра и его полуширины в ядерных методах и длины разложения в ряд Фурье по обобщенным шаровым функциям в проекционных методах. Численные результаты получены для мо-

дельных примеров, где для моделирования отдельных ориентаций использовался специализированный метод Монте-Карло, разрабо-

223

танный для дискретного вычисления НР на SO(3). Рассматривают-

ся влияние погрешностей вычисления ориентировок, кристалло-

графической симметрии на устойчивость и точность восстановле-

ния ФРО. В пособии описаны вопросы моделирования статистиче-

ской зависимости ориентировок, приводится исследование ее влияния на точность вычисления ФРО.

В последней главе пособия представлены вопросы применения ФРО на примере вычисления усредненных упругих свойств для образцов магния и титана. Приведено исследование пластических свойств сплава магния после РКУП.

224

Список использованной литературы

1.Аганин К.П., Савелова Т.И. Оценки точности ядерных и проекционных методов восстановления функции распределения ориентаций на группе вращений SO(3) // Журнал вычислит. матем. и матем. физ. 2008, № 6, С. 1087–1101.

2.Адамеску Р.А., Гельд П.В., Митюшов Е.А. Анизотропия физических свойств металлов. М.: Металлургия, 1985. С. 137.

3.Аксенов В.Л., Балагуров А.М. Времяпролетная нейтронная дифрактометрия – Успехи физических наук. 1996. Т. 166. № 9, с. 955–985.

4.Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука. 1984.

С. 472.

5.Боровков М.В., Савѐлова Т.И. Вычисление нормальных распределений на группе вращений методом Монте-Карло. Журнал вычислит. матем. и матем. физ. 2002. Т.42. №1. С.

112–128.

6.Боровков М.В., Савѐлова Т.И., Серебряный В.Н. Исследование статистических ошибок рентгеновского текстурного эксперимента по измерению полюсных фигур с использованием метода Монте-Карло // Заводская лаборатория. 2005. Т.21. № 12, С. 19–24.

7.Боровков М.В., Савѐлова Т.И. Нормальные распределения на

SO(3). М.: МИФИ. 2002. С. 94.

8.Бухарова Т.И., Капчерин А.С., Николаев Д.И., Папиров И.И., Савѐлова Т.И., Шкуропатенко В.А. Новый метод восстанов-

225

ления функции распределения зерен по ориентациям. Аксиальная текстура. ФММ. 1988. Т. 65. № 5. С. 934–939.

9.Бухарова Т.И. Применение гауссовых распределений для описания текстур гексагональных поликристаллов. Известия РАН. Физика Земли. 1993. № 6. С. 59–67.

10.Вассерман Г., Гревен И. Текстуры металлических материалов. М.: Металлургия. 1969. С. 653.

11.Виглин А.С. Количественная мера текстуры поликристаллического материала. Текстурная функция // ФТТ. 1960. Т. 2, № 10, С. 2463–2476.

12.Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука. 1965. С. 588.

13.Вишняков Я.Д., Бабарэко А.А., Владимиров С.А., Эгиз И.В.

Теория образования текстур в металлах и сплавах. М.: Наука. 1979. С. 329.

14.Деврой Д., Дьерфи Л. Непараметрическое оценивание плотности, L1 -подход. М.: Мир. 1988. С. 407.

15.Готтштайн Г. Физико-химические основы материаловедения. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2009. С. 400.

16.Иванов А.Н. Дифракционные методы исследования материалов. М.: МИСиС. 2008. С. 99.

17.Иванова Т.М., Савѐлова Т.И. Устойчивый метод аппроксимации функции распределения ориентаций нормальными распределениями // ФММ. 2006. Т. 101. № 2. С. 1–5.

18.Крянев А.В., Лукин Г.В. Математические методы обработки

неопределенных данных. М.: ФМЛ. 2003. С. 214. 226

19.Куртасов С.Ф. Методика количественного анализа текстур прокатки материалов с кубической симметрией кристаллической решетки // Зав. лаб. 2007. Т. 73. № 7. С. 41–44.

20.Ломоносов М. В. Избранные философские произведения. М.:

Госполитиздат. 1950. С. 755.

21.Мельников К.Е., Серебряный В.Н. Методика моделирования текстур деформации материалов с различными типами структур // Зав. лаб. 2007. Т. 73. № 3. С. 39–42.

22.Никитин А.Н., Иванкина Т.И. Нейтронография в науках о земле. Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2004. Т. 35. Вып. 2. С. 348–407.

23.Никишин А.В., Николаев Д.И. Численный анализ канонических нормальных распределений на SO(3) и применение его при изучении текстуры поликристаллов // Зав. лаб. 2007.

Т. 73. № 3. С. 37–43.

24.Никишин А.В., Николаев Д.И. Вычисление усредненных упругих свойств материалов, имеющих некруговой характер полюсных фигур // Кристаллография. 2008. Т. 53. № 3.

С. 526–529.

25.Николаев Д.И., Савелова Т.И. Аналитическое описание текстуры с помощью гауссовских распределений // Известия АН

СССР. Металлы. 1989. № 6. С. 165–169.

26.Окишев К.Ю. Кристаллохимия и дефекты кристаллического строения: Учебное пособие. Челябинск: ЮУрГУ, 2007, с.

97.

27.Попов Г.М., Шафрановский И.И. Кристаллография. М.: Высшая школа. 1972. С. 352.

227

28.Рогинский К.Н., Савѐлова Т.И. Вычисление полюсных фигур ядерным методом по набору отдельных ориентаций зерен на группе SO(3) в текстурном анализе. М.: НИЯУ МИФИ. 2010.

С. 104.

29.Савѐлова Т.И. Функция распределения зерен по ориентациям

и их гауссовские приближения // Зав. лаб. 1984. Т. 50. № 5.

С. 48–52.

30.Савѐлова Т.И. Предисловие к книге «Новые методы исследования текстуры поликристаллических материалов», М.: Металлургия. 1985. С. 10–30.

31.Савѐлова Т.И. Метод аппроксимации функции распределения зерен по ориентациям гауссовскими распределениями на группе вращений SO(3) // Известия РАН. Физика Земли. 1993. № 6. С. 50–53.

32.Савѐлова Т.И., Бухарова Т.И. Представления группы SU(2) и их применение. М.: МИФИ. 1996. С. 114.

33.Савѐлова Т.И., Сыпченко М.В., Коренькова Е.Ф. Оценки точности статистических характеристик нормальных распределений на группе вращений SO(3). Препринт 002 – 2006. М.: МИФИ. 2006. С. 36.

34.Савѐлова Т.И., Коренькова Е.Ф. Оценка точности некоторых статистических характеристик в текстурном анализе // Зав. лаб. 2006. Т. 72. № 12. С. 29–34.

35.Савѐлова Т.И., Аганин К.П. Аналитические и численные оценки точности ядерных и проекционных методов восстановления плотности рапределения ориентаций на группе

228

вращений SO(3). Препринт 004 – 2007. М.: МИФИ. 2007. С. 48.

36.Савѐлова Т.И., Сыпченко М.В. Вычисление функции распределения ориентаций по набору отдельных ориентировок на группе вращений SO(3) // Журнал вычислит. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 6. С. 1015–1028.

37.Савѐлова Т.И., Иванова Т.М. Методы восстановления функции распределения ориентаций по полюсным фигурам (обзор) // Зав. лаб. 2008. Т. 78. № 7. С. 25–33.

38.Савѐлова Т. И., Сыпченко М.В. Оценка точности для восстановления функции распределения зерен по ориентациям для зависимых ориентаций и с учетом размеров зерен // Журнал вычислит. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. № 5. С. 879–890.

39.Савѐлова Т.И., Иванова Т.М., Сыпченко М.В. Применение нормальных распределений на группе SO(3) в текстурном анализе. М.: НИЯУ МИФИ. 2010. С. 104.

40.Серебряный В.Н., Иванова Т.М, Гордеев А.С., Попов М.В.,

Тимофеев В.Н., Рохлин Л.Л., Добаткин С.В. Текстура сплава

Mg-0,49%Al-0,47%Ca после равноканального углового прессования. РАН ИМЕТ им. Байкова // Металлы. № 3. 2008.

С. 91–98.

41.Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука. 1975. С. 680.

42.Сыпченко М.В., Савѐлова Т.И. Некоторые проблемы измерений ориентаций отдельных зерен и вычисление усредненных

229

упругих свойств магния // Заводская лаборатория и диагно-

стика материалов. 2010. Т. 76. № 6. С. 39–44.

43.Сыпченко М.В., Савѐлова Т.И. Исследование точности моделирования текстуры поликристалла по данным измерений отдельных ориентировок // Кристаллография. 2010. Т. 55.

№ 4, С. 744–748.

44.Федоров Е.С. Симметрия и структура кристаллов. Основные работы. Под ред. А.В. Шубникова и И.И. Шафранского. М.: АН СССР. 1949. С. 631.

45.Ченцов Н.Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. М.: Наука. 1972. С. 512.

46.Шаскольская М.П. Кристаллография. М.: Высшая школа.

1984. С. 375.

47.Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред.

М.: Наука. 1977. С. 285.

48.Штанский Д.В. Просвечивающая электронная микроскопия высокого разрешения в нанотехнологических исследованиях

// Российский химический журнал (журнал российского химического общества им. Д.И. Менделеева). 2002. Т. XLVI. № 5. С. 81–89.

49.Bernier J. V., Boyce D.E. and Miller M.P. A Novel Optimization

– Based Pole Figure Inversion Method // Texture of Materials, ICOTOM 14, Belgium. 2005. Р. 325–330.

50.Bernier J. V., Miller M.P. and Boyce D.E. A novel optimization

– based pole figure inversion method: comparison with WIMF

230