Лиситсын Молекулярная физика в задачакх 2014

тически постоянной (так, теплота испарения воды в интервале от 0 до 100 °С уменьшается всего на 10 %). В таком случае полученную формулу можно переписать в виде

откуда

ln p = const − RTq12

и окончательно

− q12

p =Се RT .

где С – постоянный коэффициент. Согласно этой формуле упругость насыщенного пара растет с температурой очень быстро – по экспоненциальному закону.

Задача 11.7. Почему высыхают лужи после дождя, почему высыхает вымытый мокрый пол, повешенное на просушку выстиранное бельё и т.п.? Действительно, для испарения воды из лужи, с пола, с поверхности белья и т.п. необходимо подвести к испаряющейся воде тепло в количестве, равном произведению удельной теплоты испарения на массу образовавшегося пара. Однако это тепло может подводиться к воде лишь от окружающего её воздуха, других источников теплоты нет. Но для этого температура воздуха должна быть выше температуры воды, только тогда воздух будет передавать тепло воде. Возможно ли такое? Ведь вода соприкасается с воздухом, температуры их из-за этого должны быть одинаковы. Следовательно, тепло воде передано быть не может. Но как же тогда испаряется вода?

Решение. Поскольку опыт показывает, что вода испаряется, значит, тепло из воздуха ей передаётся. Следовательно, её температура ниже температуры окружающего её воздуха. Причём тем ниже, чем интенсивнее идёт процесс испарения. Так, на ветру испарение идёт интенсивнее, т.е. на ветру вода остынет сильнее, чем в безветрие. Этот факт вы наблюдаете сами, выйдя после купания в озере или реке на берег в ветреную погоду. По разности температур также можно определить относительную влажность воздуха.

161

Она тем ниже, чем больше разность температур термометров, один из которых сухой, а кончик другого обмотан влажной тканью (влажный термометр).

Задача 11.8. Как с помощью формулы Больцмана можно объяснить экспоненциальную зависимость давления насыщенного пара от температуры?

Решение. Происхождение экспоненциальной зависимости давления насыщенного пара от температуры можно понять наглядно следующим образом. Молекулы в жидкости связаны силами сцепления; для преодоления этих сил и перевода какой-либо молекулы из жидкости в пар надо затратить определенную работу. Можно сказать, что потенциальная энергия молекулы в жидкости меньше ее потенциальной энергии в паре на величину, равную теплоте испарения, отнесенной к одной молекуле. Если q – молярная теплота испарения, то эта разность потенциальных энергий равна q/NА, где NА – число Авогадро.

Мы можем теперь воспользоваться формулой Больцмана и на ее основании сказать, что увеличение потенциальной энергии молекулы на q/NА приводит к уменьшению плотности газа по сравнению с плотностью жидкости в отношении

nпара

nжидк

Этому же выражению будет пропорционально и давление пара. Задача 11.9. Найдите давление насыщенного водяного пара при

температуре 101 °С. Считать пар идеальным газом. Решение. Согласно уравнению Клапейрона–Клаузиуса

≈ 0,34 104 Па.

Итак, р = 1,034 атм. Здесь qисп = 40,5 кДж/моль – молярная теплота испарения воды при 100 °С, Vп и Vж – молярные объёмы пара и воды.

162

В табл. 11.2 приведены значения теплоты испарения и теплоты плавления для некоторых веществ при атмосферном давлении (в Дж/моль).

Таблица 11.2

Отметим, что по теплоте испарения можно оценить величину ван-дер-ваальсовых сил, действующих между молекулами. Как было сказано, именно эти силы приводят к конденсации вещества. Поэтому, разделив qисп на число Авогадро, т.е. отнеся теплоту испарения к одной молекуле, мы получим величину, являющуюся мерой глубины минимума на кривой ван-дер-ваальсова взаимодействия. Таким способом получим для гелия около одной сотой элек- трон-вольта, а для других перечисленных жидкостей – от одной до нескольких десятых электрон-вольта.

Кипение. В обычных условиях над поверхностью жидкости находится, помимо ее собственного пара, также и посторонний газ – воздух. Это обстоятельство мало сказывается на самом фазовом равновесии: испарение продолжается до тех пор, пока парциальное давление пара не сделается равным упругости насыщенного пара при температуре жидкости.

Наличие атмосферы, однако, существенно влияет на ход процесса испарения. Картина этого процесса выглядит совершенно другим образом в зависимости от того, будет ли упругость насыщенного пара при данной температуре меньше или больше общего давления, под которым находится жидкость.

В первом случае происходит сравнительно медленное испарение жидкости с ее поверхности. Правда, непосредственно над поверхностью парциальное давление пара почти сразу делается равным упругости насыщенного пара. Однако этот насыщенный пар лишь медленно (путем диффузии) распространяется в окружающее пространство, и только по мере его перемешивания с воздухом испа-

163

ряются новые порции жидкости. Естественно, что искусственное сдувание пара с поверхности жидкости увеличивает скорость испарения.

Характер процесса меняется, когда упругость насыщенного пара достигает давления окружающей атмосферы (или начинает несколько его превосходить) – возникает бурное кипение жидкости. Оно характеризуется бурным образованием у поверхности сосуда газовых пузырьков, растущих путем испарения жидкости внутрь этих пузырьков и затем отрывающихся и поднимающихся через жидкость, перемешивая ее. При этом от свободной поверхности жидкости распространяется в окружающую атмосферу струя пара.

По причинам, которые будут объяснены позднее, превращение жидкости в пар не может, вообще говоря, происходить просто путем «самозарождения» пузырьков пара в толще чистой жидкости. Центрами образования газовой фазы являются мельчайшие пузырьки посторонних газов, заранее существующие на стенках сосуда или образующиеся на них (или на взвешенных в жидкости пылинках) из изгоняемых при нагревании из жидкости растворенных в ней газов. До достижения точки кипения (когда упругость насыщенного пара становится равной внешнему давлению) давление окружающей жидкости препятствует росту этих пузырьков.

При тщательной предварительной очистке и обезгаживании жидкости и стенок сосуда можно добиться практического отсутствия в ней центров парообразования (эти центры могут также исчерпаться и в процессе самого кипения). Это приводит к перегреву жидкости, остающейся жидкой при температурах выше точки кипения. Напротив, чтобы избежать перегрева и облегчить наступление кипения, вводят в сосуд с жидкостью искусственные источники центров парообразования – пористые тела, обрезки стеклянных капилляров и т. п.

Перегретая жидкость (т. е. жидкость, существующая при температурах, когда веществу полагалось бы уже быть – при данном давлении – газообразным) представляет собой пример так называемых метастабильных состояний. Это – состояния с ограниченной устойчивостью. Хотя они и могут существовать (при соблюдении

164

должных мер предосторожности) в течение более или менее длительного времени, но сравнительно легко равновесие нарушается, и тогда вещество переходит в другое, устойчивое состояние. Так, перегретая жидкость практически мгновенно закипает при внесении в нее центров парообразования.

Аналогичные явления имеют место и при обратном процессе – конденсации пара. И здесь осуществление фазового перехода (в отсутствие соприкасающейся с паром жидкости) требует наличия в паре центров конденсации, роль которых играют обычно мельчайшие посторонние включения. В связи с этим возможно переохлаждение (или, как говорят, пересыщение) пара – доведение его до состояний с давлением, превышающим упругость насыщенного пара (при данной температуре). Такие состояния могут быть достигнуты, например, при охлаждении тщательно очищенного насыщенного пара путем его адиабатического расширения.

Задача 11.10. В чайник налили холодной воды (t0 = 10 °C) и поставили на плиту. Вода в чайнике закипела через 10 мин. За какое время она полностью испарится, если чайник не снимать с плиты? Принять удельную теплоту испарения воды при 100 °C равной 2250 Дж/г.

Решение. На нагрев чайника было затрачено Q1 = cm(tкип – t0) теплоты. Здесь с – удельная теплоёмкость воды, т – её масса, tкип – температура кипения воды. Для испарения воды потребуется количество теплоты

Q2 = qиспт.

где qисп – удельная теплота испарения воды.

Мощность плиты N остаётся неизменной, поэтому для времени нагрева tнагр и времени испарения tисп:

Q1 = Ntнагр,

165

Задача 11.11. В закрытом теплоизолированном сосуде находится небольшое количество воды. Из сосуда насосом откачивается воздух, в результате чего давление в сосуде падает, и вода в нём закипает. Поскольку подвод теплоты отсутствует, то кипение сопровождается понижением температуры воды. В итоге вода замерзает. Определить, какая часть воды, из имевшейся в сосуде превратится в лёд? Начальная температура воды в сосуде 20 °С.

Решение. Пусть в сосуде находилась масса воды т, а масса получившегося льда тл. В пар тем самым превратилась вода массой

тпара = т – тл.

Кипение происходило за счёт теплоты отданной водой при охлаждении и замерзании:

λисп (т – тл) = ст Т +λпл тл,

Итак, в пар превратится 16 % имевшейся в сосуде воды, а оставшиеся 84 % превратились в лёд.

Задача 11.12. В закрытом сосуде при температуре t = 20 °C находится влажный воздух с относительной влажностью α = 80 %. На сколько градусов надо понизить температуру стенок, чтобы на них появилась роса? Водяной пар рассматривать как идеальный газ.

сыщенного пара после охлаждения. Давление насыщенного пара зависит от температуры согласно уравнению Клапейрона– Клаузиуса:

166

где qисп – молярная теплота испарения воды.

Заменив dр на р2 – р1 = – р1(1 – α), а dT на Т = Т2 – Т1, получим

Задача 11.13. Влажный воздух, который переносится ветром с тихоокеанского побережья Чили, поднимаясь по склонам Кордильер, расширяется и охлаждается. При этом водяной пар, содержащийся в воздухе, конденсируется и выпадает в виде осадков. Оценить, на сколько различаются температуры воздуха по обе стороны подножия Кордильер, если влажность воздуха у побережья α = = 60 %, а температура +25 °С. При такой температуре давление насыщенного водяного пара рнасыщ = 3,4 кПа, теплота испарения qисп = =2,5 106 Дж/кг. Атмосферное давление у подножия гор ратм= 105 Па.

Решение. При влажности α давление пара составляет:

рпара = αрнасыщ = 0,6 3,4 = 2 кПа.

Плотность пара найдём из уравнения состояния идеального газа

В результате поглощения выделившегося теплоты воздух нагреется на Т:

167

Как видим, эффект колоссальный. Температура за горным хребтом может достигать +55 °С! Реальный эффект ниже в силу того, что не весь водяной пар конденсируется, так что влажность воздуха за горным хребтом не равна нулю, кроме того, часть выделившегося тепла уносится образовавшейся водой (дождём). Однако воздух за Кордильерами действительно очень сухой и жаркий, поэтому местность там представляет собой сухие степи и даже пустыни.

Задача 11.14. Чему равна теплоёмкость Ср системы, состоящей из жидкости и её насыщенного пара?

Решение. Поскольку при постоянном давлении температура двухфазной системы остаётся неизменной, а эта система обменивается теплом с окружающей средой, то теплоёмкость

Ср = dQ/dT = ∞.

Задача 11.15. Чему равна теплоёмкость СV системы, состоящей из жидкости и её насыщенного пара? Считать состояние системы далёким от критического. Вычислите теплоёмкость тумана, т.е. капель воды и её насыщенного пара при 100 °С.

Решение. Пусть в замкнутом сосуде находится жидкость массой тж, а масса пара составляет тп. Тогда внутренняя энергия этой системы

U= Uж + Uп = тжuж + тпuп,

где uж – внутренняя энергия единицы массы жидкости, uп – внутренняя энергия единицы массы насыщенного пара.

Учтём, что сумма масс пара и жидкости остаётся неизменной

тж + тп = const,

поэтому

Искомая теплоёмкость

168

Как видим, теплоёмкость двухфазной системы вовсе не равна сумме теплоёмкостей жидкости и её пара (первые два члена справа). Разница весьма заметна и связана с процессом поглощения теплоты при испарении, поскольку содержит большую величину, пропорциональную квадрату теплоты испарения жидкости.

Рассмотрим конкретный пример. Капли воды находятся в насыщенном водяном паре с концентрацией пара α = 0,1 при температуре 100 °С. Тогда:

≈11 Дж/(г К).

Как видим, даже при сравнительно малой концентрации пара теплоёмкость тумана оказывается почти втрое выше теплоёмкости воды. В обратном случае при α = 0,9 получим:

сV ~ 70 Дж/(г К),

170