Лиситсын Молекулярная физика в задачакх 2014

z ~ 7,9 109 с−1.

Диффузия и теплопроводность в газах. Используя понятие о длине свободного пробега, можно определить порядок величины коэффициентов диффузии и теплопроводности в газах и выяснить характер их зависимости от состояния газа.

Задача 8.12. Оценить коэффициент диффузии в газе, выразив его через среднюю длину свободного пробега молекул и среднюю скорость их теплового движения.

Решение. Рассмотрим смесь двух газов, общее давление и температура которой везде одинаковы, а состав меняется вдоль одного направления, которое выбираем в качестве оси х.

Будем рассматривать один из газов (газ 1) в смеси, и пусть п1 – число его молекул в единице объема; это число есть функция координаты х. Диффузионный поток j представляет собой избыток числа молекул, проходящих за 1 с в положительном направлении оси х через перпендикулярную ей единичную площадку, над числом молекул, проходящих через эту же площадку в отрицательном направлении.

Число молекул, проходящих в 1 с через площадку в 1 см2, по порядку величины равно произведению n1v/6, где v – средняя тепловая скорость молекул.

При этом можно считать, что число молекул, пересекающих эту площадку слева направо, определяется значением плотности п в том месте, где молекулы испытали свое последнее столкновение, т.е. на расстоянии λ слева от площадки; для молекул же, проходящих справа налево, надо взять значение п на расстоянии λ справа от площадки. Множитель 1/6 добавлен потому, что все молекулы мы можем разбить на 3 группы, в каждой из которых молекулы движутся преимущественно в направлении той или иной координатной оси. Так, 1/3 из всех молекул движется вдоль оси х. Из них

121

половина движется в сторону площадки, а другая половина – в обратную сторону. Тем самым в сторону площадки движется 1/6 часть молекул.

Если координата самой площадки есть х, то, следовательно, диффузионный поток дается разностью

j ~ vn1 (x −λ) −vn1 (x +λ) . 6

Поскольку длина пробега λ есть малая величина, то разность n1(x –λ) – n1(x+λ) можно записать следующим образом:

n1 (x −λ) −n1 (x +λ) = 2λ n1 (x −λ)2−λn1 (x +λ)

Таким образом,

j ~ −13 λv dndx1 .

Сравнив это выражение с законом Фика j ~ −D dndx1 ,

мы видим, что коэффициент диффузии в газе по порядку величины

равен (сравните с задачей 8.1):

D ~ 13 λv.

Длина пробега λ ~ 1/пσ, где п – полное число молекул обоих газов в единице объема. Поэтому можно написать D также и в виде

D ~ nvσ.

Наконец, согласно уравнению состояния идеального газа плотность числа молекул в нем n = р/kT, так что

D ~ vpkTσ .

Таким образом, коэффициент диффузии в газе обратно пропорционален его давлению (при заданной температуре). Поскольку те-

пловая скорость молекул пропорциональна Т , то коэффициент диффузии растет при увеличении температуры пропорционально Т 3/2 (если можно считать постоянным сечение столкновений).

122

По поводу изложенного вывода надо сделать следующее замечание. При вычислении j мы рассуждали так, как будто дело шло об одном газе, между тем как в действительности есть смесь двух газов. Поэтому остается, собственно говоря, неясным, к молекулам какого из двух газов относятся величины σ и v. Поскольку речь идет лишь об оценке порядка величины коэффициента диффузии, этот вопрос несуществен, если молекулы обоих газов сравнимы по своим массам и размерам. Но при большом различии между ними вопрос может иметь существенное значение. Более детальное рассмотрение показывает, что в таком случае под v надо понимать большую из тепловых скоростей (т.е. скорость молекул меньшей массы), а под σ – наибольшее из эффективных сечений.

Для примера в табл. 8.2 приведены значения коэффициента диффузии в некоторых газовых смесях при нормальных условиях.

Диффузия в газах происходит гораздо быстрее, чем в жидкостях. Например, коэффициент диффузии сахара в воде (при комнатной температуре) составляет всего 0,3 10–5 см2/с, а NaCl в воде –

1,1 10–5 см2/с.

Интересно сравнить истинное расстояние, проходимое молекулами газа в их тепловом движении, с величиной их среднего упорядоченного смещения при диффузии. Так, молекулы воздуха (в нормальных условиях) проходят за 1 с расстояния порядка 5 104 см. Диффузионное же смещение за 1 с составляет по порядку величины всего

Dt ~ 0,2 1 ~ 0,5 см.

Определение коэффициента теплопроводности газа, по существу, не требует новых вычислений. Достаточно обратить внимание на отмеченную ранее аналогию между процессами теплопроводности и диффузии: теплопроводность представляет собой «диффузию

123

энергии», причем роль коэффициента диффузии D играет коэффициент температуропроводности χ. В данном случае оба процесса осуществляются одним и тем же механизмом – непосредственным переносом молекулами газа. Поэтому можно утверждать, что по порядку величины коэффициент температуропроводности совпадает с коэффициентом самодиффузии газа, т. е.

χ ~ vλ.

Коэффициент же теплопроводности κ получается умножением χ на теплоемкость 1 см3 газа. В этом объеме содержится n/NA молей газа (NA – число Авогадро), и потому его теплоемкость есть nC/NA, где С – молярная теплоемкость (писать ли здесь Ср или СV – безразлично, поскольку они не отличаются друг от друга по порядку величины). Таким образом,

κ ~ χ nC ~ vλnC ,

NA NA

и, подставив λ ~ 1/nσ, получим окончательно

κ ~ vC .

σNA

Молярная теплоемкость газа не зависит от его плотности. Поэтому мы приходим к замечательному, на первый взгляд, парадоксальному результату: теплопроводность газа зависит только от его температуры, но не зависит от его плотности или давления.

Теплоемкость газа мало зависит от температуры; то же самое относится и к эффективному сечению. Поэтому можно считать, что коэффициент теплопроводности газа (вместе с тепловой скоростью

υ) пропорционален Т . В действительности теплопроводность растет с температурой несколько быстрее, потому что с повышением температуры обычно повышается теплоемкость и уменьшается эффективное сечение.

В табл. 8.3 приведены для примера значения коэффициента теплопроводности некоторых газов при 0 °С.

Выше было отмечено, что коэффициент теплопроводности газа зависит от одной лишь температуры и не зависит от давления. Это справедливо лишь постольку, поскольку длина пробега λ зависит от плотности газа п. При понижении давления газа уменьшается его

124

9. ВЯЗКОСТЬ ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ

Коэффициент вязкости. Если в потоке жидкости (или газа) скорость течения различна в разных местах, то такой поток не является равновесным, и в нём будут происходить процессы, стремящиеся выровнять скорость течения. Эти процессы называются внутренним трением или вязкостью. Подобно тому, как при теплопроводности возникает тепловой поток из более нагретых в менее нагретые участки среды, так и при внутреннем трении благодаря тепловому движению молекул происходит передача импульса от более быстрых участков потока к менее быстрым.

Вязкость, аналогично диффузии и теплопроводности, характе-

Пвдоль всего потока направление. Пусть ве-

личина скорости v меняется только вдоль

Аналогично диффузионному потоку и потоку теплоты вводится понятие о потоке импульса: это полный импульс, переносимый в 1 с в положительном направлении оси z через единичную площадку, перпендикулярную оси z. Обозначим этот поток буквой П. В полной аналогии с другими процессами переноса можно утверждать, что поток импульса пропорционален градиенту скорости течения v:

Величина η называется коэффициентом вязкости среды.

Если жидкость течет, соприкасаясь с твердой поверхностью (например, со стенками трубы), то непосредственно прилегающий к твердой стенке слой жидкости полностью задерживается, как бы

126

«прилипая» к ней, благодаря наличию сил молекулярного сцепления между поверхностью твердого тела и жидкостью (или газом). Поэтому ясно, что по мере приближения к стенке скорость потока будет уменьшаться и на стенке обратится в нуль. Тем самым, благодаря вязкости возникает поток импульса по направлению из жидкости к стенке.

С другой стороны, как мы знаем из механики, импульс, переданный телу за единицу времени, есть сила, действующая на тело. Поэтому импульс П, переносимый в единицу времени через единицу поверхности и передаваемый, в конце концов, от жидкости к стенке, представляет собой силу трения, действующую на единицу поверхности твердой стенки со стороны протекающей мимо нее жидкости.

Размерность потока П есть размерность импульса, деленного на площадь и на время, т. е.

[П] = масса/длина время2. Размерность же dv/dz есть время–1. Поэтому

[η] = Н с/м2 = Па с (CИ), [η] = г/с см= Пз (пуаз) (СГСЕ),

1 Па с = 10 Пз.

Коэффициент вязкости определяет быстроту передачи импульса из одного места потока в другое. Скорость же равна импульсу, деленному на массу. Поэтому быстрота выравнивания скорости потока будет определяться величиной η/ρ, где ρ – плотность, т. е. масса единицы объема жидкости. Величину ν = η/ρ называют кинематической вязкостью, в отличие от самого коэффициента η, называемого в этой связи динамической вязкостью. Размерность кинематической вязкости совпадает с размерностью коэффициентов диффузии и температуропроводности:

[ν] = длина2 , время

т. е. ν представляет собой как бы коэффициент диффузии для скорости.

127

суда) не нарушает теплового равновесия и могло бы продолжаться неограниченно долго без выравнивания скоростей.

Задача 9.1. Вычислите силу трения, возникающую между двумя движущимися друг относительно друга параллельными плоскостями, промежуток между которыми заполнен жидкостью с вязкостью

η. Для вычислений применить формулуΠ = −ηddzv .

кости у нижней и верхней стенок равна соответственно 0 и v0. В промежутке между стенками скорость v меняется по линейному за-

кону

v = vh0 z,

где z – расстояние от нижней стенки (этот закон получается так же, как в совершенно аналогичной задаче о теплопроводности в плоском слое). Искомая сила трения, действующая на единицу площади поверхности каждой из твердых плоскостей и стремящаяся замедлить их относительное движение, дается величиной потока им-

пульса

Π = ηddzv = ηvh0

и равна

F = Π = ηvh0 ,

т.е. пропорциональна скорости плоскостей v и обратно пропорциональна расстоянию между ними.

Задача 9.2. Рассмотрите стационарный поток жидкости плотности ρ и вязкости η, текущей по наклонной плоскости с углом наклона α к горизонту. Найдите зависимость скорости жидкости от расстояния y до дна потока и расход жидкости, т.е. её объём ежесе-

129

кундно протекающий через поперечное сечение потока. Глубина потока h.

Решение. Движение жидкости вызывается проекцией силы тяжести на направление наклонной плоскости. Эта сила уравновешивается силой трения. Рассмотрим участок верхнего слоя жидкости глубиной h – y и площадью основания, равной единице (заштрихован на рис. 9.3).

Поскольку на дне потока (y = 0) скорость должна быть равна нулю, следовательно, в полученной формуле константа равна нулю. Тем самым:

График распределения скорости жидкости по высоте изображён на рис. 9.4, а.

Рис. 9.4

130