Лиситсын Молекулярная физика в задачакх 2014

Здесь G = 6,67 10–11 м3/кг с2 – постоянная всемирного тяготения. Задача 4.2. Приняв молярную массу воздуха µ = 29 г/моль, а среднюю температуру земной атмосферы Т = 290 К, оценить тол-

щину атмосферы.

Решение. Заметим, что показатель экспоненты µgz/RT в барометрической формуле есть величина безразмерная. Поэтому

h = RTμg

имеет размерность длины. Введя это обозначение в барометрическую формулу, получим

−z

р = р0e h .

Результат показывает, что на высотах, превышающих h, давление атмосферы оказывается значительно меньше давления у поверхности Земли и быстро убывает с ростом z. Тем самым h можно принять за характерную толщину атмосферы.

В условиях нашей задачи

Полученный результат вовсе не означает, что атмосфера имеет резкую границу на высоте 8,3 км. Такой границы нет, давление падает с высотой монотонно. Просто до высоты 8,3 км давление атмосферы имеет порядок, соизмеримый с давлением на поверхности Земли, а на больших высотах давление значительно ниже. Этот нижний слой атмосферы со сравнительно высокой плотностью воздуха называют тропосферой (от греч. trоpos – поворот, изменение), а более высокие слои – стратосферой (от лат. stratum – слой и греч. sphaira – шар). Все основные атмосферные процессы происходят главным образом в тропосфере.

Заметим также, что толщина атмосферы зависит от её температуры. Действительно, в тропических зонах Земли толщина атмосферы заметно выше, чем над полюсами. Это обстоятельство вызывает глобальную циркуляцию атмосферы: воздух в верхних сло-

61

ях атмосферы из тропических областей перетекает, опускаясь, к полюсам, где остывает, опускается вниз к поверхности Земли, и начинает двигаться в обратном направлении – к экватору.

Задача 4.3. Пользуясь формулой Больцмана, найдите среднюю потенциальную энергию u молекулы газа в земной атмосфере, считая последнюю изотермической (с температурой Т), а поле тяжести однородным. Вычислите теплоемкость С газа при этих условиях.

Решение. Выделим мысленно в атмосфере вертикальный цилиндр с единичной площадью поперечного сечения. Рассмотрим слой воздуха, заключенного между двумя площадками на высотах h и h+dh. Количество dN молекул в этом слое согласно формуле Больцмана равно

− mgh

dN = n0e kT dh ,

Проинтегрировав это равенство по dh от нуля до бесконечности (считаем атмосферу простирающейся до бесконечности), получим полную потенциальную энергию всех молекул в рассматриваемом цилиндре:

Среднее значение потенциальной энергии молекулы получим, разделив U на число N молекул в цилиндре. Для нахождения N проинтегрируем формулу (4.1) по dh:

Поделив (4.1) на (4.2) найдём:

62

u = kT .

Посмотрим, на какой высоте h молекула будет обладать потенциальной энергией u = kT :

mgh = kT,

откуда получим

h = kT = NA kT = RT . mg NA mg μg

Этот результат интересно сравнить с результатом задачи 4.2, где оценивалась толщина атмосферы:

h = RTμg .

Как видим, высоты эти совпадают, что не удивительно, поскольку из величин µ, g, R, T можно составить единственную комбинацию, имеющую размерность высоты.

Средняя кинетическая энергия одной молекулы, как известно,

Продифференцировав (4.3) по температуре, найдём молярную теплоёмкость:

C = dTdE = i +22 R = Cp .

Полученный ответ достаточно очевиден, поскольку в условиях задачи масса газа в сосуде постоянна, поэтому и давление на дно сосуда остаётся постоянным. А это и приводит к тому, что С = Ср.

Задача 4.4. Для определения числа Авогадро Ж. Перрен измерял распределение по высоте шарообразных частиц гуммигута, взвешенных в воде. Он нашел, что отношение α числа частиц в слоях, отстоящих друг от друга на расстояние l = 30 мкм, равно 2,08. Плотность воды ρ0 = 1 г/см3, а плотность частиц ρ = 1,194 г/см3. Радиусы частиц r = 0,221 мкм. На основании этих данных найдите число Авогадро NA. Температура воды t = 18 °С.

63

Решение. Поскольку на частицы гуммигута в воде действует сила Архимеда, уменьшающая их вес, то распределение плотности этих частиц по высоте можно написать с помощью формулы Больцмана

где учтена эта сила.

Отношение числа частиц в двух слоях, отстоящих друг от друга на расстоянии l, получим из формулы

а затем число Авогадро NA = R/k:

Подставляя сюда величины, заданные в условии, найдём

NA ≈ 6,6 1023 .

Погрешность составила, как видим, около 10 %.

Задача 4.5. Цилиндр радиуса R и длины H, наполненный химически однородным газом, равномерно вращается вокруг своей геометрической оси с угловой скоростью ω. Найдите распределение концентрации молекул газа внутри цилиндра. Силой тяжести пренебречь.

64

Решение. В системе отсчёта, связанной с цилиндром, газ как целое покоится. Но поскольку эта система отсчёта неинерциальна, то в ней действуют силы инерции, в нашем случае – центробежная сила. Потенциальная энергия частицы массой m в поле центробежной силы, как известно из механики, зависит от угловой скорости ω вращения системы отсчёта и расстояния r до оси вращения:

Uцб = – mω22r2 .

Согласно формуле Больцмана концентрация молекул

mω2r2

n(r) = n0e 2kT ,

где n0 – концентрация молекул на оси вращения.

Как видно из этой формулы, концентрация газа растёт с увеличением расстояния от оси вращения.

Выразим теперь n0 через число молекул в сосуде N, для чего мысленно разобьём сосуд на множество тонких цилиндрических слоёв. Пусть один из таких слоёв имеет радиус r и толщину dr. Объём такого слоя равен 2πrHdr, а число молекул в нём

mω2r2

dN = n(r )2πrHdr = 2πn0 He 2kT rdr.

Интегрируя полученное равенство по dr, получим

R mω2r2

N = 2πn0 H ∫e 2kT rdr.

0

Делая в интеграле замену переменной x = r2, находим

Эти результаты заметно упрощаются при условии (быстрое

Как видим, чем больше масса молекул, тем ниже концентрация газа на оси цилиндра и выше на краю цилиндра. Этот факт используется в разного рода сепараторах для разделения частиц с близкими массами (например, изотопов некоторого элемента).

66

5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА

Хотя в модели идеального газа полностью пренебрегается взаимодействием между молекулами, в действительности молекулы газа сталкиваются друг с другом, и эти столкновения существенны для установления определенного состояния газа. Именно наличие соударений приводит к установлению определенной температуры и давления газа. Соударения между молекулами приводят также к тому, что скорость каждой молекулы случайным образом изменяется со временем. Однако благодаря этой случайности в системе большого числа молекул устанавливается вполне определенное распределение скоростей молекул. А именно, если в сосуде имеется N молекул, и через dN (vx, vy, vz) мы обозначим число молекул, проекции скоростей которых на оси OX, OY и OZ заключены в пре-

делах от vx до vx + dvx, от vy до vy + dvy и от vz до vz + dvz соответственно, то для вероятности dp = dN/N справедливо выражение

где m – масса молекулы, Т – абсолютная температура.

Величина dp есть вероятность того, что проекции скорости молекулы окажутся в интервалах скоростей от vx до vx + dvx, от vy до vy + dvy и от vz до vz + dvz соответственно.

Функция

носит название функции распределения Максвелла. Поскольку квадрат скорости равен сумме квадратов её компонент:

v2 = vx2 +vy2 +vz2 ,

то эту функцию можно записать как произведение трех функций, каждая из которых зависит лишь от одной компоненты скорости

(υx, υy или υz):

f (v) = ϕ(vx )ϕ(vy )ϕ(vz ),

Функции ϕ(vi) (i = x, y, z) называются одномерными функциями распределения Максвелла, или функциями распределения по компонентам скорости. Величины dp(vi) = ϕ(vi) dvi имеют смысл доли от полного количества частиц, у которых компонента скорости vi лежит внутри интервала (vi, vi + dvi), или вероятности того, что величина проекции скорости молекулы υi лежит внутри того же интервала (vi, vi + dvi) при том, что две остальные проекции скорости имеют произвольные значения.

Распределению Максвелла можно придать более наглядный смысл, если воспользоваться понятием пространства скоростей. Для этого по осям прямоугольной системы координат отложим для каждой молекулы значения ее проекции скорости на соответствующее направление. Тогда каждой молекуле будет сопоставлена точка в пространстве скоростей, координаты которой совпадают с проекциями скорости этой точки vx, vy, vz (рис. 5.1).

точек есть по существу конец вектора скорости соответствующей молекулы. Подобно молекулам эти точки движутся, так как скорости молекул непрерывно изменяются. Однако среднее число точек, находящихся внутри какого-либо малого параллелепипеда с длинами ребер dvx, dvy, dvz, остается с течением времени неизменным, если при этом остается неизменной температура. Это число можно записать как произведение плотности числа точек в том месте пространства скоростей, где расположен этот параллелепипед, на его объем, равный dvxdvydvz. Положение параллелепипеда в пространстве скоростей однозначно задается указанием вектора скорости, направленного в одну из вершин параллелепипеда (см. рис. 5.1).

68

Таким образом, произведение функции распределения Максвелла

на число молекул есть плотность числа точек внутри параллелепипеда, изображенного на рис. 5.1.

Помимо распределения Максвелла (5.1) по проекциям vx, vy, vz вектора скорости можно найти также распределение по модулю скорости v. При этом направлением движения частиц не интересуются. Распределение Максвелла по модулю скорости определяется формулой

где F(v) – функция распределения по модулю скорости. Найти эту функцию можно с помощью (5.1), если определить число молекул с заданным значением модуля скорости и произвольными направлениями движения. Очевидно, что в пространстве скоростей все такие молекулы (точнее, точки, им соответствующие) попадают внутрь

сферического слоя радиуса v и толщиной dv (рис. 5.2). Поскольку объём такого слоя равен 4πv2dv, то легко находим

(5.5)

Величина 2kT/m имеет размерность квадрата скорости:

vвер2 = 2mkT .

Эта скорость носит название наиболее вероятной скорости молекул. Это название обусловлено тем, что при v = vвер функция F(v) достигает максимума, т.е. такую величину скорости (и близкие к ней значения) имеет наибольшее количество частиц газа (проверьте это утверждение сами, найдя максимум функции F(v)). На

69

рис. 5.3 представлен график функции распределения F(v), а на рис. 5.4 – график функции распределения по проекции скорости

ϕ(vi).

Рис. 5.3 Рис. 5.4

Заметим, что при любых температурах интеграл от функции

всеми возможными скоростями равна полному числу молекул N, откуда и следует равенство интеграла от функции распределения единице. То же самое относится и к функциям распределения по проекциям скорости: интегралы от каждой из них, взятые в бесконечных пределах равны единице.

С помощью функции распределения Максвелла можно найти среднее значение любой физической величины q(vx,vy,vz), зависящей от скорости:

q= ∫∫∫q(vx ,vy ,vz ) f (vx ,vy ,vz )dvxdvy dvz .

В частности, для среднего значения модуля скорости:

70