Лиситсын Молекулярная физика в задачакх 2014

Т =800 +880 =1680 К ≈ 1400 °С.

Задача 3.3. Объём газа увеличился от V1 до V2 один раз изобарически, другой раз изотермически. В каком случае работа газа была больше? Найдите количество теплоты, полученное газом в каж-

Поэтому площадь под изотермой меньше, чем под изобарой. Следовательно, в изотермическом процессе работа меньше, чем в изобарическом.

Для нахождения количества теплоты воспользуемся уравнением первого начала термодинамики:

Q = E + A.

В изотермическом процессе внутренняя энергия газа не изменялась, поэтому полученное газом количество теплоты QT равно работе:

QT = А = νRT ln(V2/V1).

В изобарическом процессе количество теплоты Qр, полученное газом, можно связать с приращением его температуры:

Qp = νCp (T2 – T1) ,

Воспользовавшись уравнением состояния газа, получим:

Здесь ν – количество молей газа в сосуде.

41

Нетрудно видеть, что в изобарическом процессе газ получил больше теплоты, чем в изотермическом.

Задача 3.4. Теплоизолированный сосуд разделён на две части перегородкой. С одной стороны от перегородки находится идеальный газ, с другой – вакуум. Как изменится температура в сосуде, если перегородку убрать?

Решение. Поскольку сосуд теплоизолирован, то газ в процессе расширения не получает и не отдаёт тепло. Кроме того, в процессе расширения газ не перемещает никаких внешних тел, следовательно, его работа равна нулю. Тем самым, согласно первому началу термодинамики его внутренняя энергия не изменяется. Но внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, следовательно, температура газа также остаётся неизменной.

Задача 3.5. Теплоизолированный сосуд откачан до глубокого вакуума. В некоторый момент в стенке сосуда открывается небольшое отверстие, и воздух из атмосферы заполняет сосуд. Какой станет температура в сосуде, если температура воздуха снаружи

равна Т0?

Решение. Очевидно, что сосуд будет заполняться до тех пор, пока давление в нем не станет равным атмосферному. Пусть объём сосуда равен V, и в сосуд вошло некоторое количество воздуха. Тогда согласно уравнению состояния воздуха в сосуде получим

pатмV = NkT.

Над этим воздухом атмосферное давление совершило работу ратмV. Действительно, объём атмосферы вырос на V, а давление атмосферы ратм остаётся неизменным. Поскольку сосуд теплоизолирован, т.е. воздух при заполнении сосуда не получал и не отдавал тепло, то работа атмосферы вызвала повышение внутренней энергии воздуха, заполнившего сосуд:

Из получившегося уравнения находим

Если начальная температура Т0 ~ 300 К, то Т ~ 500 К, т.е. температура вырастет примерно на 200 градусов.

Задача 3.6. Теплоизолированный сосуд заполнен газом. Давление в сосуде р1. В стенке сосуда открывают небольшое отверстие, через которое газ начинает вытекать в атмосферу. Начальное давление газа в сосуде больше атмосферного р1 > ратм, температура в сосуде Т1. Какой будет конечная температура в сосуде, если в процессе вытекания газа из сосуда теплообмен отсутствовал? Получите числовую оценку для воздуха при р1 = 1,5 атм, Т1 = 300 К.

Решение. Пусть объём сосуда таков, что масса газа, оставшегося в сосуде, равна одному молю. Приращение температуры и давления газа получим из уравнения первого начала термодинамики, которое в отсутствие теплообмена принимает вид

СV dT + р dV = 0.

Прибавим и отнимем V dр:

СV dT + р dV + V dр – V dр = 0,

откуда

Выразим объём газа через его давление и температуру из урав-

нения состояния идеального газа:

V = RpT .

Тогда (3.15) приобретёт вид

Cp dT − RTp dp =0 .

Поделим на CрТ и учтём, что Cр – CV = R. Тогда получим

dT = Cp −CV dp . T Cp p

Беря интеграл от обеих частей равенства и используя обычное обозначение γ = Ср/СV, получаем

lnT – γ γ−1ln p =const.

43

Потенцируя это равенство, найдём

Тγ−1 = const , p γ

откуда

1−1

p γ

T2 =T1 атм .

p1

У воздуха γ = 1,4, поэтому в условиях нашей задачи

Задача 3.7. Метеориты, падающие на Землю, при движении в атмосфере сильно нагреваются, и часто полностью сгорают, не долетев до поверхности Земли. Оцените температуру поверхности метеорита при его вхождении в атмосферу Земли. Метеорит движется со скоростью порядка второй космической скорости:

u ~ 10 км/с.

Решение. Перейдём в систему отсчёта, связанную с метеоритом. Тогда метеорит в этой системе отсчёта покоится, а воздух движется к метеориту со скоростью u. Рассмотрим какую-либо небольшую массу воздуха m, столкнувшуюся с метеоритом. Столкновение можно считать неупругим, так что воздух практически полностью затормаживается у поверхности метеорита. Процесс этот очень быстрый, так что кинетическая энергия воздуха полностью превращается в энергию теплового движения молекул:

mu2 2 = CV mμ T .

Здесь µ – молярная масса воздуха, СV – молярная теплоёмкость воздуха. Молярная масса воздуха µ = 29 г/моль, теплоёмкость СV = = 5/2R ≈ 21 Дж/(моль К), откуда находим приращение температуры воздуха

Как видим, нагрев оказывается колоссальным. При таких температурах любое вещество будет испаряться, что и происходит с метеоритом.

Отметим, справедливости ради, что при столь высоких температурах многоатомные молекулы будут распадаться (диссоциировать) на отдельные атомы, так что теплоёмкость и молярную массу надо будет брать уже иными. Тем не менее, порядок величины ответа останется прежним – десятки тысяч градусов. Отметим, что и при значительно более скромных скоростях, порядка 1 км/с, а с такой скоростью могут двигаться современные самолёты, передняя часть корпуса самолёта и крыльев нагреется до температуры в 100 раз меньшей, но также очень большой, порядка 800 К, т.е. около 500 °С. Такой нагрев представляет очень серьёзную проблему в авиации.

45

Q142 = U2 – U1 + А142 = 50 + 10 = 60 Дж.

Для процесса 2–1:

– Q21 = U1 – U2 – А21,

откуда найдём отданное тепло:

Q21 = U2 – U1 + А21 = 50 + 20 = 70 Дж.

Для процесса 4–2:

Q42 = U2 – U4 + А42 = U2 – U4 = 40 Дж.

Здесь мы учли, что в процессе 4–2 объём системы не изменяется, поэтому работа, совершённая ею равна нулю.

Для процесса 1–4:

Q14 = Q142 – Q42 = 60 – 40 = 20 Дж.

Задача 3.9. Политропическим процессом называется процесс, происходящий с постоянной теплоемкостью С. Кривая, изображающая политропический процесс, называется политропой. Найдите уравнение политропы для идеального газа, теплоемкость Скоторого не зависит от температуры. Рассмотрите частные случаи:

1) С = СV; 2) С = Ср; 3) С = 0; 4) С = ∞.

Решение. Рассмотрим моль газа. Согласно определению теплоёмкости количество тепла, полученного телом, и соответствующее приращение температуры связаны соотношением dQ = CdT, поэтому уравнение первого начала термодинамики запишется в виде:

Здесь мы учли, что в идеальном газе dU = CV dT, причём теплоёмкость CV = const.

Выразив из уравнения состояния идеального газа его давление через объём и температуру, перепишем (3.16) в виде

(С −СV )dT = RTV dV .

Поделив обе части этого уравнения на RT, получим

С −СV dT = dV . R T V

Взяв интегралы от обеих частей этого уравнени, и записав R = = Cр – CV, получим

С−СV lnT = lnV +const .

Сp −СV

46

Потенцируя, получим

получим окончательно уравнение политропы для идеального газа:

рVn = const. (3.18)

Введённая нами величина п называется показателем политропы. Случаю С = СV соответствует изохорический процесс с уравне-

нием

V = const, n = ∞.

Случаю С = Ср соответствует изобарический процесс с уравнением

р = const, n = 0.

Случаю С = 0 соответствует адиабатический процесс с уравнением

pV γ = const , n = γ.

Случаю С = ∞ соответствует изотермический процесс с уравнением

рV = const, n =1.

В переменных р, Т и V, Т уравнение политропического процесса запишется в виде

Tn−1 = const, TV n−1 = const. p n

Задача 3.10. При каких значениях показателя политропы п идеальный газ при сжатии нагревается, а при каких охлаждается?

Решение. Для ответа на этот вопрос нужно записать уравнение политропы рVn = const в переменных T,V. Поскольку р = RT/V, то уравнение политропы приобретёт вид

47

Другой путь к получению этой формулы основан на прямом интегрировании выражения для работы dA = рdV с учётом того, что в политропическом процессе с идеальным газом его давление и объём связаны соотношением рVn = const (см. формулу (3.18)):

В изотермическом процессе Т = const, поэтому индекс у температуры можно не указывать, во всех точках процесса температура одна и та же. В этом процессе С = ∞, поэтому n = 1, и непосредственное определение работы с помощью (3.20) невозможно: мы получили бы неопределённость вида ∞ 0. Найдём в этом случае работу, сначала полагая в (3.19) теплоёмкость С большой величиной, а

Воспользуемся известным пределом

49

Ранее эта же формула была получена из определения работы dA= рdV в примере 3.3.

Заметим, что все формулы для работы, полученные нами для одного моля, можно применить и к произвольному числу молей, если умножить ответ на число молей ν (объясните сами, почему).

Задача 3.13. Как известно, температура в атмосфере убывает с высотой. Так на высотах порядка 10 км температура воздуха даже летом около –50 °С. Объясните, почему там так холодно, ведь тёплый воздух, нагреваемый поверхностью Земли, поднимается вверх и, казалось бы, наверху температура должна быть высокой. Найдите зависимость температуры воздуха от высоты.

Решение. Основной причиной изменения температуры является перемещение теплого воздуха из низших слоев в высшие, а также перемещение воздуха из высших слоёв в низшие. Когда воздух с уровня поверхности Земли поднимается в верхние слои с низким давлением, он расширяется. Так как воздух – плохой проводник теплоты, то тепло от окружающего воздуха очень плохо передается поднявшемуся воздуху, поэтому можно считать, что происходит адиабатическое расширение. Соответственно, понижается температура поднявшегося воздуха. С другой стороны, воздух верхних слоев атмосферы, погружаясь в нижние слои, испытывает адиабатическое сжатие, вследствие чего повышается температура.

50