Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

образует ортогональный нормированный базис в пространстве Bl .

В заключение заметим, что

H ψn x l n l n 1 ψn 1 x , H ψn x l n l n 1 ψn 1 x ,

H3ψn x nψn x .

Полнота системы представлений Tl u . Мы построили сис-

тему Tl u попарно неэквивалентных унитарных неприводимых представлений группы SU(2) (неэквивалентность следует из того,

что представления с различными l имеют различную размерность).

Оказывается, что этими представлениями исчерпываются все (с

точностью до эквивалентности) неприводимые унитарные пред-

ставления группы SU(2). Иными словами, имеет место следующая теорема.

Теорема 3.1. Каждое неприводимое унитарное представление группы SU(2) эквивалентно одному из представлений Tl u ,

l 0, 12 ,1,... .

(Без доказательства)

Число l называется весом представления Tl u .

Доказательство полноты для произвольной компактной группы содержится в [12, c. 60], для группы SO(3) в [5, гл. 1, § 2, п. 3] (в

последнем случае доказательство без изменений повторяется для группы SU(2)).

71

3.3. Матричные элементы представлений Tl u .

Многочлены Лежандра и Якоби

В этом разделе будут вычислены матричные элементы неприво-

димых унитарных представлений Tl u группы SU(2). Сначала вычислим матричные элементы для представлений Tl g группы

SL(2,C), получающейся при комплексификации группы SU(2), а

потом, перейдя к вещественным значениям параметров, получим матричные элементы представлений Tl u . Будет показано, что эти матричные элементы выражаются через показательную функцию и многочлены Pmnl z , тесно связанные с классическими многочле-

нами Якоби и Лежандра.

Вычисление матричных элементов. Ранее были построены представления Tl g группы SL(2,C) по формуле (3.12). Они зада-

ются в виде

странстве Bl таких многочленов базис, состоящий из одночленов

Для вычисления матричных элементов воспользуемся формулой для скалярного произведения:

ai, j Aej , ei ,

Раскроем скобки и примем во внимание, что xl k , xl m 0 при k m и xl m , xl m l m ! l m !. Получим

где M max 0, n m , N min l m,l n .

73

Параметр изменяется в области 0 Re . Но в этой области различными значениями отвечают различные значения z cos .

Поэтому tmnl можно рассматривать как функцию от cos . В

соответствии с этим положим

tmnl Pmnl cos , 0 Re

и запишем формулу (3.14) в виде

75

tmnl g e m n Pmnl cos .

Связь с классическими ортогональными многочленами. Ус-

тановим связь функций Pmnl z с классическими ортогональными

многочленами – многочленами Якоби, присоединенными много-

членами Лежандра.

Многочлены Якоби определяются формулой

Присоединенные функции Лежандра Plm z , m 0 , определя-

ются формулой (l, m – целые)

77

вида (3.16). Таким образом, Pl cos является зональной сфери-

ческой функцией представления Tl g .

l k l . Присоединенные сферические функции можно рас-

сматривать как функции на однородном пространстве S2 = SO(3)/h, h H . Поэтому tkl 0 g – функция на сфере S2. В приложении 2

даны функциональные соотношения для функций Pmnl z .

3.4.Разложение функций на группе SU(2)

Вэтом разделе будут получены разложения функций f u на

группе SU(2) в ряды по матричным элементам tmnl u .

Инвариантная мера. Так как группа SU(2) компактна, то на ней существует инвариантная мера du, для которой выполняется равенство

f u du f u0u du f uu0 du f u 1 du

для всех непрерывных функций f u и всех элементов u0 из

SU(2). Найдем выражение этой меры через параметры группы

SU(2).

Рассмотрим сначала группу G, состоящую из невырожденных

матриц вида

78

из SU(2) параметры , претерпевает линейное преобразование

0 0 ,0 0 ,

определитель которого равен единице. Отсюда следует, что мера

dg d d d d (если 1 i 2 , полагаем d d 2id 1d 2 ) на группе G инвариантна относительно ум-

Очевидно, что при r 1 матрица

79

равна 1). Отметим, что в силу компактности группы SU(2) интеграл

(3.17) инвариантен не только справа, но и слева:

f u du f u0u du f uu0 du f u 1 du .

2l 1 , то из теорем ортогональности и полноты системы элемен-

тов попарно неэквивалентных неприводимых унитарных представ-

образуют полную ортогональную нормированную систему функ-

ций относительно инвариантной меры на этой группе. При этом

80