Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

dA t

t

A t sin t 2 exp 2 4

2 2 .

(П.3.6)

dt

2 2

Его решение будем искать в виде

A t C t exp t2

4 2 .

(П.3.7)

dC t

sin t

2

exp t2

4 2 exp 2

4 .

(П.3.8)

dt

2 2

Из уравнения (П.3.8) находим

C t

exp 2

4 t

sin z

2 exp z2

2 dz C

. (П3.9)

2 2

1

0

Константу C1 получаем из условия

C C 0 A 0

exp y2 2 dy

erfc

2 .

1

2

1 2

Обозначим интеграл, стоящий в правой части (П3.9) через B(t)

t

2 exp z2 2 dz .

B(t) sin z

(П.3.10)

0

Представляя функцию sin z

2 в виде ряда по степеням z 2

и

меняя местами

операции

суммирования и

интегрирования

в

(П.3.10), находим

1

n

t

z

2n 1

B(t)

exp z

2

2

dz .

(П.3.11)

2n

n 0

1 ! 2

0

261

( 1)

n

2n 2 exp t2

t

n

B(t)

4 2

2n 1 !

n 0

2 2

n

t

2

n k

( 1)n n!

1 k n n 1 ... n k 1

2

k 1

4

( 1)n

2

exp t

2

2

t2 n

4

n 0

2n 1 !

4

n

t

2

n k

.

k

2k

( 1)

n

n!

2n

1

n

n

1

...

n k 1

k 1

4

n

2

n

( 1)

B t 2 exp t2

4 2

t

1

n 0

2n 1 ! 4

2k

2

4

2

exp t

k 1

1

n k

n n 1 ... n k 1 t

2

n k

k !

. (П.3.13)

n k

2n 1 !

4

2k

1 !

f t

t

2

erfc

2 exp 2

4 exp t2 4 2

sin t

2

3

k

sin

1

1

t 2

z

k

d

1

2k

2

2

sin t

2

dzk

z

k 0

2

z 1 2

k !

t

exp

.

(П.3.14)

4 2

2k 1 !

Ввиду малости параметра ,

при вычислении

f t

следует огра-

f t

t 2

erfc

2 exp 2

4 exp t2

4 2

sin t

2

3

1

1

t 2

sin t

2

t2

exp

2

2

sin t

4 2

2

t 2

t

2

2 t

2 cos t 2

1

t

2

sin t

exp

sin t

2

2 t

2 3

6

4 2

2

t

2

3sin

t 2 3t

2 cos t 2 t

2 2 sin t 2

t

4 t

2 5

sin

2

1

2

2

3

exp t

4

O

.

60

P z 2l 1 exp l l 1 2 Pl z ,

(П.3.15)

l 0

где z cos . Многочлены Лежандра

P z

допускают представ-

l

ление

1

n

l n ! 1 z

n

z

Pl

.

(П.3.16)

2

n 0

!

2

n!

l n

Подставляя P z в виде многочлена (П.3.16) в (П3.15) и группи-

l

руя члены при одинаковых степенях 1 z 2 , получаем

1

1 z

n

P z

An ,

(П.3.17)

2

n 0

2

n!

где

l 1 !

An 1 n 2l 1 exp l l 1 2

l n !

l n

1 n 2l 1 exp l l 1 2 l n

l n

l n 1 ... l n 1 ,

n 0,1, 2,...

(П.3.18)

Нетрудно убедиться в том,

что для A

справедливо следующее

2

d

2

An exp n n 1

d 2 exp

n n

1

An 1

dAn 1

n n 1 A

,

n 1, 2,...

(П.3.19)

d 2

n 1

Выражая A

через

A

последовательно, имеем

n

0

A

d n A

1

n 1 n n 1

d

n 1 A

0

0

d 2 n

3

d 2 n 1

n

1

5n2

n 3 n

1 n n

1 n 2

d n 2

A

0

90

d 2

n 2

... n n 1

2

dA

0

.

(П.3.20)

d 2

При малых значениях параметра

при вычислении A

можно

0

суммирование в (П.3.18) заменить интегрированием

2

2

1

2

A0 2l 1 exp l(l 1)

2 y exp

y

dy

4

l 0

1 2

exp 2

4

1

exp z dz

(П.3.21)

2

2

(1 4)

2

(замена

y l 1 2 ). Используя (П.3.21),

находим приближенное

выражение для A

n

n

n!

n

n 1

n

A

1

1 n

n 1

1

1 !

2 n 1

3

2n

n

265

5n2

n 3 n 1 n n 1 n 2 1 n 2 n 2 !

90

2 n 1

2

1

... n n 1 !

.

(П.3.22)

4

1

1 n

1 z n

1 n n2 1

1 z n

P z