Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

аппроксимацией, метод суперпозиции, робастный метод компо-

нент).

Рис. 4.2. Профили нулевых сечений функции распределения ориента-

ций, полученной различными методами по полюсным фигурам из Метца:

использовалось 2–4 ПФ. В верхнем ряду: профили полной ФРО. В ниж-

нем ряду: a – метод положительности; б – метод гребневой оценки; в –

суперпозиция большого числа нормальных распределений; г –робастный метод компонент с использованием центрального нормального распределения

Для образца магния, указанного выше, были также измерены неполные рентгеновские ПФ в Институте металлургии и материа-

ловедения РАН (Москва) (шесть ПФ: 0002 , 10 10 , 1120 ,

10 11 , 10 12 , 10 13 на сетке 2,5 5o с изменением полярно-

го угла от 0 до 80o ) и полные нейтронные ПФ в Объединенном институте ядерных исследований (Дубна) (шесть ПФ: 0002 ,

111

10 10 , 1120 , 10 11 , 10 12 , 10 13 на сетке 5 5o с из-

менением полярного угла от 0 до 90o ). Исследовался вопрос ус-

тойчивости традиционного метода Роу–Бунге (простая минимиза-

ция функционала (4.9) с использованием нормальной системы уравнений без регуляризации) и его модификации с использовани-

ем гребневой оценки. Оказалось, что в случае полных нейтронных ПФ оба метода дали схожие результаты. Результат для метода гребневой оценки приведен на рис. 4.3. Однако при использовании неполных ПФ результаты существенно отличаются. На ПФ, вос-

становленной традиционным методом Роу–Бунге, возникают об-

ласти сильно отрицательных значений – артефакты (рис. 4.4). При регуляризации же методом гребневой оценки наблюдается устой-

чивость (рис. 4.5).

Рис. 4.3. Метод гребневой оценки. Дифракция нейтронов (ОИЯИ,

Дубна): шесть ПФ. Приведены восстановленные полюсные фигуры

0002 , 10 10 и нулевое сечение ФРО

112

Рис. 4.4. Стандартный метод Роу–Бунге. Рентгеновская дифракция

(ИМЕТ, Москва): шесть неполных ПФ. Приведены восстановленные по-

люсные фигуры 0002 , 10 10 и нулевое сечение ФРО

Рис. 4.5. Метод гребневой оценки. Рентгеновская дифракция (ИМЕТ,

Москва): шесть неполных ПФ. Приведены восстановленные полюсные фигуры 0002 , 10 10 и нулевое сечение ФРО

4.6. Критерии сравнения методов

Сравнение различных методов между собой можно проводить

по следующим критериям:

113

погрешности отклонения вычисленных и эксперимен-

тальных полюсных фигур, в том числе не участвующих в вос-

становлении ФРО, пользуясь RP-фактором;

восстановление четной и нечетной составляющих ФРО;

количество полюсных фигур, участвующих в восстановлении ФРО;

трудоемкость вычисления (объем данных и затраты времени на вычисления);

устойчивость метода вычислений относительно погреш-

ностей измерения ПФ и погрешностей проводимых вычислений.

В работе [65] проведено сравнение трех методов – гармониче-

ского метода Роу–Бунге, векторного метода Руера и Баро и метода

WIMV. На основе анализа результатов обработки данных в виде модельных и реальных ПФ для случаев кубической и тригональной симметрий был сделан вывод об удовлетворительном соответствии экспериментальных и вычисленных ПФ во всех методах. При этом в гармоническом и векторном методах наблюдаются отрицатель-

ные значения ФРО. Векторный метод заметно отличается от двух других трудоемкостью вычислений, требует большой оперативной памяти и времени на проведение расчетов. Устойчивость методов в указанных работах не исследовалась.

В работах [34, 35] на модельных примерах сравниваются между собой на устойчивость относительно погрешностей измерения ПФ четыре метода: метод минимизации невязки между ПФ и инте-

гральным оператором от ФРО, WIMV-метод, метод максимальной энтропии и новый метод авторов. В качестве нового метода пред-

114

полагается минимизация по f g функционала, содержащего не только сумму квадратов разностей экспериментальных и модель-

ных полюсных фигур, но и взятое с некоторым множителем

β 0,1 слагаемое, представляющее квадрат градиента ФРО. По-

казано, что предлагаемый новый метод минимизации при подхо-

дящем β 0 обладает свойством устойчивости в отличие от трех остальных.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте постановку задачи восстановления ФРО по набору ПФ. В чем заключается некорректность задачи?

2.В чем заключается метод Роу-Бунге восстановления ФРО по набору ПФ и неединственность решения задачи?

3.В чем заключается векторный метод восстановления ФРО по набору ПФ?

4.В чем заключается метод аппроксимации ФРО стандартными функциями? Каким образом можно использовать нормальные распределения в качестве стандартных функций?

5.Перечислить основные критерии сравнения методов восстанов-

ления ФРО по набору ПФ.

115

Глава 5. Нормальные распределения на группе SO(3)

Различные стандартные распределения вероятностей исполь-

зуются в прикладной кристаллографии и количественном текстур-

ном анализе. Одно из распределений такого рода есть нормальное распределение (НР) на группе вращений. Существуют различные подходы к определению НР на группе вращений в теории вероят-

ностей и исследованиях текстур [5, 7, 23, 29, 32, 53, 77, 89, 103, 104]. Здесь рассматривается определение НР, удовлетворяющее центральной предельной теореме на группе SO(n), n 1 [90]. Ос-

новным применением НР в текстурном анализе является восста-

новление функции распределения зерен по ориентациям (ФРО) из полюсных фигур (ПФ) методом аппроксимации НР на SO(3). Из-

вестны следующее методы вычисления НР: метод суммирования рядов Фурье, метод аналитического приближения, специализиро-

ванный метод Монте-Карло. Каждый из перечисленных методов имеет свои достоинства и недостатки и может быть использован в тех или иных случаях в приложениях.

5.1. Определения и классификация нормального

распределения

Определение 1. Распределение μ на группе SO(3) является нор-

мальным, если μ безгранично делимо, не является идемпотентной мерой и может быть представлено в виде

116

αi – действительные числа; Tg – представление группы SO(3); Ai –

инфинитезимальные операторы, отвечающие представлению Tg .

НР μ в уравнении (5.1) обозначим N αij , αi , где N αij , αi

означает НР с параметрами αij , αi .

Определим специальные классы НР.

Определение 2. Распределение μ на SO(3) называется канониче-

ским нормальным распределением (КНР), если оно представлено выражением с диагональной матрицей параметров

N αii , 0 , т.е. αij 0 при i j .

Определение 3. Распределение μ на SO(3) называется централь-

ным нормальным распределением (ЦНР), если в КНР αii ε2 , i 1, 2,3, N ε2 ,0 .

Только ЦНР может быть вычислено из уравнения (5.1) аналити-

чески:

117

раметр ЦНР. Остальные НР могут быть определены только чис-

ленно из уравнения (5.1).

Существуют другие варианты определения НР на SO(3) [7, 103].

распределения

Обычно НР вычисляется только численно. Существуют три раз-

личных подхода к вычислению НР. Рассмотрим алгоритмы этих приближений, их достоинства и недостатки. Каждый подход иллю-

стрируется примерами вычислений. Даются рекомендации по при-

менению метода, оцениваются точность и скорость сходимости в каждом случае.

5.2.1. Метод суммирования ряда Фурье

Используя определение 2, можно получить следующее соотно-

шение для вычисления КНР [7, 23, 29, 53]:

все остальные элементы равны нулю.

При вычислении суммы ряда Фурье (5.3) встает вопрос о коли-

честве членов ряда для вычисления функции с заданной точностью.

Рассмотрим этот вопрос для ЦНР с различным параметром ε и

обобщим эту оценку на КНР. Ошибка при обрезании ряда Фурье

(5.2) в случае ЦНР может быть оценена величиной

119