Лиситсын Молекулярная физика в задачакх 2014

таты которых можно изобразить графически. Так, можно получить семейство кривых, изображающих зависимость давления от объема тела при различных заданных значениях температуры; такие кривые называются изотермами. Аналогичным образом можно построить семейство изобар – кривых, изображающих зависимость V от Т при заданных значениях р, и семейство изохор – кривых зависимости р от Т при заданных значениях V.

Уточним здесь понятие теплового равновесия. Вообще состоянием теплового равновесия системы тел называют такое её состояние, при котором в системе не происходит никаких самопроизвольных тепловых процессов и все части системы покоятся друг относительно друга, не совершая никакого, как говорят, макроскопического движения (в отличие от микроскопического теплового движения частиц внутри тел). Таким образом, в состоянии равновесия должны быть одинаковыми не только температуры всех соприкасающихся тел, но и их давления,– в противном случае на тела действовали бы отличные от нуля полные силы, и они пришли бы в движение1.

______

1В дальнейшем мы несколько расширим понятие теплового равновесия, включив в него равновесие различных фаз вещества (твёрдого тела и жидкости, жидкости и пара).

21

2. СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

Модель идеального газа. Основной особенностью газов является их малая плотность, благодаря чему среднее расстояние между молекулами оказывается во много раз больше размеров молекул. Поскольку радиус межмолекулярного взаимодействия также имеет порядок размера молекул, то, вследствие этого, взаимодействие между молекулами оказывается очень слабым, и при рассмотрении многих свойств газов им можно вообще пренебречь. Модель газа, в которой пренебрегают взаимодействием между молекулами, носит название идеального газа.

Уравнение состояния идеального газа. Идеальный газ подчи-

няется, как известно, уравнению состояния

рV = NkT, (2.1)

где р, V, T – давление, объем, температура газа, N – число молекул газа в объеме V, k = 1,38 10–23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Умножив и поделив правую часть этого уравнения на массу молекулы, приведём его к другой форме:

где μ – масса моля этого газа, М – масса газа, заключенного в объеме V, R = k NA= 8,314 Дж/(моль К) – универсальная газовая постоянная.

Уравнение (2.2) носит название уравнения Клапейрона– Менделеева.

Для постоянной массы газа, как видно из (2.1) или (2.2), если: T = const, то рV = const – закон Бойля–Мариотта,

р = const, то V/T = const – закон Гей-Люссака,

V = const, то р/T = const – закон Шарля.

Семейства графиков этих законов изображены на рис. 2.1.

Для смеси газов справедлив закон Дальтона, гласящий, что давление смеси газов равно сумме парциальных давлений компонентов смеси. Иными словами, каждая компонента смеси оказывает на стенки сосуда такое давление, как если бы в сосуде находилась только одна эта компонента.

22

Задача 2.1. Сколько молекул воздуха содержится в 1 см3 при

Сравним эту величину с аналогичным числом молекул для твёрдых или жидких тел (см. задачу 1.3). Как мы видели, в конденсированных телах (т.е. в жидких или твёрдых телах) эта величина имеет порядок 3 1022 см –3, т.е. в 1000 больше, чем в газе. Но это означает, что средние расстояния между молекулами в газах при обычных

условиях приблизительно в 3 1000 = 10 раз больше чем в конденсированных телах.

В п. 1, обсуждая характер сил, действующих между молекулами, мы видели, что эти силы очень быстро убывают с увеличением расстояний между молекулами – как 1/r7. Таким образом, силы межмолекулярного взаимодействия в газах в миллионы раз слабее, нежели в конденсированных телах. Как видим, модель идеального газа при не слишком высоких плотностях и не слишком низких температурах должна работать очень хорошо.

Задача 2.2. Полагая, что воздух состоит на 80 % из азота и на 20 % из кислорода, Найдите парциальные давления азота и кислорода.

Решение. Выделим мысленно произвольный объём воздуха V. Пусть в этом объёме число молекул воздуха равно N. Обозначим число молекул азота и кислорода в этом объёме через N1 и N2. Тогда N= N1+ N2. Кроме того, для давления воздуха

23

p = NkT = (N1 + N2 )kT = N1kT + N2kT = NN1 NkT + NN2 NkT =

= NN1 p + NN2 p = p1 + p2 .

Как видим, парциальные давления азота р1 и кислорода р2 пропорциональны концентрации этих газов:

и ответ не зависит от температуры. Парциальные давления компонент смеси определяются только лишь концентрациями этих компонент.

Задача 2.3. В двух частях сосуда, объёмы которых V1 и V2, находятся различные идеальные газы при одинаковой температуре Т. Число молекул в первой части сосуда – N1, во второй – N2. Каким будет давление в сосуде, если убрать перегородку, разделяющую сосуд?

Решение. Поскольку температура обоих газов одинакова, то никакого обмена энергией между молекулами этих газов происходить не будет. Следовательно, температура останется неизменной. Давление, согласно закону Дальтона найдём как сумму парциальных давлений газов, имея в виду, что каждый из газов заполняет теперь весь объём сосуда:

Задача 2.4. Давление воздуха внутри бутылки 105 Па при температуре +7 оС. На сколько надо нагреть бутылку, чтобы пробка вылетела? Без нагревания пробку можно вынуть, прикладывая к ней силу 10 Н. Площадь поперечного сечения пробки S = 2 см2.

Решение. Очевидно, давление внутри бутылки нужно увеличить на столько, чтобы сила избыточного давления F на пробку стала равной 10 Н:

F = р S.

Давление воздуха при постоянном объёме растёт пропорционально температуре

24

При записи ответа мы использовали тот факт, что изменение температуры по абсолютной шкале температур и шкале Цельсия одинаково.

Задача 2.5. За сколько ходов поршня насоса с рабочим объёмом V можно повысить давление с р0 до р1 в сосуде с объёмом V0? Нагревом газа пренебречь.

Решение. Согласно условию процесс накачки изотермический. Этот процесс можно представить как изотермическое сжатие газа от объёма V0 + nV и давления р0 до объёма V0 давления р1:

р0(V0 + nV) = р1V0.

Откуда найдём n:

n = p1 − p0 V0 . p0 V

Задача 2.6. За сколько ходов поршня N насоса с рабочим объёмом V можно откачать сосуд объёмом V0 снизив в нём давление с р0 до р1? Процесс откачки происходит при постоянной температуре.

Решение. Пусть на п-м ходе поршня давление снизилось с рп до рп+1. Процесс откачки изотермический, поэтому

рпV0 = рп+1(V0 + V).

Записав эти уравнения для всех ходов поршня с первого по N-й,

и перемножив их, получим

р0V0N = р1(V0 + V)N.

Задача 2.7. Каким станет давление в закрытом сосуде с водой, если силы взаимодействия между молекулами внезапно исчезнут?

25

Решение. Отсутствие взаимодействия между молекулами вещества означает, что это вещество является идеальным газом. Поэтому:

Здесь ρ = 103 кг/м – плотность воды, температуру приняли рав-

ной 300 К (27 оС).

Задача 2.8. Газовый термометр состоит из двух одинаковых сосудов с газом объема V0 каждый, соединенных трубкой длины L и сечения S. Трубку перекрывает капля ртути. Если температуры газов в объемах одинаковы, ртуть находится посередине трубки. Правый объем помещают в термостат с температурой Т0, Проградуируйте термометр, найдя зависимость температуры газа в левом объеме от смещения х ртути из положения равновесия.

Рис. 2.2

Решение. Поскольку трубка горизонтальна, то давления по обе стороны от капли ртути будут одинаковы. Кроме того, массы газов по обе стороны от капли остаются неизменными.

Запишем уравнение состояния газа в каждой из частей сосуда:

р(V0 + Sl/2 + Sx) = NkT,

р(V0 + Sl/2 – Sx) = NkT0.

Поделив первое уравнение на второе, найдём:

T =T0 2V0 + S(l + 2x) . 2V0 + S(l −2x)

Если V0 >> Sl, то полученная формула упрощается:

И для относительного изменения температуры Т = Т – Т0:

T = 2S x. T0 V0

Задача 2.9. На два длинных цилиндрических мешка радиусом r и длины L >> r, сделанных из нерастяжимого материала и заполненных газом, положили тяжёлую плиту массы М, в результате чего они расплющились до толщины h << r. Внешнее давление р0. Каким было начальное давление в мешках, если температура в них не изменялась?

Решение. Поскольку мешки нерастяжимы, то площадь поверхности мешков, а вместе с ней и поперечный периметр мешков не изменились (рис. 2.3): 2πr = 2(h+l), где l – ширина мешка.

М

h

l

Рис. 2.3

Поскольку h << r, то l = πr. Тем самым, первоначальный объём

мешка V1 = πr2L, а объём сплющенного мешка V2 = l h L = πr h L. На каждый из мешков приходится половина веса плиты, кото-

рый уравновешивается силой избыточного давления газа в мешке:

Mg2 = ( p − p0 ) l L .

Отсюда найдём p = p0 + Mg2lL = p0 + 2MgπrL .

Поскольку процесс сжатия газа был изотермическим, то р1V1 = =р2V2 или р1πr2L = рlhL, где р1 – начальное давление в мешке. Отсюда найдём начальное давление:

27

3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ

Работа, совершаемая телом. При расширении тело перемещает окружающие его тела, т.е. производит над ними работу. Эта работа dA при бесконечно малом изменении объёма тела dV равна dA = р dV, где р – давление тела. При расширении тела dV > 0, и тело производит работу над окружающими телами. При сжатии тела dV < 0, и работа производится над телом со стороны окружающих тел; этому случаю соответствует отрицательная работа самого тела. Произведенная при том или ином процессе работа изображается графически с помощью кривой в координатах р,V (рис. 3.1).

1равна рdV, т. е. площади заштрихованного бесконечно узкого прямоугольника. Поэтому полная работа, совершаемая га-

рнейной трапеции 12V2V1 на рис. 3.1

изображаемую площадью под кривой 1а2; на участке же 2b1 газ сжимается, так что совершаемая работа отрицательна, а по величине равна площади под кривой 2b1. Следовательно, суммарная произведенная газом работа равна разности этих двух площадей, т.е. изображается на рис. 3.2 заштрихованной площадью, заключенной внутри замкнутой кривой.

28

торого объема V1 до объема V2, выражается особенно просто: A =

= р(V1 – V2).

Пример 3.3. Найдём работу, совершаемую при изотермическом расширении идеального газа. Для одного моля газа давление р = RT/V, поэтому

dA = рdV = RT dV/V= RT d(ln V),

а так как Т = const, то можно написать dA = d(RTlnV). Отсюда следует, что работа А равна разности значений величины RTlnV в конце и в начале процесса, т.е.

А = RT ln(V2/V1).

Поскольку в изотермическом процессе рV = const, то V2/V1 = = р1/р2 и работу также можно представить как

А = RT ln(р1/ р2).

Внутренняя энергия тела. В механике для движения сложной системы было введено понятие скорости ее движения как целого, понимая под ней скорость, с которой движется центр инерции системы. Следовательно, движение системы складывается из двух движений: движения ее как целого и «внутреннего» движения составляющих систему частиц относительно центра инерции. В соответствии с этим энергия Е системы может быть представлена в виде суммы кинетической энергии системы как целого, равной

MVц2.и (М – масса системы, Vц.и – скорость ее центра инерции), и ее

2

внутренней энергии Eвн, включающей в себя кинетическую энергию внутреннего движения частиц и потенциальную энергию их взаимодействия. Это же в полной мере относится и к задачам термодинамики, если под частицами, из которых состоит тело, иметь в виду атомы тела. Однако основную роль в термодинамике играет

29

внутренняя энергия тела, включающая в себя кинетическую энергию теплового движения атомов вещества и потенциальную энергию их взаимодействия друг с другом.

Добавим, что вращение тела как целого по существу сводится к появлению внешнего силового поля – поля центробежных сил. Это поле, как и другие внешние силовые поля, дает вклад во внутреннюю энергию тела.

Количество теплоты. Если тело не получает извне никакой энергии, то работа при расширении производится за счет его внутренней энергии. Однако изменение внутренней энергии тела при произвольном процессе, вообще говоря, не совпадает с произведенной работой. Дело в том, что тело может получать (или отдавать) энергию также и путем ее непосредственного перехода от других тел без совершения при этом механической работы. Получаемую таким образом энергию называют количеством теплоты; мы будем считать эту величину положительной, если тело получает тепло, и отрицательной, если оно отдает тепло.

Первый закон (начало) термодинамики. Таким образом, бес-

конечно малое изменение внутренней энергии тела складывается из двух частей: она возрастает за счет полученного телом количества теплоты (которое мы обозначим dQ) и убывает за счет произведенной телом работы dА. Мы можем написать, следовательно,

dE = dQ – рdV.

Это важное соотношение выражает закон сохранения энергии при тепловых процессах (или, как его называют в этой связи, пер-

вый закон (начало) термодинамики).

Подчеркнём, что работа и количество теплоты зависят не только от начального и конечного состояний тела, но и от пути, по которому происходило изменение состояния тела. Поэтому нельзя говорить о «количестве теплоты, заключенном в теле» и рассматривать тепловой эффект процесса как разность этих количеств в конечном и начальном состояниях. Бессмысленность такого понятия в особенности наглядно проявляется при круговом процессе, когда тело возвращается в исходное состояние, между тем как общее количество поглощенной (или выделенной) теплоты отнюдь не равно нулю.

30