Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

Полученные результаты представлены в табл. 8.1. Критическое

значение χ 2 -критерия, отвечающее уровню значимости β 0,05

при числе степеней свободы 15 Zкр 24,996 . Из приведенных

данных можно сделать вывод о совпадении распределений для

191

Было проведено сглаживание результатов численных экспери-

ментов по статистическому моделированию дискретных распреде-

лений при помощи аналога метода Розенблатта–Парзена для функ-

ции F(t):

житель, t1 , ..., tN – исходная выборка, значение параметра сглажи-

вания бралось hN 0,1.

Полученные результаты изображены в виде графиков для функ-

ций F(t) и f( ). На рис. 8.5–8.6 представлены сглаженные методом Розенблатта–Парзена плотности (сплошная линия) и точные (кру-

жочки) плотности для F(t) (рис. 8.5), и для f( ) (рис. 8.6). Значения параметра распределения ε2 1 (рис. 8.5а, 8.6, а); ε2 14 (рис. 8.5,

б, 8.6, б); ε2 1 64 (рис. 8.5, в, 8.6, в). Объем выборки N = 3000. Из графиков видим, что наибольшее расхождение имеет место в окре-

стности точки максимума функций F(t) или f( ) при малых ε.

а б в

Рис. 8.5. Сглаженная и точная плотности (F(t))

192

Рис. 8.6. Сглаженная и точная плотности f( )

На рис. 8.7, 8.8 изображены сечения ЦНР, вычисленные в углах

использовался объем выборки N=3×103. На рис. 8.7,а, 8.8,а приве-

дены результаты вычислений с ядром (8.59) при hN 0, 25, 0,20

соответственно. На рис. 8.7,б, 8.8,б изображены соответствующие изолинии (цифры – значения линий уровня). На рис. 8.7, в и г, 8.8, в

и г показаны точные значения ЦНР и их изолинии для сравнения получаемых приближений. Из приведенных расчетов видим, что восстановленные значения плотности имеют более «размазанный» характер (эффект смещения).

193

Рис. 8.7. Сечения ФРО для ε2 14

Рис. 8.8. Сечения ФРО для ε2 116

194

Во всех случаях Ci 0 – нормировочная константа, т.е.

π

ременными. Из приведенных рисунков видим, что лучший резуль-

тат дают ядра q2 t и q3 t . На рис. 8.9, а–е представлены сгла-

женные методом Розенблатта–Парзена плотности (сплошная ли-

ния) и точные (кружочки) плотности. На рис. 8.9,а сглаживание проводилось с помощью ядра q1 , на рис. 8.9,б – для ядра q2 ; на рис. 8.9,в – для ядра q3 ; на рис. 8.9,г – для ядра q4 ; на рис. 8.9, д –

для ядра q5 ; на рис. 8.9,е – для ядра q6 . Объем выборки N = 500.

г д е

Рис. 8.9. Сглаживание с использованием различных ядер

196

На рис. 8.10, а–в приведены результаты вычислений ЦНР с

ε2 116 при N = 3×103, показывающие влияние погрешностей на результат восстановления плотности распределения. Численное моделирование проводилось по формуле ti ti δξi , i 1, ... , N ,

ξi – либо равномерно распределенная величина в интервале (–1;1),

либо распределенная по нормальному закону N 0;1 . Брались значения δ 0,01; 0,1; 0,3 для случаев а, б, в соответственно.

При уровне погрешности δ 0,01 0,1 результат сглаживания ме-

няется незначительно (рис. 8.10, а, б). При δ 0,3 получаем силь-

ное влияние «загрязнения» исходных данных на восстановление плотности распределения (сплошная линия). Приведены данные для погрешности, распределенной по нормальному закону (кру-

жочки). Данные, полученные в случае равномерно распределенной погрешности, дают аналогичный результат.

Рис. 8.10. Влияние погрешности определения ориентировки

При исследовании проекционного метода проводился расчет оптимального количества слагаемых в разложении плотности рас-

197

пределения в ряд Фурье по характерам представлений из условия

(см. (8.52))

min M 2 min M 12 22 .

Результаты вычислений при различных объемах выборки и па-

раметрах распределения представлены в табл. 8.2.

Таблица 8.2. Оптимальное количество слагаемых в разложении ЦНР в ряд Фурье

8.8.2. Моделирование зависимых ориентаций

Составляем выборку из N ориентаций для центральных функ-

ε 1 2, ε 1 8 точной функции (изображена точками) и модель-

ной (изображена сплошной линией) для случаев а–г соответствен-

случае а –K=2,2 раза, б – K=3,8 раза, в – K=6,3 раза, г – K=1 раз.

Также из приведенных графиков видим, что максимум плотности увеличивается при наличии зависимости элементов выборки. В

случае в при ε 12 увеличение происходит на 33 %, при ε 18 –

на 24 %.

Рис. 8.11. Случаи статистической зависимости ε 12

199

Рис. 8.11. Окончание

в г

Рис. 8.12. Случаи статистической зависимости ε 18

8.8.3. Моделирование зеренной структуры образца

Разбиваем интервал 0, π на n равных частей. Пусть в i -й ин-

тервал, i 1,..., n, попало ni элементов выборки объема N. Обо-

200