Лиситсын Молекулярная физика в задачакх 2014

Пусть теперь этот шарик падает в воздухе. Плотность воздуха приблизительно в 103 раз меньше плотности воды, а вязкость воздуха составляет η ~ 1,8 10-4 Пз. Тогда для шарика радиусом а = 0,5 см найдём

Ответ получился невообразимый: предельная скорость шарика составила 24 км/с – вдвое больше второй космической скорости! Такое, очевидно, невозможно. В чём же дело? Дело в том, что при столь высоких скоростях режим обтекания шарика воздухом будет турбулентным, и сила сопротивления будет определяться не вязкостью воздуха, а его плотностью, и главное, она будет пропорциональна квадрату скорости шарика

Fсопр ~ ρвоздa2u2

(подробнее см. далее в п. Турбулентность).

При условии равенства силы тяжести и силы сопротивления воздуха, когда скорость шарика достигнет своего предельного значения, получим

mg ~ ρвоздa2u2.

Поскольку т = ρV = 4/3πa3, то для предельной скорости и0 шарика найдём

~ и0/g ~ 5 c, соответственно, расстояние, пройденное шариком составит порядка S ~ и0τ/2 ~ 110 м.

Рассмотрим теперь падение маленьких капель воды в воздухе. Плотность воздуха приблизительно в 103 раз меньше плотности воды, а вязкость воздуха составляет η ~ 1,8 10-4 Пз. Тогда для капель радиусом а1 = 0,5 мм и а2 = 0,05 мм находим соответственно:

τ1 ~ 0,25 с, и01 ~ 2,5 м/с,

142

τ2 ~ 2,5 10–3 с, и02 ~ 2,5 см/с.

Полученные результаты объясняют, в частности, почему капли воды, из которых состоят облака, не падают вниз. Действительно, капли достаточно малого размера будут уноситься вверх восходящими воздушными потоками, даже если скорости таких потоков весьма малы.

Как мы видели, для капель диаметром в 0,1 мм достаточно скорости потока всего в 2,5 см/с. Для капель диаметром в 1 мм нужны скорости порядка 2,5 м/с. Если учесть, что в грозовых облаках скорости воздушных потоков достигают многих десятков метров в секунду, то становится понятным, почему вершины таких облаков поднимаются до высот в 10 км и более. Даже зимой при относительно слабых вертикальных потоках в атмосфере маленькие кристаллики льда (снежинки) могут удерживаться в этих потоках и не опускаться вниз.

143

10. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Рассмотренное выше течение жидкости по трубе характерно своей упорядоченностью и плавностью: каждая частица жидкости движется по определенной прямолинейной траектории, и вся картина течения представляет собой как бы движение различных слоев жидкости с различными скоростями друг относительно друга. Такое правильное, стационарное движение жидкости называют ламинарным («слоистым»).

Однако такой характер течение жидкости сохраняет лишь при не слишком больших числах Рейнольдса. Для течения по трубе последнее можно определить формулой

Re = иd/ν,

где d – диаметр трубы, а и – средняя скорость движения жидкости. Если, например, увеличивать скорость течения (по трубе заданного диаметра), то в некоторый момент характер движения совершенно меняется. Оно становится крайне неупорядоченным. Вместо плавных линий частицы жидкости описывают запутанные, извилистые, непрерывно меняющиеся траектории. Такое движение назы-

вается турбулентным.

Скорость жидкости в каждой точке турбулентного потока совершает нерегулярные, хаотические колебания (или, как говорят, пульсации) вокруг некоторого среднего значения. Средние значения скорости описывают картину движения жидкости, в которой сглажены нерегулярные турбулентные пульсации. Эту усредненную скорость и имеют обычно в виду, когда говорят просто о скорости турбулентного потока жидкости.

Турбулентное перемешивание жидкости представляет собой гораздо более эффективный механизм передачи импульса, чем процесс молекулярной передачи путем внутреннего трения в ламинарном потоке. Поэтому в турбулентном потоке профиль скоростей существенно отличен от распределения скоростей при ламинарном течении. Вместо постепенного возрастания скорости от стенки к оси трубы скорость при турбулентном течении почти постоянна вдоль большей части площади сечения трубы и лишь в тонком пристеночном слое быстро падает до нуля.

144

Малая роль вязкости по сравнению с турбулентным перемешиванием имеет и более общие последствия: вязкость вообще не оказывает непосредственного влияния на свойства турбулентного движения. Эти свойства определяются поэтому меньшим числом величин, чем при ламинарном течении,– среди них отсутствует коэффициент вязкости жидкости. Возможности составления комбинаций величин той или иной размерности из остающихся величин становятся гораздо более ограниченными и в связи с этим применение метода подобия может сразу дать более конкретные результаты.

Для примера найдем зависимость между средней скоростью течения по трубе и градиентом давления, под влиянием которого это течение происходит (т. е. отношением р/L, где р – разность давлений на концах трубы, L – ее длина). Величина p/L имеет размерность кг/м2 с2. Единственной комбинацией такой размерности, которую можно составить из имеющихся в нашем распоряжении величин (скорости и, диаметра трубы d и плотности жидкости ρ), является ρu2/d. Поэтому можно утверждать, что

Lp = const ρdu2 ,

где const – численный коэффициент. Таким образом, при турбулентном течении по трубе градиенту давления пропорционален квадрат средней скорости, а не ее первая степень, как при ламинарном течении. (Этот закон, однако, выполняется лишь приближенно, так как в нем не учтено влияние пристеночного слоя, в котором происходит очень быстрое падение скорости и вязкость играет существенную роль.)

Задача 10.1. Оцените расстояние, которое должна пролететь в воздухе пуля, чтобы сила сопротивления воздуха заметно изменила её скорость.

Решение. Пуля движется в неподвижном воздухе. Взаимодействие пули с воздухом приводит к потере пулей её импульса. Но импульс, потерянный пулей, передаётся воздуху. При большой скорости движения пуля при столкновении с некоторой массой воздуха сообщает этой массе скорость порядка скорости пули. Тем

145

самым, сила сопротивления заметно снизит скорость пули, если та передала воздуху импульс, соизмеримый с её начальным импульсом:

тпули и ~ твозди,

т.е. масса воздуха твозд, с которым взаимодействовала пуля, должна быть порядка массы пули.

Плотность воздуха приблизительно в 103 раз меньше плотности воды, а плотность свинца, из которого сделана пуля, примерно в 10 раз больше плотности воды. Тем самым, плотность пули в 104 раз больше плотности воздуха. Но это означает, что пуля должна пролететь расстояние в 104 раз больше своих размеров. Так как размер пули порядка 1 см, то пуля должна пролететь порядка 104 см = 100 м.

Мы уже отмечали, что течение по трубе становится турбулентным при достаточно больших значениях числа Рейнольдса. Опыт показывает, что для этого Re должно быть не меньше 1700. При меньших значениях Re ламинарное течение вполне устойчиво. Это значит, что при возмущении потока какими-либо внешними воздействиями (сотрясение трубы, неровности на входе в трубу и т.п.) возникающие нарушения плавности течения быстро затухают. Наоборот, при Re > 1700 возмущения потока приводят к срыву ламинарного режима и возникновению турбулентности.

Турбулентность характерна вообще для течений при очень больших числах Рейнольдса. Она возникает не только при течении по трубе, но и при обтекании жидкостью (или газом) различных твердых тел (или, что то же самое, при движении этих тел через жидкость). Остановимся более подробно на картине такого обтекания.

В силу закона подобия несущественно, что именно приводит к большому значению числа Рейнольдса: большие ли значения размеров тела а или скорости движения и, или же малые значения вязкости ν. В этом смысле можно сказать, что при очень больших

числах Рейнольдса жидкость ведет себя так, как если бы она обладала очень малой вязкостью.

Это относится, однако, лишь к жидкости, текущей вдали от твердых стенок. Около же самой поверхности твердого тела образуется тонкий пограничный слой, в котором скорость убывает от

146

значения, соответствующего движению без трения, до нулевого значения, соответствующего прилипанию вязкой жидкости к стенке. Пограничный слой тем тоньше, чем больше число Рейнольдса. Внутри этого слоя скорость изменяется очень быстро, и поэтому в нем вязкость жидкости играет определяющую роль.

Свойства пограничного слоя приводят к важному явлению так называемого отрыва течения при обтекании тел, в результате чего позади обтекаемого тела возникает длинная полоса турбулентно движущейся жидкости – так называемый турбулентный след, показанный на рис. 10.1. Для шара, например, он возникает примерно со значения Re ~ 1000 (причем Rе = du/ν, где d – диаметр шара).

Рис. 10.1

При очень больших числах Рейнольдса образование турбулентного следа является основным источником сопротивления, испытываемого движущимся в жидкости телом. В этих условиях для определения закона сопротивления можно снова воспользоваться соображениями размерности. Испытываемая телом (определенной формы) сила сопротивления F может зависеть лишь от размеров тела а, его скорости и и от плотности жидкости ρ, но не от ее вязкости. Из этих трех величии можно составить лишь одну комбинацию с размерностью силы – произведение ρa2u2. Поэтому можно утверждать, что

F = const ρa2u2,

где const – коэффициент, зависящий от формы тела.

147

Таким образом, при очень больших числах Рейнольдса сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости (это обстоятельство известно как закон сопротивления Ньютона). Она пропорциональна также квадрату линейных размеров тела, т.е. площади его поперечного сечения (которое само пропорционально а2). Наконец, сила сопротивления оказывается пропорциональной плотности жидкости. Напомним, что в обратном случае малых чисел Рейнольдса сопротивление жидкости пропорционально ее вязкости и не зависит от плотности.

В то время как при малых значениях Re сопротивление определяется вязкостью жидкости, при больших Rе на первый план выдвигается влияние инерции (массы) жидкости. Это становится совершено понятным, если заметить, что число Рейнольдса определяет относительную роль силы инерции по отношению к силе вязкого трения:

Re = ρuа = ρu2а2 ~ Fинер .

η ηua Fвязк

Как видим, большим числам Рейнольдса соответствует большая роль сил инерции и, наоборот, при малых числах Рейнольдса относительно велика роль сил вязкого трения.

Сопротивление при больших числах Рейнольдса очень сильно зависит от формы тела. Формой тела определяется место отрыва течения, а тем самым и ширина турбулентного следа. Чем ỳже след, тем меньше связанное с ним сопротивление. Это обстоятельство определяет выбор формы тела, при которой оно испытывало бы по возможности малое сопротивление (такую форму называют хоро-

шо обтекаемой). Хорошо обтекаемое тело должно быть закруглено спереди и удлинено сзади,

Рис. 10.2 плавно заостряясь к своему концу (рис. 10.2). Стекающие вдоль такого тела потоки жидкости как бы плавно смыкаются у его конца, не поворачивая где-либо сильно; этим устраняется быстрое повышение давления в направлении потока. Отрыв течения происходит лишь у самого заостренного конца, в результате чего турбулентный след очень узок.

148

Напомним, что все сказанное относится к скоростям, малым по сравнению со скоростью звука, когда жидкость можно рассматривать как несжимаемую.

Задача 10.2. Почему при турбулентном обтекании тела жидкостью сила, действующая на тело, отлична от нуля, ведь при таком режиме роль вязкости ничтожна?

Решение. Причиной возникновения силы сопротивления в этом случае является турбулентный след за телом. Действительно, кинетическая энергия поступательного движения жидкости при этом частично переходит в энергию пульсационного движения в турбулентном следе. В области следа средняя скорость движения жидкости оказывается меньше, чем перед телом, что и вызывает возник-

р0 = mu0 ~ ρu02 a2.

За телом скорость поступательного движения жидкости в пределах турбулентного следа станет меньше, уменьшится и импульс, уносимый этой жидкостью:

р1= mu1 ~ ρu12 a2.

Таким образом, жидкость потеряет за единицу времени импульс

р = р0 – р1 ~ ρa2(u02 – u12).

Поскольку u1 пропорциональна u0, то р = constρa2u02. Но импульс, потерянный жидкостью, передан телу. С другой стороны, импульс, переданный телу в единицу времени есть сила, действующая на тело. Поэтому

F = constρa2u2.

Задача 10.3. Роль вязкости при турбулентном режиме обтекания ничтожна, сила же, действующая на тело в потоке жидкости может быть достаточно большой. Такая же сила согласно третьему закону Ньютона действует и на жидкость со стороны тела. Так что затраты

149

энергии на поддержание постоянной скорости потока также велики. На что же расходуется мощность источника, приводящего в движение жидкость, обтекающую тело?

Решение. В турбулентном следе есть вихри различных масштабов. Самые крупные имеют размеры порядка размеров тела. Но существуют и мелкомасштабные вихри. Без подвода энергии извне турбулентные потоки затухают, так как энергия потока передается от крупных вихрей к вихрям все более и более малого размера, где роль вязкости уже достаточно велика. Так что в конечном итоге потери энергии и в турбулентном потоке определяются вязкостью.

Задача 10.4. При какой максимальной глубине поток в задаче 9.2 будет оставаться ламинарным?

Решение. Все полученные в задаче 9.2 результаты справедливы, пока поток ламинарный, т.е. число Рейнольдса Re < Reкр:

h < 3 2ν2 Reкр . g sin α

Для плоского потока Reкр ~ 5000. Оценим максимальную глубину ламинарного потока воды при малом наклоне русла потока

(sinα ~ 0,1):

Как видим, максимальная глубина составляет порядка 2 мм. При большей глубине потока ламинарное течение делается неустойчивым и превращается в турбулентное.

Для потока воды, текущего по вертикальной стенке (α = π/2), эта глубина составляет менее 1 мм.

150