Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

При вычислении ПФ задаются параметры полуширины гаус-

совского пика, соответствующего каждому зерну, и размер класте-

ра, т.е. участка разбиения ПФ. На рис. 7.10 и 7.11 приведены ПФ с параметрами 8º – полуширина гауссовского пика, 8º – размер кла-

стера (рис. 7.10), 4 и 8º (рис. 7.11).

Рис. 7.10. ПФ с полушириной гауссовского пика 8º

Рис. 7.11. ПФ с полушириной гауссовского пика 4º

161

На рис. 7.10 ПФ получились более заглаженными, чем на рис. 7.11, где более детально прорисованы подробности текстуры материала.

При вычислении ФРО задаются параметры полуширины гаус-

совского пика, соответствующего каждому зерну, и длина ряда разложения. На рис. 7.12, 7.13 представлены сечения ФРО (посто-

янным был взят угол φ1 ) с параметрами Lmax = 28, полуширина – 8˚ (рис. 7.12) и Lmax= 34, полуширина равна 4˚ (рис. 7.13).

Рис. 7.12. ФРО с полушириной пика 8º

162

Рис. 7.13. ФРО с полушириной гауссовского пика 4º

На рис. 7.12, 7.13 можно видеть, что с уменьшением параметра полуширины гауссовского пика, насаживаемого на каждое зерно,

происходит большая детализация, ФРО становится более изрезан-

ной.

В данной главе рассмотрены вопросы точности проведения

EBSD-измерений ориентировок зерен поликристаллических мате-

риалов. На точность определения величин, характеризующих тек-

стуру материалов, влияют несколько факторов, а именно: выбор шага измерения ориентировок, количество измеряемых зерен и связанный с ним факт зависимости ориентировок, вопрос о выборе угла разориентации, разграничивающий соседние зерна, определе-

163

ние границ и формы зерен, вопрос усреднения неиндексируемых

областей.

Контрольные вопросы

1.Получение ориентаций отдельных зерен поликристаллов мето-

дами электронной микроскопии.

2.Перечислите основные погрешности EBSD-измерений.

3.Как влияют параметры EBSD-измерений на точность вычисле-

ния ФРО и ПФ?

4.Следствием чего является зависимость ориентаций при EBSD-

измерениях?

164

Глава 8. Робастные методы восстановления ФРО

по набору отдельных ориентировок

Функция распределения зерен по ориентациям широко исполь-

зуется в текстурном анализе для исследования физико-

механических свойств поликристаллических материалов (напри-

мер, [30, 58]). В последние годы автоматизация ЕВSD (Electron Backscattering Diffraction) систем позволяет получать большое (по-

рядка 107 ) количество измерений отдельных кристаллографиче-

ских ориентаций для изучения глобальной текстуры.

В данной главе рассмотрены аналитические и численные оценки точности восстановления плотности распределения ориентаций на

SO(3):

в различных метрических пространствах L2 , L1 , С;

зависимость точности ядерных методов от объема выборки,

ядра сглаживания, параметра ядра сглаживания;

точность проекционных методов приближения плотности рас-

пределения ориентаций по базису из обобщенных шаровых функ-

ций, в частности характеров представлений группы SO(3) [12], за-

висимость точности проекционных методов от параметров – объе-

ма выборки, количества членов ряда Фурье;

зависимость приближения от свойств искомой плотности рас-

пределения, в частности от аналога дисперсии распределения (в

текстурном анализе принят термин «острота текстуры»);

165

оценки точности для зависимых элементов выборки, влияние размеров зерен на точность вычислений.

Численные эксперименты проводятся на модельных примерах,

полученных путем статистического моделирования нормальных распределений (НР), удовлетворяющих центральной предельной теореме на группе SO(3) [5, 7].

Для оценки точности сходимости ядерных и проекционных ап-

проксимаций плотности распределения на SO(3) по выборке из от-

дельных ориентировок в L2 , L1 используют результаты, получен-

ные в евклидовом пространстве [4, 14, 18, 45], а для сглаживания ориентировок зерен в ядерных методах – ядра, указанные в работах

[14, 104, 105].

8.1. Вычисление статистических характеристик ядерных

оценок ФРО

l 0 m, n l

где

166

N i 1

Очевидно, получаем

167

Из выражений (8.1), (8.5) находим смещение оценки (8.2):

где

168

C(l1,l2 ,l , m, n, m n) – коэффициенты Клебша–Гордана (приложе-

ние 4) [12].

Из формул (8.6), (8.7) получаем оценку точности ядерной оценки (8.2) в L2 :

2l

C(l,l,l , m, m, 2m)C(l,l,l , n, n, 2n)Cl2m,2nl

l 0

В силу компактности группы SO(3) и неравенства Коши– Буняковского находим, что оценки в пространстве L2 справедливы

в пространстве L1 сверху:

f (g) L1 22π f (g) L2 .

169

8.2. Статистические характеристики для центральных

функций

Для центральных функций на SO(3) имеем разложение по ха-

рактерам представлений:

Ядерная оценка по выборке t1, , tN , отвечающей независимым вращениям g1, , gN , имеет вид