Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

Глава 4. Методы решения основной некорректной задачи текстурного анализа (обзор)

Текстура поликристаллического материала вызывает анизотро-

пию его макроскопических свойств. В то же время само формиро-

вание текстуры вызвано в основном анизотропными процессами,

протекающими в твердом теле. Взаимоотношения «процессы текстура» и «текстура свойства» могут быть поняты исходя из математической модели поликристаллического материала, вклю-

чающего описание текстуры с помощью функции распределения ориентаций зерен (ФРО). Основные области применения матема-

тических моделей в текстурном анализе – оценка эксперименаль-

ных данных, представление текстуры, моделирование формирова-

ния текстуры, расчет усредненных значений физических свойств

[30, 56].

Понятие текстурной функции ввел в 1960 году Н.А. Виглин [11].

Непосредственное измерение текстурной функции (ФРО) возмож-

но методом EBSD. Однако этот метод не является широко доступ-

ным. Обычно экспериментально измеряются лишь интегральные проекции функции распределения ориентаций – полюсные фигуры

(ПФ), отвечающие определенному кристаллографическому на-

правлению. Исходя из этого, была сформулирована задача восста-

новления ФРО по полученному из эксперимента конечному набору полюсных фигур.

В 1965 г. Роу [93] и Бунге [57] независимо друг от друга пред-

ложили так называемый гармонический метод вычисления ФРО,

91

связанный с разложением ФРО в ряд Фурье по обобщенным шаро-

вым функциям в ориентационном пространстве SO(3) и разложе-

ниями ПФ в ряды Фурье по сферическим функциям на двумерной сфере S 2 в R3 .

В 1979 г. Маттис [79] опубликовал работу о неединственности

решения задачи восстановления ФРО по ПФ. В связи с тем, что

экспериментально не различимы направления h и h , среди ко-

эффициентов ФРО определяются лишь четные составляющие.

Пренебрежение нечетной частью приводит к появлению отрица-

тельных значений ФРО и ложных максимумов. Ранее подобные факты объясняли погрешностями измерения ПФ и недостаточным количеством измеренных ПФ.

Открытие неединственности решения задачи восстановления ФРО по ПФ привело к росту интереса к этой проблеме и появле-

нию большого количества методов ее решения [30, 37, 58, 70, 80 – 82, 99].

В связи с развитием методов электронной микроскопии появи-

лись новые технические средства изучения неоднородности мате-

риалов и их влияния на формирование текстуры – SEM (Scanning Electron Microscopy), TEM (Transmission Electron Microscopy), EBSD (Electron Back-Scattering Diffraction) (см. гл. 1) и т.д. В на-

стоящее время всѐ более интенсивно происходит процесс одновре-

менного изучения микро- и макротекстуры поликристаллов.

92

4.1. Постановка задачи

Предположим, что с рассматриваемым образцом связана орто-

нормальная система координат K A , а с кристаллографической ре-

шеткой – ортонормальная система координат KB . Таким образом,

с каждым зерном q связана система координат KBq . Под ориента-

цией зерна понимается вращение, переводящее систему координат

K A в систему координат KBq . Это вращение обычно задается тре-

мя углами Эйлера α,β,γ , описывающими три последовательных поворота:

Отметим, что встречаются и другие определения углов Эйлера. В

частности, в гл. 3 была дана другая параметризация углов Эйлера.

Выбор той или иной параметризации обычно продиктован удобст-

вом ее альнейшего применения для конкретных задач.

Функция распределения ориентаций f g определена в ориен-

тационном пространстве SO 3 и представляет собой плотность

распределения ориентаций зерен в поликристаллическом ма-

териале:

где V – объем зерен, подвергшийся измерению; dV – доля этого

имеющий в K A сферические координаты { , }, 0 2 , 0 θ<π .

Предположим, что в кристаллографической решетке нас интересу-

ют плоскости с фиксированным в KB вектором нормали (так на-

зываемым вектором обратной решетки) h . Полюсная фигура

представляет собой плотность распределения кристаллографиче-

зерен, нормали h к кристаллографическим плоскостям которых

ориентированы внутри узкого двуполостного конуса с осью парал-

лельной вектору y . Из определения следует, что

Отметим: корректнее было бы назвать полюсную фигуру по-

люсной плотностью, но название сложилось исторически в связи с

тем, что представлением у металловедов служили рисунки

Ph y

в виде линий уровня полюсной плотности.

94

Подставляя разложение (4.5) в интегральное соотношение (4.3),

получим выражение ПФ в виде ряда с коэффициентами разложения

ФРО:

называются четной и нечетной составляющими ФРО.

Из уравнения (4.7) следует, что ПФ не зависит от слагаемого fodd g . Таким образом, знание любого количества ПФ может

дать нам информацию только о четной составляющей ФРО. Это значит, что существуют различные ФРО, имеющие одинаковые ПФ

но предполагалось, что fodd g 0 , а неправдоподобные резуль-

таты долгое время (до появления работы Маттиса [79]) объясня-

лись неточностью исходных данных и недостаточностью количест-

ва членов ряда при вычислениях.

В методе Роу–Бунге исходным соотношением является уравне-

ние (4.7), рассматриваемое вместе с (4.6) как система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Clmn . При

вычислениях обычно используют метод наименьших квадратов

97

feven g fodd g 0 или feven g fodd g . Это обстоятельст-

во позволяет определить нечетные коэффициенты разложения f g в ряд по обобщенным шаровым функциям.

В методе ―положительности‖ [110–112] предлагается итераци-

онная процедура вычисления ФРО. Сначала, исходя из имеющихся экспериментальных ПФ, находят только четную часть ФРО в виде достаточно короткого отрезка ряда Фурье. Возможные отрицатель-

ные значения на ней заменяются нулями, и таким образом получа-

ют некоторую информацию о нечетной части. От исправленной ФРО вычисляют некоторые не измеренные ПФ, их возможные от-

рицательные значения корректируются. Далее эти ПФ используют-

ся для восстановления ФРО наряду с экспериментальными. По-

скольку ПФ стало больше, отрезок ряда Фурье удлиняется. После-

дующие вычисления связаны с итерационной процедурой уточне-

ния нечетной части. Результирующая функция сходится к почти неотрицательной ФРО, наиболее близкой к feven g . При наличии больших экспериментальных ошибок сходимость метода наруша-

ется.

В связи с неустойчивостью суммирования ряда (4.5) с прибли-

женными коэффициентами Clmn , а также с плохой обусловленно-

стью системы нормальных уравнений в методе наименьших квад-

ратов, в работе [106] предложен метод «гребневой оценки», позво-

ляющий по невязке (4.9) выбирать оптимальное количество членов ряда и параметр их сглаживания.

99

Достоинством метода Роу–Бунге является очевидная простота вычислений. Поэтому этот метод в настоящее время наиболее рас-

пространен.

Отметим основные особенности этого метода:

восстановление только четной составляющей ФРО feven g ,

что часто дает отрицательные значения и ложные максиму-

мы;

невозможность описания острых текстур, требующих для своего представления большого отрезка ряда Фурье;

неустойчивость суммирования ряда относительно погрешно-

стей измерения ПФ.

4.3.Векторный метод

Исходный пункт векторного метода [95, 96, 100, 101] – система интегральных уравнений (4.3). Сам метод основан на применении сеточных функций. Вычисления производятся непосредственно в

пространстве вращений, которое дискретизируется, причем ФРО

представляется так называемым текстурным вектором f . Число компонент этого вектора совпадает с количеством ячеек, на кото-

рые разбито ориентационное пространство, каждая компонента есть усредненное значение ФРО в соответствующей ячейке: