Лиситсын Молекулярная физика в задачакх 2014

6. ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

Необратимость тепловых процессов. Механические движения материальных тел, совершающиеся согласно законам механики, обратимы: каково бы ни было механическое движение тела, всегда возможно обратное движение, т.е. движение, при котором тело проходит те же точки пространства с теми же скоростями, что и в прямом движении, но только в обратном направлении. Так, тело, брошенное в поле тяжести под некоторым углом к горизонту, описав определенную траекторию, упадет на Землю в некотором месте. Если бросить тело из этого места под тем же углом, под которым оно упало, и с той же скоростью, то тело опишет ту же траекторию, только в обратном направлении и упадет в первоначальном месте (при условии, что трением в воздухе можно пренебречь).

Совершенно иная ситуация бывает в области тепловых явлений. Если происходит какой-либо тепловой процесс, то обратный процесс, т.е. процесс, при котором проходятся те же тепловые состояния, но только в обратном порядке, как правило, невозможен. Тепловые процессы являются, вообще говоря, процессами необратимыми. Если, например, привести в соприкосновение два тела с различной температурой, то более нагретое тело будет отдавать тепло менее нагретому телу, но обратный процесс – самопроизвольный непосредственный переход теплоты от менее нагретого к более нагретому телу никогда не происходит. Столь же необратимым является процесс расширения газа в пустоту. Газ распространяется через отверстие по обеим сторонам перегородки, но он никогда без постороннего вмешательства не соберется самопроизвольно вновь в одной половине сосуда.

Вообще, всякая предоставленная самой себе система тел стремится перейти в состояние теплового равновесия, в котором тела покоятся друг относительно друга, обладая одинаковыми температурами и давлениями. Оговоримся, что в данный момент мы не рассматриваем системы, в которых возможен обмен веществом между подсистемами, составляющими систему. Если такое возможно, то должно выполняться дополнительное условие равенства

81

скоростей противоположных процессов (испарения и конденсации, плавления и кристаллизации и тому подобное), то есть и обмена веществом не должно быть. Достигнув этого состояния, система сама по себе из него уже не выходит. Другими словами, все тепло-

вые явления, сопровождающиеся процессами приближения к тепловому равновесию, необратимы.

Так, необратимы все процессы, сопровождающиеся трением между движущимися телами. Трение вызывает постепенное замедление движения (причем кинетическая энергия переходит в тепло), т.е. приближение к состоянию равновесия, в котором движение отсутствует.

В той или иной степени необратимыми являются, вообще говоря, все происходящие в природе тепловые процессы. Однако в некоторых случаях степень необратимости может оказаться настолько незначительной, что процесс можно с достаточной точностью считать обратимым. Поэтому ясно, что для достижения обратимости следует по возможности исключить в системе всякие процессы, имеющие характер приближения к тепловому равновесию. Например, не должен происходить непосредственный переход теплоты от более нагретого к менее нагретому телу и нe должно быть трения при движении тел.

Примером процесса в высокой степени обратимого (в идеале вполне обратимого) является адиабатическое расширение или сжатие газа. Условие теплоизолированности исключает непосредственный обмен теплом с окружающей средой. Достаточная же «медленность» движения поршня обеспечивает отсутствие необратимых процессов расширения газа в пустоту, которая возникала бы за слишком быстро выдвигаемым поршнем; в этом и заключается смысл этого условия. Разумеется, на практике и в таком случае всегда останутся какие-то источники необратимости (несовершенство теплоизоляции сосуда с газом, трение при движении поршня).

«Медленность» является вообще характерной особенностью обратимых процессов: процесс должен быть настолько медленным, чтобы участвующие в нем тела как бы успевали в каждый момент времени оказаться в состоянии равновесия, соответствующем

82

имеющимся в этот момент внешним условиям (например, при расширении газ должен успевать следовать за поршнем, оставаясь однородным по своему объему). Полная обратимость могла бы быть достигнута лишь в идеальном случае сколь угодно медленного процесса; уже поэтому всякий реальный процесс, происходящий с конечной скоростью, не может быть полностью обратимым. Такого рода достаточно медленные процессы, в которых происходит слабое нарушение условий термодинамического равновесия, в результате чего их с хорошей точностью можно считать обратимыми, принято называть квазистатическими процессами.

Задача 6.1. Идеальный газ находится в эластичной адиабатической оболочке под давлением р1 и с температурой Т1, Определите температуру газа Т2, которая установится после того, как внешнее давление на газ скачкообразно изменится до величины р2. Сравните изменение температуры в этом процессе с изменением ее, которое получилось бы, если бы адиабатический процесс проходил квазистатически.

Решение. Скачкообразное изменение давления означает, что процесс очень быстрый и газ за время этого процесса не обменивается теплом с окружающей средой. Внешнее давление совершает в этом процессе работу

A = р2(V1 – V2).

Таким образом, согласно первому началу термодинамики

Таким образом:

83

=(γ −1) T1pp2 −T2 ,

1

откуда найдём

Если бы процесс сжатия газа шёл квазистатически, то р и V бы-

ли бы связаны уравнением адиабаты:

рV γ = const.

Выразив из уравнения состояния идеального газа его объём через температуру и давление, получим

Для примера рассмотрим воздух, и пусть давление в нём возрастает в 10 раз, т.е. р2 = 10р1. Для воздуха γ = 1,4. Тогда согласно (6.2) Т2/Т1 = 1,93. Согласно же (6.1) Т2/Т1 = 3,6. Как видим, результаты различаются почти вдвое.

Пусть теперь давление снизилось в 10 раз, т.е. р2 = 0,1р1. Тогда согласно (6.1) Т2/Т1= 0,74. Согласно же (6.2) Т2/Т1 = 0,51. Как видим, в квазистатическом процессе температура уменьшилась почти

84

вдвое, а при скачкообразном снижении давления температура снизилась лишь в 1,5 раза.

Задача 6.2. В предыдущей задаче после того, как в сосуде установилось равновесие, давление вновь скачком изменяют до первоначального давления р1. Какой станет температура газа после этого?

Решение. Температуру Т3 определим по формуле (6.1), поменяв в ней местами р1 и р2 и принимая температуру Т2 за начальную:

Т1. Однако при очень малом изменении давления (р2 – р1 << р1) различие температур Т = Т2 – Т1 будет определяться квадратом от-

т.е. эффект имеет второй порядок малости. В первом порядке температура остаётся неизменной. Это означает, что процесс, состоящий из серии скачков с малым изменением давления в каждом из них, совпадает с квазистатическим адиабатическим процессом.

Цикл Карно. В системе тел, находящейся в тепловом равновесии, без внешнего вмешательства никаких процессов происходить не может. Это означает также, что с помощью тел, находящихся в тепловом равновесии, невозможно произвести никакой работы, так как работа связана с механическим движением, т.е. с переходом внутренней энергии в кинетическую энергию тел.

Это чрезвычайно важное утверждение о невозможности получения работы за счет энергии тел, находящихся в тепловом равнове-

сии, называется вторым законом (началом) термодинамики.

85

Мы постоянно окружены значительными запасами тепловой энергии, находящейся в состоянии, близком к равновесию (см. в частности, ответ к задаче 3.1). Двигатель, работающий только за счет энергии находящихся в тепловом равновесии тел, был бы для практики своего рода «вечным двигателем». Второй закон термодинамики исключает возможность построения такого, как говорят,

вечного двигателя второго рода подобно тому, как первый закон термодинамики (закон сохранения энергии) исключает возможность построения вечного двигателя первого рода, который бы совершал работу «из ничего», без внешнего источника энергии.

Таким образом, работу можно произвести только с помощью

системы тел, не находящихся в тепловом равновесии друг с другом.

Пусть мы имеем совокупность двух тел с различной температурой. Если мы просто приведем в соприкосновение оба тела, то тепло перейдет от горячего тела к холодному, и в итоге установится тепловое равновесие тел. Если тело, получившее тепло, в результате этого увеличит свой объём, то оно, конечно же, совершит при этом работу. Но такие единичные акты преобразования теплоты в механическую работу для техники не представляют интереса. Реально существующие устройства для превращения теплоты в работу (паровые машины, двигатели внутреннего сгорания и т. д.) действуют, как известно, циклически, т.е. в них процессы передачи тепла и преобразования его в работу периодически повторяются. Для этого надо, чтобы тело, совершающее работу, после получения теплоты от источника вернулось в исходное состояние, чтобы снова начать такой же процесс. Другими словами, оно должно совершать

круговые (циклические) процессы с тем, чтобы мы могли извлечь из имеющихся в нашем распоряжении тел наибольшую возможную работу. Для этого мы должны вести процесс по возможности обратимым образом: избегать всяких необратимых процессов, то есть пользоваться лишь такими процессами, которые могут идти в равной степени в обоих направлениях.

Возвращаясь к нашей системе двух тел, обозначим их температуры Т1 и Т2 (пусть Т2 > Т1); будем условно называть более нагретое тело нагревателем, а более холодное – холодильником. Поскольку

86

непосредственный обмен теплом между этими телами недопустим, то, прежде всего, ясно, что для производства работы необходимо привлечь еще одно вспомогательное тело; будем называть его рабочим телом. В качестве этого тела можно представить себе ци-

угольника ABCD. Совершение этой работы произошло за счет того, что на верхней изотерме рабочее тело отняло у нагревателя большее количество теплоты, чем оно отдало холодильнику на нижней изотерме. Все этапы этого кругового процесса обратимы, и потому произведенная работа – максимально возможная (при заданных температурах нагревателя и холодильника).

Цикл Карно показывает, что, в принципе, при наличии двух тел с различной температурой можно совершить работу обратимым образом. Будучи максимально возможной, эта работа не зависит от свойств вспомогательного рабочего тела.

Уточним, что осуществление изотермического процесса предполагает бесконечную теплоёмкость как нагревателя, так и холодильника. Как именно это обеспечивается, каковы вообще их свойства, абсолютно несущественно.

Отношение произведенной работы к количеству энергии, взятой у нагревателя, называется коэффициентом полезного действия (КПД) тепловой машины (обозначим его буквой η). Из сказанного выше ясно, что КПД цикла Карно является наибольшим, вообще возможным для любой тепловой машины, работающей при заданных значениях температур нагревателя и холодильника. Можно показать, что этот коэффициент равен

87

ηmax = ηК = T2T−2 T1 .

Таким образом, даже в идеальном пределе полностью обратимой работы тепловой машины КПД меньше единицы; доля T1/T2 энергии, отдаваемой нагревателем, бесполезно переходит в виде теплоты к холодильнику.

Коэффициент полезного действия реальной тепловой машины, работающей в том же температурном интервале, что и машина Карно, всегда меньше, чем ηmax = ηК из-за неизбежно происходящих в ней необратимых процессов.

Задача 6.3. Найдите КПД тепловой машины, осуществляющей цикл Карно, рабочим телом которой является идеальный газ.

Решение. Пусть объёмы газа в состояниях А и В равны V1 и V2, а в состояниях С и D – V3 и V4. Тогда работа газа на участке АВ совпадает с полученным на этом участке количеством теплоты Q2:

Q2 = RT2 ln V2 . V1

Аналогично, на участке CD газ отдаёт тепло:

Q1 = RT1 ln V3 . V4

На адиабатах ВС и CA имеем TV γ–1 = const, откуда находим

Задача 6.4. Найдите КПД тепловой машины, рабочим телом которой является идеальный газ. Цикл рабочего тела состоит из двух изобар и двух адиабат.

Решение. Рабочее тело на участке 1–2 получает тепло Q12 =

Заметим, что если бы здесь был осуществлён цикл Карно, в котором наибольшая температура совпадала с наибольшей температурой за цикл Т2, а наименьшая – с наименьшей температурой Т4, то, поскольку Т3 > Т4, то КПД цикла Карно оказался бы больше КПД рассмотренного цикла.

Задача 6.5. На графике изображён цикл 1-2-3-1, совершаемый молем идеального газа (рис. 6.4). Найдите КПД цикла, выразив его через температуры Т1 и Т2. Процесс 3-1 изотермический.

89