Лиситсын Молекулярная физика в задачакх 2014

Чтобы подсчитать изменение температуры, рассмотрим небольшую массу воздуха, поднимающуюся вверх в неподвижном воздухе. Очевидно, что давление в этой массе воздуха совпадает с давлением в окружающем воздухе. Пусть эта частица поднялась на dh с высоты h над уровнем поверхности земли. Если р – давление воздуха на высоте h, то давление на высоте h+dh составит р + dp. Если g – ускорение силы тяжести, а ρ – плотность воздуха, то вес воздуха в слое с единичным поперечным сечением и толщиной dh равен ρgdh. Этот вес уравновешен разностью давлений dp на нижнее и верхнее основания слоя:

dp = – ρgdh.

Из уравнения состояния идеального газа

где µ – молекулярная масса воздуха; µ = 29 г/моль.

Поскольку в процессе подъёма частица не обменивается теплом с окружающим воздухом, то давление и её объём связаны уравнением адиабаты рV γ = const или

Т γ/pγ–1 = const.

Прологарифмируем и продифференцируем это равенство: dTT = − γ γ−1 dpp .

Подставляя сюда dp из (3.28) получим: dTdh = − γγ−1 gRμ .

Учитывая, что γ = 1,4; g = 9,8 м/с2, µ=29г/моль, R = 8,3

Дж/(моль К), получим

51

≈−9,8 10−3 градм ≈ −9,8 градкм .

Вдействительности в поднимающемся воздухе убыль температуры с высотой несколько меньше, чем вычисленное нами значение. Разница объясняется главным образом тем, что мы пренебрегли эффектом конденсации водяного пара в расширяющихся массах воздуха (см. по этому поводу далее задачу 11.13).

Полученный ответ определяет условие устойчивости атмосферы по отношению к конвекции (перемешиванию), вызванной неравномерностью нагрева воздуха. Так, если в атмосфере температура убывает быстрее чем 9,8 град/км, то поднимающийся вверх воздух окажется теплее, а значит, легче, чем окружающий его воздух. Поэтому он будет продолжать всплывать вверх, а холодный опускаться вниз.

Если же с высотой температура убывает медленнее 9,8 град/км, то такое перемешивание невозможно, поскольку воздух, поднимающийся вверх остынет так, что его температура сделается ниже, чем температура окружающего воздуха. Поэтому он окажется тяжелее окружающего воздуха и опустится на прежнюю высоту. Смещение воздуха вниз также будет невозможно, поскольку сместившись вниз, воздух нагреется до температуры большей, чем температура атмосферы на этой новой высоте. Поэтому воздух начнёт всплывать к прежнему своему положению. Такая ситуация часто наблюдается зимой, когда устанавливаются сильные морозы. Тогда температура у поверхности земли может составлять от –20

до –40 °С. На высотах порядка 8–10 км температура также близка к –40 °С. Тем самым температура в атмосфере изменяется с высотой значительно слабее, чем на 9,8 °С/км, что приводит к отсутствию вертикальных движений воздуха. Устанавливается, как говорят, неподвижный антициклон с ясным небом и сильными морозами. От Урала до Дальнего востока такой антициклон может сохраняться многие недели вплоть до нескольких месяцев.

52

Задача 3.14. Вычислите теплоёмкость твёрдого тела.

Решение. Теплоемкость твердого тела связана с энергией атомов, совершающих тепловые малые колебания вокруг своих положений равновесия. При достаточно высоких температурах колебания атомов можно рассматривать с помощью классической механики. Поскольку всё движение атомов имеет колебательный характер, то на каждую из его трех степеней свободы приходится средняя энергия kТ: по kТ/2 от средней кинетической и от средней потенциальной энергий (поскольку при гармонических колебаниях средняя кинетическая энергия и средняя потенциальная энергия равны). Всего средняя энергия, приходящаяся на один атом твердого тела, при этих условиях равна 3kТ, а энергия моля

E = 3kNAТ = 3RT.

Отсюда находим молярную теплоёмкость:

Этот результат называют законом Дюлонга и Пти. Для многих простых элементов этот закон хорошо выполняется при комнатных температурах. При низких температурах этот закон не имеет места. Низкими или, соответственно, высокими являются температуры, которые удовлетворяют соответственно неравенствам:

T TD , T TD ,

где TD – так называемая температура Дебая.

Различные вещества имеют разные температуры Дебая, которые в большинстве случаев лежат в области 100–1000 К. Так температура Дебая у свинца составляет около 80 К, у алюминия около 400 К. У алмаза температура Дебая имеет величину около 2000 К.

Если рассматривать зависимость CV от T/TD, то она оказывается универсальной для всех твердых тел с простыми кристаллическими решетками. На рис. 3.7 приведен график зависимости молярной теплоемкости кристалла с простой кристаллической решеткой от температуры.

В молекулярных кристаллах зависимость CV от Т носит более сложный характер. В металлах вклад в теплоемкость вносят также и электроны проводимости. Правда, этот вклад заметен только при

53

Решение. Так как в этом процессе не происходит теплового обмена с окружающей средой, то работа, производимая поршнями, должна быть равна изменению внутренней энергии газа. Поскольку давление газа остается в течение процесса постоянным, то работа, произведенная поршнем 1 при вытеснении газа из объема V1 равна просто произведению р1V1

Что же касается поршня 2, то газ, переходя через перегородку, производит над поршнем работу р2V2. Поэтому общая произведенная поршнями над газом работа равна р1V1 – р2V2. Эта работа, как уже сказано, должна равняться приращению внутренней энергии газа:

р1V1 – р2V2 = E2 – E1,

где E1 и E2 – внутренние энергии данного количества газа в исходном и конечном состояниях. Поэтому

E1 + р1V1 = E2 + р2V2,

W1 = W2,

где W = E + pV – тепловая функция.

Таким образом, в процессе Джоуля–Томсона сохраняется тепловая функция газа. Для идеального газа как энергия Е, так и тепловая функция W зависят только от температуры:

E =CV T , W =CpT.

Поэтому из равенства тепловых функций следует равенство температур. Иными словами, если процессу Джоуля–Томсона подвергается идеальный газ, то его температура не изменяется. У реальных газов в процессе Джоуля–Томсона температура изменяется, причем это изменение может быть значительным. Например, воздух, расширяясь при комнатной температуре от давления 200 атм до давления 1 атм, охлаждается примерно на 40°.

Задача 3.16. Газ вытекает из теплоизолированного сосуда в атмосферу через узкую трубку. Найдите скорость, с которой газ вытекает из сосуда, считая, что в ходе процесса давление в сосуде остаётся неизменным. Вязкостью (внутренним трением) газа пренебречь.

Решение. Решение этой задачи аналогично решению предыдущей, разница состоит лишь в том, что теперь уже нельзя пренебрегать кинетической энергией текущего газа. Производимая над га-

55

зом работа идет на увеличение энергии газа, но теперь в эту энергию входит не только его внутренняя энергия, но и кинетическая энергия его движения как целого. Иными словами, для стационарного потока газа или жидкости выполняется соотношение

где W и М – тепловая функция и масса некоторого количества вещества, a υ – его скорость в потоке. Написанное уравнение оз-

начает, что величина M2υ2 +W для данного количества вещества

одинакова, в каком бы месте потока это вещество ни находилось.

Поскольку движение потока не сопровождается трением как внутри самого текущего вещества, так и со стороны каких-либо внешних препятствий, то в этих условиях можно считать, что теплоизолированным от внешней среды является не только поток в целом, но и движение каждого отдельного участка вещества. Другими словами, можно считать, что в процессе движения каждый участок вещества расширяется (или сжимается) адиабатически.

Если трубка достаточно узкая, то расход газа (количество вытекающего в единицу времени газа) будет малым, поэтому скорость движения газа внутри сосуда можно считать равной нулю. Скорость же вытекающей струи υ определится равенством

υ22 +W0 =W

(мы относим это уравнение к единице массы газа, так что W и W0 – тепловые функции единицы массы газа внутри сосуда и в вытекающей струе). Если газ идеальный, и его удельная теплоемкость ср не зависит от температуры, то из формулы dW = cpdT следует, что W–W0 = cр(T–T0), и тогда

υ22 = сp (T −T0 ).

Температуру Т0 в вытекающей струе можно выразить через температуру Т газа в сосуде с помощью полученного в задаче 3.6

56

уравнения адиабатического расширения газа, согласно которому

Tp− γγ−1 = const :

γ−1

T0 =T p0 γ .p

Таким образом, окончательно получаем следующую формулу, определяющую скорость истечения газа:

Как видим, скорость истечения газа растёт с ростом температуры и давления в сосуде. Однако рост давления при данной температуре не приводит к бесконечному росту скорости. Даже при очень высоком давлении р в сосуде скорость газа останется конечной:

υ≤ 2сpT .

Введя вместо удельной теплоёмкости сР молярную теплоёмкость Ср = µср (здесь µ – масса моля газа), получим окончательно

Рассмотрим численный пример. Найдём скорость струи газа, вытекающей из сопла ракетного двигателя. Пусть двигатель в качестве топлива использует жидкий водород, а окислителем является жидкий кислород. Результатом реакции горения водорода в кислороде является вода, точнее, водяной пар, а температура достигает величины порядка 3200 К. Тем самым, для скорости истечения струи из сопла ракеты, находим

4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Если идеальный газ находится в каком-либо силовом поле, например в поле тяжести, то поскольку на молекулы газа в этом случае действуют внешние силы, давление газа не будет всюду одинаковым, а будет меняться от точки к точке.

В простейшем случае, когда силы поля имеют неизменное направление, легко найти закон, определяющий равновесную плотность газа в той или иной его точке. Для этого выберем направление действующих сил в качестве оси z. Рассмотрим цилиндрический столб газа, ось которого параллельна оси z, и слой газа, заключённый между двумя площадками единичной площади, ориентированными перпендикулярно оси z и находящимися друг от друга на расстоянии dz. Если давления газа на обеих площадках равны р и р+dр, то разность давлений должна, равняться суммарной силе, действующей на частицы газа, заключенные в рассматриваемом нами слое высотой dz. Эта сила равна F n dz, где п – плотность молекул (т.е. их число в единице объема), a F – сила, действующая на одну молекулу в точке с координатой z. Поэтому

dр = n F dz.

Сила F связана с потенциальной энергией молекулы U(z) соот-

ношением F = − dUdz , так что

dР = −n dz dUdz = −n dU.

Поскольку газ идеальный, то рV = NkT. Замечая, что N/V = n, можно переписать это уравнение в виде р = пkТ. Будем предпола-

гать, что температура газа в различных точках одинакова. Тогда dр = kT dn.

Поскольку согласно полученному выше выражению dр = – n dU, то найдём

dnn = d(ln n) = − dUkT .

Отсюда

58

ln n = − kTU +const,

и окончательно

− U

n = n0e kT .

Здесь п0 – постоянная, представляющая собой, плотность молекул в точке, где U = 0.

Полученная формула, связывающая изменение плотности газа с потенциальной энергией его молекул, называется формулой Больцмана. Давление отличается от плотности постоянным множителем kT, поэтому такое же уравнение справедливо и для давления:

− U

p = p0e kT .

В случае поля тяжести вблизи земной поверхности потенциальная энергия молекулы на высоте z равна U = mgz, где т – масса молекулы. Поэтому если считать температуру газа не зависящей от высоты, то давление р на высоте z будет связано с давлением р0 на поверхности Земли соотношением

Эту формулу называют барометрической формулой. Ее удобнее представить в виде

−μgz

p = p0e RT

где µ – молярная масса газа, R – газовая постоянная.

Данную формулу можно применять и в случае смеси газов. Поскольку молекулы идеальных газов практически не взаимодействуют друг с другом, каждый газ можно рассматривать отдельно, т.е. аналогичная формула применима к парциальному давлению каждого из них.

Чем больше молярная масса газа, тем быстрее его давление убывает с высотой. Поэтому атмосфера по мере увеличения высоты все более обогащается легкими газами; относительная концентрация кислорода, например, убывает в атмосфере быстрее, чем относительная концентрация азота.

59

Следует, однако, иметь в виду, что применимость барометрической формулы к реальной атмосфере весьма ограничена, поскольку атмосфера в действительности не находится в тепловом равновесии, и ее температура меняется с высотой (см. задачу 3.13).

Задача 4.1. Вычислите массу земной атмосферы. Найдите отношение массы атмосферы Mатм к массе планеты М. Гравитационное ускорение на поверхности планеты равно g, атмосферное давление р0. Вычислить это отношение для Земли.

Решение. Выделим мысленно в атмосфере вертикальный цилиндр с площадью поперечного сечения S. Сила атмосферного давления уравновешивает вес столба воздуха в этом цилиндре

pатм S = Mвоздg.

Откуда находим

Mвозд = pатмg S .

Массу всей атмосферы получим, взяв S равной площади поверхности Земли:

Mатм = pgатм S = pgатм 4πR2 ≈

≈105 4 3,14 6,42 1012 10

Для нахождения отношения массы атмосферы к массе планеты М учтём, что сила тяготения на поверхности планеты равна произведению массы тела на ускорение свободного падения на поверхности планеты: