Лиситсын Молекулярная физика в задачакх 2014

7. ДИФФУЗИЯ

Ранее мы рассматривали главным образом свойства тел, находящихся в тепловом равновесии. Теперь мы рассмотрим процессы, с помощью которых происходит установление состояния равновесия. Такие процессы называют кинетическими (другое их название

– процессы переноса). По самому своему существу все эти процессы, как приближающие тело к состоянию равновесия, являются необратимыми.

Если концентрация какого-либо раствора различна в разных его местах, то благодаря тепловому движению молекул он с течением времени перемешивается: растворенное вещество переходит из мест с большей в места с меньшей концентрацией до тех пор, пока состав раствора не станет одинаковым по всему его объему. Этот процесс называется диффузией.

Предположим, что концентрация раствора (обозначим ее с) меняется только вдоль одного направления, которое мы выберем за ось х.

Назовем диффузионным потоком j количество растворенного вещества, проходящее в единицу времени через перпендикулярную оси х площадку единичной площади. Будем считать эту величину положительной, если поток направлен по оси х в положительном направлении, и отрицательной – при противоположном направлении. Поскольку, с другой стороны, вещество переходит из мест с большей концентрацией в места с меньшей концентрацией, знак потока будет обратным знаку производной dc/dx (которую называют градиентом концентрации): если концентрация возрастает слева направо, то поток направлен влево, и наоборот. Если же dc/dx = 0, т.е. концентрация раствора вообще постоянна, то диффузионный поток отсутствует.

Все эти свойства учитываются следующим соотношением (закон Фика), связывающим диффузионный поток с градиентом концентрации:

j= −D dcdx .

101

Здесь D – постоянный коэффициент, называемый коэффициентом диффузии. Это соотношение описывает свойства диффузии, как говорят, феноменологическим образом – по ее внешним проявлениям. Можно прийти к такому же выражению для потока и при непосредственном рассмотрении молекулярного механизма диффузии.

Поток j в этой формуле можно определить любым образом: как весовое количество растворенного вещества, проходящего через единичную площадку; как число молекул этого вещества и т. п. При этом надо аналогичным образом определять и концентрацию с: или как весовое количество, или как число молекул растворенного вещества в единичном объеме и т. п. Тогда, как легко видеть, коэффициент диффузии не будет зависеть от способа определения потока и концентрации.

Найдем размерность коэффициента диффузии. Пусть j – число молекул растворенного вещества, проходящего в 1 с через 1 см2.

Тогда [ j] = см12 с. Концентрация же есть число растворенных мо-

Говоря о диффузии, мы подразумеваем, что она происходит в покоящейся среде, так что выравнивание концентрации идет исключительно благодаря неупорядоченному тепловому движению отдельных молекул. Предполагается, что жидкость (или газ) не перемешивается никакими внешними воздействиями, приводящими ее в движение.

Такое перемешивание может, однако, возникнуть в жидкости благодаря полю сил тяжести. Если на воду осторожно налить более легкую жидкость, например спирт, то их смешивание будет происходить путем диффузии, но если налить воду на спирт, то струи

102

воды, как жидкости более тяжелой, будут опускаться вниз, а струи спирта – подниматься вверх.

Таким образом, под действием поля сил тяжести может происходить выравнивание состава среды, сопровождающееся ее движением. Это явление называется конвекцией. Конвекция приводит к выравниванию концентрации гораздо быстрее, чем диффузия.

Задача 7.1. Как известно, малая частица совершает беспорядочное (броуновское) движение благодаря взаимодействию с молекулами среды. При соударениях молекул с частицей происходит изменение величины и направления скорости движения частицы. Процесс соударений носит случайный характер, т.е. заранее неизвестно, куда и с какой скоростью будет двигаться частица после соударения. Однако можно определить средний квадрат расстояния, на которое уйдет частица от своего первоначального положения за время t. Найдите это соотношение.

Решение. Самый простой способ решения такой. Пусть после n-го шага частица находится в точке с радиус-вектором rn. Тогда ее положение после (n+1)-го шага будет определяться радиусвектором rn+1:

Здесь Sn – вектор перемещения частицы на n-м шаге.

Возведем обе стороны (7.1) в квадрат и усредним по большому числу частиц:

В силу случайности процесса блуждания можно утверждать, что второй член в правой части (7.2) равен нулю. Кроме того, будем считать процесс стационарным, т.е. не зависящим от времени, тогда последний член в правой части (7.2) не зависит от номера шага n:

Sn2 = λ2 .

Записав (7.2) для n = 0, 1, 2, 3, ... и сложив все эти равенства, получим

Выберем начало координат в точке, откуда частица начала свое движение, тогда r0 = 0, и средний квадрат удаления броуновской частицы от ее первоначального положения пропорционален числу шагов, сделанных частицей.

Среднее расстояние λ, проходимое частицей между последовательными столкновениями с молекулами среды, называется сред-

ней длиной свободного пробега. Число шагов n можно выразить че-

рез время движения частицы t и среднее время между столкновениями τ:

n = t/τ.

С другой стороны, время τ можно записать как τ=λ/υ, где υ – средняя скорость частицы. Тогда для среднего квадрата удаления частицы получим

r2 = λυ t.

Введём обозначение D = λυ , тогда наш результат можно записать как

r 2 = D t.

Это соотношение выполняется только для системы очень большого числа частиц, но в системе с малым числом частиц среднее

(rn , Sn ) не будет равно нулю и полученный результат уже не бу-

дет справедлив.

Задача 7.2. Некий посетитель увеселительного заведения покидает его в таком состоянии, что ходить он может, но направление каждого шага у него совершенно произвольно. Пусть, кроме того, он делает один шаг в секунду, а длина шага равна 0,5 м. Как далеко ему удастся уйти от двери заведения за 1 ч?

Решение. Согласно результатам предыдущей задачи

< r2 > ~ λ2 n.

По условию задачи λ ~ 0,5 м, а п = 3600, поэтому r ~ 0,5 3600 ~ 30 м.

Путь, пройденный этим гулякой, составляет

S = λn = 0,5 3600 = 1800 м.

104

8. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Родственен диффузии процесс теплопроводности. Если в разных местах тела температура различна, то возникает тепловой поток из мест более нагретых в места менее нагретые, продолжающийся до тех пор, пока температура во всем теле не выровняется. И здесь механизм процесса связан с беспорядочным тепловым движением молекул: молекулы из более нагретых мест тела, сталкиваясь при своем движении с молекулами соседних, менее нагретых участков, передают им часть своей энергии.

Как и при рассмотрении диффузии подразумевается, что теплопроводность происходит в покоящейся среде. В частности, предполагается, что в среде отсутствуют какие-либо перепады давления, которые приводили бы к возникновению движения в ней.

Предположим вновь, что температура Т среды меняется только вдоль оси х. Тепловой поток q определим как количество теплоты, проходящее в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х. Вполне аналогично диффузии связь теплово-

го потока с градиентом температуры dTdx выражается соотноше-

нием (закон Фурье):

q = −κ dTdx .

И здесь знак минус стоит по той причине, что направление теплового потока противоположно направлению возрастания температуры: теплота распространяется в сторону уменьшения температу-

ры. Коэффициент κ называется коэффициентом теплопроводности.

Если измерять количество теплоты в джоулях, то тепловой поток будет измеряться в Дж/м2 с. Поэтому размерность коэффициента теплопроводности

Коэффициент теплопроводности определяет скорость передачи теплоты от более нагретых к менее нагретым участкам. Но измене-

105

ние температуры тела равно количеству получаемой им теплоты, деленному на теплоемкость. Поэтому скорость выравнивания температур в различных местах тела определяется коэффициентом теплопроводности, деленным на теплоемкость единицы объема тела, т. е. величиной

χ = ρκсp ,

где ρ – плотность, а ср – теплоемкость единицы массы тела (при постоянном давлении, поскольку теплопроводность рассматривается именно в таких условиях).

Эту величину называют температуропроводностью. Легко видеть, что она имеет размерность [χ] = м2 с–1, совпадающую с размерностью коэффициента диффузии. Это естественно: если разделить обе стороны соотношения

q = −κ dTdx

на ρср, то отношение q/ρcр в левой стороне равенства можно рассматривать как «поток температуры», т.е. той самой величины, градиент которой стоит в правой стороне. Таким образом, коэффициент χ есть как бы коэффициент диффузии для температуры.

Как и в случае диффузии, наличие поля тяжести может привести к возникновению конвекционного перемешивания неравномерно нагретой жидкости (или газа). Это происходит при нагревании жидкости снизу (или при охлаждении сверху): более нагретые и потому менее плотные нижние слои жидкости поднимаются наверх, а на их место спускаются струи менее нагретой жидкости (см. по этому поводу задачу 3.13). Выравнивание температуры путем конвекции происходит, конечно, гораздо быстрее, чем путем теплопроводности.

Приведём для справки коэффициенты теплопроводности некоторых жидкостей и твердых тел (при комнатной температуре). Эти значения даны в единицах Дж/(см2 с град) (другими словами, тепловой поток определяется как энергия в джоулях, переносимая в 1 с через 1 см2). Некоторые коэффициенты теплопроводности даны в табл. 8.1.

106

Как видно из таблицы, очень большая теплопроводность у металлов. Причина этого заключается в том, что в металлах, в отличие от других тел, тепло переносится тепловым движением не атомов, а свободных электронов. Большая эффективность электронной теплопроводности связана с большими скоростями электронов, порядка 108 см/с, т.е. гораздо большими, чем обычные тепловые скорости атомов и молекул (104–105 см/с).

Задача 8.3. Слой вещества толщины d, ограничен двумя параллельными плоскостями, площадь каждой из которых равна S. Температуры этих граничных плоскостей равны Т1 и Т2 (Т1 > Т2). Коэффициент теплопроводности вещества равен κ. Найдите тепловой поток от плоскости Т1 к плоскости Т2.

Решение. Ось х системы координат направлена перпендикулярно слою, начало координат – на плоскости с температурой Т1. Полный тепловой поток Q, проходящий за 1 с через все сечение слоя (параллельное граничным плоскостям), равен произведению qS потока q через единицу площади на полную площадь S сечения. Со-

гласно закону Фурье

Q = −κS dTdx .

Очевидно, что поток Q не зависит от х. Действительно, теплота по дороге через слой нигде не расходуется и не появляется извне; поэтому полное количество теплоты, проходящее за 1 с через любую поверхность, пересекающую весь слой, должно быть одинаково. Поэтому из написанного уравнения следует, что

T = − κQS x +const,

107

т.е. температура меняется вдоль толщины слоя по линейному закону. При х = 0 должно быть Т = Т1; отсюда находим, что const = Т1 , т.е.

T = T1 − κQ x. S

На другой граничной плоскости (x = d) должно быть Т = Т2, т. е.

T2 = T1 − κQS d.

Отсюда

Согласно (8.1) разность температур на границах слоя растёт с ростом теплового потока Q. Точно так же разность температур возрастает при уменьшении коэффициента теплопроводности κ. Уменьшение коэффициента теплопроводности среды может привести к недопустимо высокой температуре горячей стенки при большом тепловом потоке Q. Такая ситуация может возникнуть при охлаждении внешней стенки водой. Если вода, охлаждающая стенку, закипит, то её коэффициент теплопроводности резко снизится, поскольку плотность пара и, соответственно, его теплопроводность значительно ниже, чем у воды. Это приведёт к ещё большему нагреву стенки и к ее возможному разрушению.

Соотношение (8.2) объясняет причину, по которой у животных в холодную погоду шерсть встаёт дыбом (это хорошо заметно у кошек). Таким способом животное увеличивает толщину d слоя воздуха, защищающего его от холода. Точно так же и мы вынуждены надевать меховую или пуховую одежду, слой воздуха в которой имеет достаточную толщину, чтобы мы не мёрзли на морозе.

Задача 8.4. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для слоя вещества, ограниченного двумя концентрическими сферами (с радиусами R1 и R2), поддерживаемыми при температурах Т1 и Т2.

Решение. На рис. 8.1 изображен экваториальный разрез слоя. Температура T в каждой точке внутри слоя зависит, очевидно, только от расстояния r до центра сфер. Поскольку единственной координа-

108

Полный же тепловой поток через сфери-

ческую поверхность с радиусом r, концен- Рис. 8.1 трическую с обеими сферами и лежащую

между ними, равен

Q = 4πr2q = −4πκr2 dTdr ,

откуда

dTdr = − 4πκQr2 .

По тем же причинам, что и в предыдущем случае, полный тепловой поток через любую замкнутую поверхность, охватывающую внутренний шар, должен быть одинаковым, поэтому Q не зависит от r. Из написанного уравнения теперь находим

T = 4πκQ r +const.

Постоянное слагаемое определяется условием Т = Т1 при r = R1, так что

Наконец, из условия Т = Т2 при r = R2 получим следующее соотношение между полным потоком теплоты и разностью температур на границах слоя:

Q = 4πκ 1 − 1 .

R1 R2

В частности, если R2 = ∞, т. е. если вокруг шаровой поверхно-

сти радиуса R1 мы имеем неограниченную среду (Т2 есть в этом случае температура на бесконечности), выражение для теплового потока приобретает вид

Q = 4πκR1 (T1 −T2 ).

109

Задача 8.5. Урановый шар радиуса R = 10 см, помещённый в сосуд с водой, облучается потоком нейтронов. В результате реакций деления ядер урана в шаре выделяется энергия q = 100 Вт/см3. Температура воды Т0 = 100 °С, теплопроводность урана κ = 400 Вт/м К. Найдите распределение температуры в шаре, а также температуру в его центре, считая, что температура от времени не зави-

откуда находим

dTdr = −3qκ r, T (r) = const− 6qκ r2.

Константу найдём из условия на поверхности шара: T(R) = T0, откуда

Тем самым, температура

T (r) =T0 + 6qκ(R2 −r2 ),

температура в центре шара

T (0) =T0 + 6qκ R2 .

Подставляя сюда данные задачи, найдём

110