Лиситсын Молекулярная физика в задачакх 2014

13. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ

На молекулы вблизи поверхности жидкости действуют силы, направленные внутрь жидкости. Поскольку силы направлены всегда в сторону убыли потенциальной энергии, то это означает, что молекулы в поверхностном слое обладают избыточной потенциальной энергией по сравнению с молекулами внутри жидкости. Поэтому жидкость стремится принять (при отсутствии внешних сил) форму с минимальной площадью поверхности, так как в таком состоянии жидкость имеет наименьшую потенциальную энергию. Наоборот, чтобы увеличить площадь поверхности жидкости, необходимо совершить над жидкостью работу тем большую, чем больше увеличение площади поверхности жидкости dS. Рассмотрим работу dA, необходимую для изотермического увеличения площади поверхности жидкости на δS. Согласно сказанному, ее можно записать в виде

dA = σ dS.

Величина σ носит название коэффициента поверхностного на-

тяжения жидкости и численно равна работе, необходимой для изотермического увеличения площади поверхности жидкости на единицу. Она зависит от температуры жидкости, а также от свойств среды, с которой жидкость граничит. В справочниках приводятся значения σ для случая границы раздела жидкости и ее насыщенного пара. Практически то же самое значение σ имеет на границе жидкости и воздуха.

Данное здесь определение коэффициента поверхностного натяжения носит, так сказать, «энергетический» характер, так как связано с работой. Можно дать и иное «силовое» определение σ. А именно, разрежем мысленно поверхность жидкости вдоль некоторой линии и рассмотрим на этой линии участок длины L

(рис. 13.1). Так как жидкость стремится уменьшить свою поверхность, то, вследствие этого, перпендикулярно разрезу будут действовать силы со стороны жидкости. Если края разреза под действием этих сил разойдутся на расстояние dx, силы совершат работу

191

dA = F dx.

С другой стороны, площадь поверхности уменьшается при этом на величину L dx и на такую же величину уменьшится поверхностная энергия. Работа сил поверхностного натяжения будет тогда равна убыли поверхностной энергии:

dA = σL dx.

Сравнивая эти выражения для работы, видим, что

σ = FL ,

т. е. коэффициент поверхностного натяжения численно равен силе, действующей на единицу длины контура, ограничивающего какойлибо участок поверхности жидкости. Причем сила эта направлена касательно к поверхности, перпендикулярно контуру.

Ясно, что всегда σ ≥ 0, иначе жидкость неограниченно увеличивала бы свою поверхность, понижая за счет этого свою энергию. Нетрудно также понять, что σ = 0, если температура жидкости равна критической. В самом деле, в критическом состоянии свойства жидкости и ее насыщенного пара одинаковы, и это означает, что энергия молекул всюду одна и та же: и в жидкости и в ее паре, тем самым и σ = 0. Поэтому, как следует из сказанного, с ростом температуры σ должна убывать. В довольно широком интервале тем-

где а – некоторая положительная постоянная, зависящая от природы жидкости.

Если в жидкости растворить посторонние вещества, то в поверхностном слое преимущественно должны скапливаться атомы и молекулы тех веществ, которые понижают поверхностное натяжение, так как тем самым энергия поверхности жидкости уменьшается. Такие вещества называются поверхностно-активными (ПАВ) (например, к ПАВ относятся мыло, жирные кислоты и т.д.). Наоборот, молекулы тех веществ, наличие которых повышает поверхностное натяжение, стремятся уйти из поверхностного слоя.

Капиллярные силы. Уже неоднократно было сказано, что в состоянии равновесия давления соприкасающихся тел должны быть

192

одинаковыми. В действительности это утверждение справедливо лишь постольку, поскольку мы пренебрегаем капиллярными явлениями. При учете поверхностного натяжения давления в соприкасающихся средах, вообще говоря, оказываются различными.

Рассмотрим, например, жидкую каплю, находящуюся в воздухе. Стремление ее поверхности уменьшиться приводит к сжатию капли и, тем самым, к увеличению ее внутреннего давления. Давление жидкости в капле оказывается, таким образом, больше давления окружающего воздуха. Разность между ними называется поверхност-

ным давлением, обозначимегорпов.

Для вычисления этой величины заметим, что работа, которую совершают поверхностные силы при уменьшении площади поверхности капли на dS, дается соответствующей убылью поверхностной энергии: σdS. С другой стороны, эту же работу можно представить в видерповdV, где dV – изменение объема капли; поэтому

σdS = рповdV,

Для сферической капли радиуса r: S = 4πr2, V = 4πr3/3, и подстановка в написанное равенство приводит к следующему выражению для поверхностного давления:

pпов = 2rσ .

Эта формула относится, конечно, и к пузырьку газа в жидкости. Вообще, избыточное давление всегда присутствует в той из двух

соприкасающихся сред, в сторону которой поверхность раздела вогнута. При r → ∞ поверхностное давление обращается в нуль. Это соответствует тому, что при плоской границе раздела давления в соприкасающихся средах должны быть одинаковыми; очевидно, что стремление поверхности к сокращению в этом случае приводит к появлению направленной внутрь среды силы.

Выведем еще одну формулу для поверхностного давления в цилиндрической массе жидкости. В этом случае S = 2πrh, V = πr2h (r – радиус, h – длина цилиндра) и подстановка в уравнение

рповdV = σdS даёт

pпов = σr .

193

В самом общем случае разность давлений по разные стороны поверхности дается формулой Лапласа:

где R1 и R2 – радиусы кривизны во взаимно перпендикулярных сечениях. В частности, для сферической поверхности R1 = R2 = R, для цилиндрической R1 = R, R2 = ∞, и мы приходим к формулам для давления сферической и цилиндрической поверхностей.

Полученные простые формулы дают возможность решать ряд задач, связанных с явлениями капиллярности.

Задача 13.1. Оценить максимальный радиус капель воды, висящих на потолке бани. Коэффициент поверхностного натяжения воды σ равен 0,07 Н/м.

Задача 13.2. Рассмотрим две плоские параллельные пластинки (изображенные на рис. 13.3, а в разрезе), между которыми находится тонкий слой жидкости. По боковой поверхности жидкость соприкасается с воздухом. Если краевой угол острый, то мениск жидкости вогнут и давление внутри жидкости меньше давления воздуха; поэтому действующее на пластинки атмосферное давление будет стремиться сблизить пластинки, которые будут как бы притягиваться друг к другу (при тупом краевом угле и выпуклом мени-

194

ске, напротив, слой жидкости расталкивает пластинки). Найдите эту силу притяжения.

Решение. При достаточно узком пространстве между пластинками мениск жидкости можно рассматривать как часть цилиндрической поверхности некоторого радиуса r. Как видно из простого построения (рис. 13.3, б), этот радиус связан с расстоянием х между пластинками равенством x = 2rcosα. Поэтому «недостаток» давления в жидкости равен

Сила взаимного притяжения пластинок F получится умножением этой величины на площадь S соприкосновения жидкости с каждой из пластинок:

F = 2σS cosα. x

Мы видим, что эта сила обратно пропорциональна расстоянию между пластинками. При малых расстояниях она может достигать больших значений. Действительно, пусть пластинки разделены пленкой воды толщиной в 1 мкм, краевой угол α равен нулю. Тогда давление, прижимающее пластинки друг к другу:

p = 2xσ = 100,14−6 =1,4 105 Па =1,4 атм.

Задача 13.3. Пусть в жидкость опущена тонкая трубочка (капилляр) стенки которой смачиваются жидкостью (рис. 13.4). Найдите высоту, на которую поднимется жидкость в капилляре.

Решение. При вогнутом мениске (острый краевой угол) давление жидкости в трубочке ниже атмосферного давления на величину рпов. В сосуде же, куда опущена трубочка, давление жидкости равно атмосферному. Под действием разности давлений жидкость из со-

195

и высота поднятия жидкости

h = 2σcosα .

ρgа

(При выпуклом мениске эта же формула дает глубину опускания жидкости.)

В полученную формулу коэффициент поверхностного натяжения жидкости входит в комбинации σ/ρg с ее плотностью. Величи-

стоянной. Она играет существенную роль во всех явлениях, происходящих под совместным действием сил поверхностного натяжения и сил тяжести. Капиллярная постоянная воды (при 20 °С) равна

0,39 см.

Задача 13.4. Капля несжимаемой жидкости совершает пульсационные колебания, становясь последовательно вытянутой, сферической, сплюснутой, сферической, снова вытянутой и т. д. Как зависит период этих пульсаций t от плотности ρ, поверхностного натяжения σ и радиуса капли R?

196

Решение. Для решения воспользуемся соображениями размерностей. Имеем:

[Т] = с, [ρ] = кг/м3, [σ] = Н/м = кг/с2, [R] = м.

Из величин ρ, σ и R можно составить единственным способом величину размерности квадрата времени:

T 2 ~ ρσR3 .

Тем самым

Задача 13.5. Известно, что видимая яркость некоторых звезд (пульсаров) периодически колеблется. По одной из теорий изменение яркости связано с изменением формы звезд, колеблющихся подобно капле воды под действием силы поверхностного натяжения. Предполагается, что пульсары состоят из нейтронов. Оценить поверхностное натяжение нейтронного вещества, если положить, что масса звезды М = 2 1033 г, а период колебаний Т составляет около 1 с. Капля воды массой m = 1 г колеблется с периодом Т = = 0,05 с. Коэффициент поверхностного натяжения воды равен σ0 = = 0,07 Н/м.

Решение. Согласно ответу к предыдущей задаче

Тем самым отношение периодов колебаний нейтронной звезды и капли воды составит

откуда найдём поверхностное натяжение нейтронного вещества:

Задача 13.8. К поверхности жидкости приложили стеклянную пластинку, поверхность которой полностью смачивается жидкостью. Затем пластинку стали осторожно поднимать вверх, так что поверхность её оставалась горизонтальной. Жидкость, смачивающая поверхность пластинки, поднимается вслед за нею. На какую максимальную высоту можно поднять пластинку, так чтобы столбик жидкости не отрывался от неё?

Решение. Пусть пластинка поднята на высоту h. Рассмотрим участок боковой поверхности жидкости единичной ширины (ширина отсчитывается в направлении перпендикулярном плоскости чертежа). Этот участок находится в равновесии, поэтому сумма сил, приложенных к этому участку, равна нулю. В частности, сумма проекций сил на горизонтальное направление также равна нулю. Это – силы поверхностного натяжения σ, приложенные к верхнему и нижнему краю участка, а также сила избыточного атмосферного давления (рис. 13.6).

σ α

Рис. 13.6

Действительно, в столбике жидкости на высоте х относительно уровня жидкости в сосуде давление меньше атмосферного на величину гидростатического давления ρgx. Поэтому со стороны атмосферы на полоску единичной ширины и высотой dx действует сила избыточного давления ρgx dx. Сумма таких сил равна

Тем самым сумма проекций сил на горизонтальное направление

σ(1−sin α) − 12 ρgh2 = 0 ,

199

откуда найдём

sin α =1− ρ2σg h2 .

Как видим, с ростом h угол α убывает, достигает нуля и далее становится отрицательным. Поскольку sin α ≥ –1, то предельному значению высоты соответствует случай sin α = –1, откуда находим

hмакс = ρ4σg .

Для воды (σ ≈ 0,07 Н/м2) эта высота составляет около 5,4 мм. Подумайте сами, как будет вести себя вода, поднятая пластин-

кой при h = hмакс, для чего постройте соответствующий чертёж для случая, когда sin α = –1.

Задача 13.8. Найдите высоту, на которую поднимается край жидкости полностью смачивающей стенку сосуда, в который налита эта жидкость (рис. 13.7).

кальной стенкой угол α не может быть меньше нуля. Тогда для α = 0 находим высоту:

Упругость пара над искривленной поверхностью. Влияние капиллярных сил вносит определенную поправку в свойства равновесия между жидкостью и ее насыщенным паром. Мы говорили, что упругость насыщенного пара является определенной функцией температуры. В действительности она зависит и от формы поверхности жидкости, над которой находится пар. Эта зависимость, правда, очень ничтожна и лишь при малых размерах тела (напри-

200