Любомудров Выполнение арифметическикх оператсиы в позитсионныкх системакх 2014

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

А.А. Любомудров

ВЫПОЛНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

ВПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

СОСНОВАНИЕМ p

Рекомендовано к изданию УМО «Ядерные физика и технологии»

Москва 2014

УДК 511.11(07) ББК 22.130я7 Л 93

Любомудров А.А. Выполнение арифметических операций в позиционных системахсчисления с основанием p: Учебно-методическое пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2014. 24 с.

Cоставлено в соответствии с программой изучения дисциплины «Дискретная математика» и предназначено для подготовки студентов к практическому занятию по теме «Выполнение арифметических операций в системах счисления с основанием p». В пособии приводятся теоретические основы, примеры, а также предлагаются тесты для проверки знаний студентов по этой теме.

Предназначено для студентов направления «Информатика и вычислительная техника», а также может быть полезно для аспирантов и преподавателей данного направления.

Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.

Рецензент нач. НИУ-4 ОАО «Концерн «Системпром», канд. техн. наук С.В. Коротков.

ISBN 978-5-7262-2028-4

©Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2014

Содержание

1.Выполнениеоперацийсложения в позиционных системах счисления соснованием p ……………………………………4

2.Выполнениеоперацийвычитания впозиционных системах счисления соснованием p ……………………………………6

3.Выполнениеоперацийумножения впозиционных системах счисления соснованием p ……………………………………8

4.Выполнениеоперацийделения в позиционных системах счисления соснованиемp ………………………………….....11

5.Тесты ……………………………………………………….....14 Список литературы …………………………………………….. 22

3

1. Выполнение операций сложения впозиционных системах счисления соснованием p

Пусть имеется два числа Ар = а1а2 … аn и Bp = b1b2 … bn, заданных в позиционной системе счисления с основанием p, где ai и bi —

цифрыэтих чисел, i = 1, 2, … n, р = 2, 3, 4… .

Тогда результатом суммирования (суммой) чисел Ap и Bp будет

являться число Cp = c0c1 … cn, где цифры ci, i = 0, 1, …, n числа Cp формируются по следующему правилу.

Правило формированияцифры ci числа Cp = c0c1 … cn: 1) ci = ai + bi + Пi+1, ci-1 = ai-1 + bi-1,

если ai + bi + Пi+1< p;

2) ci = ai + bi + Пi+1 - p, ci-1 = ai-1 + bi-1 + 1,

еслиai + bi + Пi+1 ≥ p,

где Пi+1 – переносизразряда ci+1 вразряд ci.

Из записи правила суммирования следует, что суммирование чисел Ap и Bp в позиционной системе счисления с произвольной величиной основания p выполняется аналогично суммированию чисел в десятичной системе счисления. Суммирование начинается с младших разрядов. Процесссуммирования распространяется справаналево.

В качестве примеров рассмотрим суммирования чисел в позиционных системах счисления соснованиямиp = 2, 3, 5, 7, 16.

Пример 1.1. Пусть заданы числа A2 = 101001,102 и B2 = =110010,112 в позиционной системе счисления с основанием p = 2. Требуетсянайти сумму этих чисел.

Суммируя числа в соответствии с вышеизложенным правилом, получаем:

A2 = 101001,102

+

B2 = 110010,112

____________

C2 = 1011100,012

Ответ: С2 = 1011100,012.

4

Пример 1.2. Пусть заданы числа A3 = 1211,213 и B3 = 2012,113 в позиционной системе счисления с основанием p = 3. Требуется найти суммуэтих чисел.

Суммируя числа в соответствии с вышеизложенным правилом, получаем:

A3 = 1211,213

+

B3 = 2012,113

____________

C3 = 11001,023

Ответ: С3 = 11001,023.

Пример 1.3. Пусть заданы числа A5 = 1343,235 и B3 = 2421,345 в позиционной системе счисления с основанием p = 5. Требуется найти суммуэтих чисел.

Суммируячисла, получаем:

A5 = 1343,235

+

B5 = 2421,345

____________

C5 = 4320,125

Ответ: C5 = 4320,125.

Пример 1.4. Пусть нам заданы числа A7 = 5326,147 и B7 = =1463,237 в позиционной системе счисления с основанием p = 7. Требуетсянайтисуммуэтих чисел.

Суммируячисла, получаем:

A7 = 5326,147

+

B7 = 1463,237

____________

C7 = 10122,407

Ответ: C7 = 10122,407.

5

Пример 1.5. Пусть заданы числа A16 = 1ABC,E2 и B16 = 24F6,D1 в позиционнойсистеме счисления с основанием p = 16. Требуетсянайти

суммуэтих чисел.

Суммируячисла, получаем:

A16 = 1ABC,E216

+

B16 = 24F6,D116

____________

C16 = 3FB3,B316

Ответ: C16 = 3FB3,B316.

2. Выполнение операций вычитанияв позиционных системах счисления с основаниемp

Пусть имеются два числа Ар = а1а2 … аn и Bp = b1b2 … bn, заданных в позиционной системе счисления с основанием p, где ai и bi —

цифрыэтих чисел, i = 1, 2, … n.

Тогда результатом вычитания (разностью) чисел Ap и Bp будет

являться число Rp = r0r1 … rn, где цифры ri, i = 0, 1, …, n числа Rp формируются по следующему правилу.

Правило формирования цифры ri числа Rp = r0r1 … rn: 1) ri = ai – bi – zi, ri-1 = ai-1 – bi-1,

если ai – bi – zi ≥0;

2) ri = p + ai – bi – zi, ri-1 = ai-1 – bi-1 – 1, если ai – bi – zi < 0,

где zi — заем из разряда ai в разряд ai+1.

Согласно вышеизложенному правилу вычитание чисел Ap и Bp в позиционных системах счисления с произвольной величиной основания p выполняется аналогично вычитанию чисел в десятичной системе счисления. Вычитание начинается с младших разрядов. Процесс вычитания распространяется справа налево.

В качестве примеров рассмотрим вычитания чисел в позиционных системах счисления с основаниями p = 2, 3, 5, 7, 16.

6

Пример 2.1. Пусть заданы числа А2 = 1100101,012 и В2 = =111001,102 в позиционной системе счисления с основанием p = 2. ТребуетсянайтиразностьR2 этих чисел.

Выполняя вычитание в соответствии с вышеизложенным правилом, получаем:

А2 = 1100101,012

-

В2 = 111001,102 R2 = 101011,112

Ответ: R2 = 101011,112.

Пример 2.2. Пусть заданы числа А3=10220,223 и В3=2012,013 в позиционной системе счисления с основанием p = 3. Требуется найти разность R3 этих чисел.

Выполняя вычитание в соответствии с вышеизложенным правилом, получаем:

А3 = 10220,223

-

В3 = 2012,013 R3 = 1201,213

Ответ: R3 = 1201,213.

Пример 2.3. Пусть заданы числа А5 = 4320,125 и В5 =2421,345 в позиционной системе счисления с основанием p = 5. Требуется найти разность R5 этих чисел.

Выполняя вычитание, получаем:

А5 = 4320,125

-

В5 = 2421,345 R5 = 1343,235

Ответ: R5 = 1343,235.

Пример 2.4. Пусть заданы числа А7 = 10122,407 и В7 = 1463,237 в позиционной системе счисления с основанием p = 7. Требуется найти разность R7 этих чисел.

7

Выполняя вычитание, получаем:

А7 = 10122,407

-

В7 = 1463,237 R7 = 5326,147

Ответ: R7 = 5326,147.

Пример 2.5. Пусть заданы числа А16 = 3FC3,B316 и В16 = =24F6,D116 в позиционной системе счисления с основанием p = 16.

Требуется найти разность R16 этих чисел. Выполняя вычитание, получаем:

А16 = 3FC3, B316

-

В16 = 24F6, D116

R16 = 1ACC, E216

Ответ: R16= 1ACC,E216.

3. Выполнение операцийумноженияв позиционных системах счисления соснованиемp

Пусть имеются два целых положительных n-разрядных числа

Аp = a1a2 … an и Bp = b1b2 … bn, заданных в системе счисления с основанием p, где ai и bi – цифры этих чисел.

Требуется вычислить результат умножения (произведение) этих чисел.

Записывая число Bp в виде развёрнутой записи, получаем

Запись (3.1) является записью алгоритма умножения двух чисел в позиционной системе счисления с основанием p с младших разрядов множителя. При p=10, т.е. в десятичной системе счисления, этот алгоритм наиболее широко применяется на практике при ручных расчётах.

8

При использовании алгоритма (3.1), умножение двух n- разрядных чисел в системе счисления с основанием p сводится к суммированию n слагаемых вида Ap·bi·pn-I, где i = n, n-1, … 2, 1. Таким образом, умножение двух n-рядных чисел в системе счисления с основанием p сводится к суммированию n слагаемых вида Ap·bi, каждое из которых сдвинуто влево относительно слагаемого Ap·bn·p0 на n-i разрядов.

В качестве примеров рассмотрим умножения чисел в системах счисления с основаниями p = 2, 3, 5, 7, 16.

Пример 3.1. Пусть нам заданы числа А2 = 1101,112 и В2 = 1012. Требуетсянайти произведениеэтих чисел.

Выполняяоперациюумножения, получаем:

1101,112

×

1012

110111

+

110111

1000100,112

Ответ: А2×В2= 1000100,112.

Пример 3.2. Пусть заданы числа А3 = 122,123 и В3 = 123. Требуется найтипроизведение этихчисел.

Выполняяоперациюумножения, получаем: 122,123

×

123

102201

+

12212

10020,213

Ответ: А3×В3= 10020,213.

9

Пример 3.3. Пусть заданы числа А5 =234,115 и В5 = 235. Требуется найтипроизведение этихчисел.

Выполняяоперациюумножения, получаем: 234,115

×

235

131233

+

102322

12100,035

Ответ: А5×В5= 12100,035.

Пример 3.4. Пусть заданы числа А7 = 634,127 и В7 = 347. Требуется найти произведениеэтих чисел.

Выполняяоперациюумножения, получаем: 634,127

×

347

350251

+

253536

32156,417

Ответ: А7×В7= 32156,417.

Пример 3.5. Пусть заданы числа А16 = A0F,1216 и В16 =FA16. Требуетсянайтипроизведение этих чисел.

Выполняяоперациюумножения, получаем:

A0F,1216

×

FA16

6496B4

+

96E20E

9D2B7,9416

Ответ: А16×В16= 9D2B7,9416.

10