Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

Обозначим через

t ,

t ,

t

углы

Эйлера

элемента

u t . Тогда имеем место равенство

df u t

f

0

f

0

f

0 .

dt

t 0

Итак, инфинитезимальный оператор A ,

соответствующий под-

группе t , имеет вид

0

.

A 0

0

Вычислим инфинитезимальные операторы A1 ,

A2 , A3 , соответст-

вующие однопараметрическим подгруппам 1 ,

2 ,

3

(см. раз-

дел 3.1).

Подгруппа 3 состоит из матриц вида

it

t

e 2

0

.

3

it

e

2

0

Пусть u u ,,

– матрица с углами Эйлера

,

,

. Тогда

углы Эйлера матрицы u

t

равны

,

,

t . Отсюда вытекает,

3

что 0 0 , 0 0 ,

0 1. Итак,

доказано, что инфините-

соответствующий подгруппе 3 , имеет

зимальный оператор

A3 ,

A

.

3

Вычислим инфинитезимальный

оператор

, соответствующий

A1

подгруппе 1 . Эта подгруппа состоит из матриц вида

t

t

cos

i sin

2

2

t

,

1

t

t

i sin

cos

2

2

углы Эйлера (t) , (t) , (t)

матрицы u t

связаны с углами Эй-

лера , ,

матрицы u соотношениями:

cos t coscost sin sin t cos ,

ei t

sin cost cos sin t cos i sin t sin

,

(П.2.4)

sin t

cos

t

i

sin

t

e

i

i t t

i cos

e 2 sin

2

2

2

2 2

e

2

e 2

.

cos

t

2

Для вычисления производных

t , t ,

t

при t

= 0 про-

A cos

sin

ctg sin

.

1

sin

Оператор A2 , соответствующий подгруппе 2

матриц

t

sin

t

cos

t

2

2

,

2

t

t

sin

cos

2

2

вычисляется аналогично

cos

.

A sin

ctg cos

2

sin

Вместо операторов

A1

,

A2 ,

A3

удобно брать их линейные комби-

нации

H

iA1 A2

,

H

iA1

A2

,

H3

iA3 .

Легко найти, что эти операторы задаются равенствами

i

1

H e

i

ctg sin

,

sin

i

1

H e

i

ctg sin

,

sin

H3 i .

Если в качестве базиса в Bl

выберем функции

x

xl n

, l n l ,

n

l n ! l n !

255

финитезимальные операторы представления R

u

через

Alm ,

lm

k

1 k 3 . Отсюда получаем

l

H

lm

u

l

n

l

l

u

,

t

mn

n 1 t

m,n 1

l

H

lm

u

l

n

l

l

u

,

t

mn

n 1 t

m,n 1

H lmtl

u ntl

u ,

3 mn

m,n

где

H lm iAlm Alm ,

H lm iAlm Alm ,

H lm iAlm .

1

2

1

2

3

3

lm

2

ctg

1

2

2 cos

2

2

.

2

sin2

2

2

Поскольку матричные элементы tl u ,

l n l ,

принадлежат

mn

2

ctg

1

2

2 cos

2

2

.

2

sin2

2

2

it

e 2

0

it

,

2

0

e

или, что то же самое, на пространство функций, заданных на еди-

ничной сфере

S 2 . Ясно,

что функции

f

u из B

не зависят от

0

угла и поэтому оператор Лапласа на единичной сфере S 2

имеет

вид

2

ctg

1

2

.

2

sin2

2

Производящие функции для

Pl

z .

Функция f z, h называ-