Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

Соответственно дискретизируется и каждая ПФ из набора

Число ячеек в методе зависит от разрешающей способности эксперимента. При стандартном подходе ячейки равны между со-

бой. В продвинутом варианте разбиение неравномерное. В резуль-

тате дискретизации интегральное соотношение (4.3) превращается в систему линейных алгебраических уравнений

j 1

матрица которой заменяет связывающий ПФ и ФРО интегральный оператор.

Соотношение (4.11) – основное в векторном методе. Компонен-

Обычно предполагают, что K J , т.е. число уравнений больше количества неизвестных, применяют метод наименьших квадратов

101

известными. Часто систему (4.11) рассматривают вместе с неравен-

ством f1 0,..., f j 0 и, соответственно, решают задачу миними-

зации (4.12) на положительном ортанте.

Достоинством векторного метода является простота вычисли-

тельных средств. Но при этом следует отметить большой объем неизвестных. Так, для кубической симметрии образца при размере

ячейки разбиения 5 5 5 число неизвестных составляет

183 5832 . Отметим также, что в векторном методе возможно ис-

пользование неполных ПФ. Если говорить о единственности полу-

ченного решения, то в [100] показано, что решение не единственно,

так как ранг соответствующей матрицы J / 2 .

Существуют различные модификации векторного метода. В ра-

ботах [71, 72] используется метод условной вероятности при по-

строении системы и предполагается итерационный способ ее ре-

шения.

Широко применяется WIMV-метод (аббревиатура фамилий ав-

торов [55, 65]), построенный на итеративной процедуре. В качестве дополнительных условий, предъявляемых к решению, использует-

ся максимизация фона и пиков. WIMV-метод стартует со значения f 0 g , и на каждом последующем шаге вычисляется значение

f next g :

102

где m 1,..., M , и произведение ведется по всем N измеренным

ПФ и всем эквивалентным направлениям в кристаллите, обуслов-

ленным его точечной подгруппой симметрии из М элементов. В

(4.13) величины и представляют текущие значе-

ния для ПФ и ФРО, подлежащие уточнению на следующем шаге

итераций, а Normcur – текущая нормировка. Значение вы-

числяется исходя из экспериментальных ПФ.

В методе произвольно определенных ячеек ADC [74] предлага-

ется случайное разбиение на ячейки пространств G SO(3) и S 2 .

В энтропийном методе [84] используется принцип максимиза-

ции текстурного «беспорядка»

приводящий к почти той же итерационной процедуре, что и в ADC

методе.

В работах [34, 35] предлагается устойчивая разновидность век-

торного метода – минимизация невязки между экспериментальны-

ми и вычисленными ПФ и среднеквадратичной нормы градиента ФРО с малым параметром и дается сравнение данного метода с ос-

новными модификациями векторного метода на модельных приме-

рах.

103

Векторный метод обладает основными недостатками гармони-

ческого метода, только число параметров здесь резко возрастает – в

гармоническом методе неизвестными параметрами являются коэф-

фициенты Clmn разложения ФРО f g (4.5) по обобщенным ша-

ровым функциям, в векторном методе в качестве ФРО выступает

вектор f размерности J (4.10). С точки зрения построения чис-

ленного алгоритма векторный метод проще, так как в гармониче-

ском методе приходится суммировать частичные суммы рядов Фу-

рье (4.5), (4.6) по обобщенным шаровым и сферическим функциям соответственно.

4.4. Метод компонент или метод аппроксимации ФРО

стандартными функциями

Для математического моделирования ФРО и ПФ в векторном анализе издавна использовались различные модельные функции,

аналоги обычного гауссовского распределения, перенесенные «не-

которым образом» на группу SO(3). Пусть ω ω g0 1g – ориен-

тационное расстояние между положением максимума распределе-

ния g0 и точкой ориентационного пространства g SO(3) . Бунге в [43, 44] применял распределение

104

где ω0 – параметр, характеризующий остроту текстуры (некоторый аналог дисперсии).

Позднее Маттис [66, 67] предложил для моделирования ФРО функцию

I0 s , I1 s – модифицированные функции Бесселя.

Много внимания аппроксимации стандартными функциями уделено в [50, 51]. В [47] для моделирования ФРО использовались модельные функции с эллиптическим характером рассеяния, не-

удобство которых заключалось в отсутствии явного выражения для нормирующего множителя распределения.

В работе [52] анализируется применение радиальных функций для решения задачи обращения полюсных фигур.

Отметим, что все указанные выше распределения не являются статистически обоснованными.

В [6, 7, 8, 21, 24, 40, 70, 71] предложено использовать нормаль-

ные распределения, удовлетворяющие центральной предельной теореме на группе SO(3) . В простейшем случае центральное нор-

105

мальное распределение с параметром остроты текстуры ε2 имеет

вид

0l 0 sin ω 2 , (4.16)

аПФ, отвечающая ФРО вида (4.16), выглядит следующим образом:gg,f , ε2 2l 1 exp l l 1 ε2

Здесь аргументами полиномов Лежандра являются соответст-

вующие скалярные произведения.

Теперь изложим суть метода компонент. В этом методе мо-

дельная функция распределения зерен по ориентациям представля-

ется в виде суперпозиции текстурных компонент fk g, g0k , взя-

тых с некоторыми весами Ak :

106

k 1

K

причем Ak 1,

k0

Вкачестве текстурных компонент с центром (положением мак-

симума) g0k и аналогом дисперсии ε2k используются функции

(4.14)–(4.16) и другие. Для нахождения неизвестных параметров

отдельных точек на ней; N – количество используемых в вычисле-

ниях полюсных фигур.

Начальный этап состоит в подборе по экспериментальным по-

люсным фигурам количества компонент K и их параметров εk , g0k . Этот этап менее всего формализован и происходит преимуще-

ственно в интерактивном режиме. Затем различными градиентны-

ми методами решается задача минимизации среднеквадратичного расстояния (4.21) между экспериментальными ПФ и ПФ от мо-

дельной ФРО (4.20). В процессе минимизации итерационными ме-

107

тодами уточняются первоначальные значения параметров модель-

ной ФРО.

Достоинствами метода являются:

сравнительно небольшое количество параметров для пред-

ставления ФРО;

удобная форма представления ФРО в виде суммы компонент;

неотрицательность ФРО и присутствие нечетной части.

К недостаткам метода следует отнести:

подбор начальных параметров модели производится визу-

ально, не автоматически;

подбор параметров легко осуществляется для текстур с изо-

лированными максимумами, тогда, как правило, достигается единственность представления ФРО в рамках эксперименталь-

ной погрешности измерения ПФ;

в случае перекрывающихся максимумов возможна неединст-

венность представления (в рамках погрешностей измерения ПФ).

В работах [16, 79] предложен метод суперпозиции большого числа стандартных функций для представления ФРО. В качестве стандартных функций применяется аппроксимирующая функция для центрального нормального распределения на SO 3 (4.22)

[38]. Для кубической симметрии кристалла и орторомбической симметрии образца используются 667 компонент. Веса компонент и одинаковый для всех компонент параметр ширины определяются методом итераций, путем минимизации невязки между экспери-

108

ментальными и модельными ПФ. Этот метод свободен от основно-

го недостатка метода компонент – визуального подбора первона-

чальных значений параметров модели. В работе [14] рассматрива-

ется устойчивая относительно погрешностей измерения ПФ моди-

фикация метода компонент.

4.5. Пример применения различных методов

В [29, 48] было проведено сравнение различных методов вос-

становления ФРО на примере образца сплава магния горячей про-

катки. Материал обладает гексагональной симметрией кристалли-

ческой решетки. Симметрия образца – орторомбическая, обуслов-

лена процессом изготовления. Для восстановления ФРО использо-

вались неполные ненормированные рентгеновские полюсные фи-

гуры, полученные в Университете г. Метца (Франция). Всего име-

лось четыре ПФ: 0002 , 10 10 , 10 11 , 10 12 . Полюсные фигуры измерены на сетке 2,5 5o с изменением полярного угла от 1, 25o до 78, 75o . Сравнивались следующие методы: метод по-

ложительности, метод гребневой оценки с квадратичной аппрок-

симацией, метод суперпозиции большого числа нормальных рас-

пределений и робастный метод компонент с использованием цен-

тральных нормальных распределений.

109

Рис. 4.1. Сечения полной ФРО, найденной робастным методом компонент с использованием центральных нормальных распределений.

ФРО восстановлена по двум неполным рентгеновским ПФ из Метца

Установлено, что полные функции распределения ориентаций,

полученные указанными методами весьма схожи. Кроме того, в

данном случае для всех методов средняя величина RP-фактора со-

ставляет примерно 14 %. При этом для восстановления ФРО роба-

стным методом компонент достаточно всего 2–3 полюсных фигу-

ры, остальные методы требуют четырех ПФ. На рис. 4.1 изображе-

ны сечения полной ФРО, полученной робастным методом компо-

нент. На рис. 4.2 показаны профили нулевого сечения ФРО для че-

тырех методов. В верхнем ряду расположены профили полной ФРО, а в нижнем – нечетной составляющей ФРО (слева направо:

метод положительности, метод гребневой оценки с квадратичной

110