Маслов Введение в физику ноноструктур 2011

4

1. Классификация наноструктур по их мерности

В литературе можно встретить различные определения термина “наноструктура”. Наиболее правильным нам представляется называть наноструктурами физические системы с характерными размерами L ~ 1 нм (порядка одного нанометра). Один нанометр равен одной миллиардной доли метра (1 нм = 10-9 м). Такое определение логически вытекает из самого слова “наноструктура”. В нем, однако, есть два нюанса. Во-первых, что понимать под сочетанием “порядка нанометра”? Во-вторых, о каких размерах здесь идет речь? Ведь мы живем в трехмерном пространстве, и у любой физической системы (за исключением точечных частиц, таких как электрон) есть три размера. Обычно, когда говорят о порядке какой-либо величины, то подразумевают диапазон ее изменения “на порядок меньше или на порядок больше”, то есть “плюс-минус порядок”. Поэтому запись “L ~ 1 нм” надо понимать как L = (0,1 ÷ 10) нм. Размер 0,1 нм (один ангстрем) – это характерный размер атома (точнее – характерный размер электронной оболочки атома), а размер 10 нм соответствует нескольким межатомным расстояниям в твердом теле. Поскольку структуры с размерами до 100 нм также принято относить к наноструктурам (хотя они все же ближе к микроструктурам), то, говоря “L ~ 1 нм”, мы будем считать, что

L = (0,1÷100) нм.

Теперь разберемся с тем, какие именно из трех размеров наноструктуры (Lx, Ly, Lz) имеют порядок нанометра, то есть находятся в диапазоне (0,1 ÷ 100) нм. Принята следующая классификация наноструктур. Если Lx, Ly, Lz ~ 1 нм, то такая наноструктура называется нульмерной, поскольку у нее нет ни одного макроскопического размера (английское обозначение 0D от “dimension” – мерность, размер). Если же Lx, Ly ~ 1 нм, но Lz >> Lx, Ly, то о такой наноструктуре говорят как об одномерной или квазиодномерной (1D), так как у нее либо есть только один макроскопический размер (при этом под макроскопическим понимается размер много больше 100 нм, то есть даже 1 мкм в этом смысле является макроскопическим размером), либо просто один из размеров намного больше двух других (например, Lx ~ 1 нм, Ly ~ 1 нм, Lz ~ 100 нм). Если у наноструктуры Lx ~ 1 нм, а Ly, Lz >> Lx, то ее называют двумерной или квазидву-

5

мерной (2D). Если у объекта нет ни одного нанометрового размера, то он не является наноструктурой. С учетом сказанного мы приходим к определению наноструктур как физических объектов, у которых хотя бы один характерный размер (Lx, Ly или Lz) находится в диапазоне (0,1 ÷ 100) нм.

Приведем примеры наноструктур различной мерности. Типичными представителями нульмерных (0D) структур являются кластеры – скопления из 10 ÷ 106 атомов. В зависимости от числа атомов в кластере их размеры варьируются от десятых долей нанометра до десятков нанометров. Иногда кластеры подразделяют на малые, средние и большие, но такое деление очень условно, и общепринятая градация отсутствует. Кластеры с размерами свыше нескольких нанометров часто называют наночастицами. На рис. 1.1 изображен фуллерен C60 – кластер из 60 атомов углерода, связанных между собой прочными ковалентными связями. Межатомные расстояния в нем составляют около 0,14 нм.

Рис. 1.1. Фуллерен C60

Другим примером 0D наноструктур являются так называемые квантовые точки (“quantum dots”). Они представляют собой наноразмерные области одного материала на поверхности (рис. 1.2) или внутри другого материала. Существуют и другие типы квантовых точек, которые будут подробно рассмотрены в данном курсе. Квантовые точки иногда называют “искусственными атомами”. В отли-

6

чие от обычных (“естественных”) атомов, потенциальная энергия электрона в квантовой точке может регулироваться путем изменения ее размеров, формы и химического состава. Движение электронов в квантовой точке ограничено во всех направлениях. Следуя данному выше определению, к нульмерным наноструктурам по формальному признаку можно было бы причислить также отдельные атомы и молекулы. Но так делать не принято.

Рис. 1.2. Квантовая точка из Ge на поверхности Si

Примером одномерных (1D) наноструктур являются углеродные нанотрубки (рис. 1.3) – свернутые в трубку слои из атомов углерода. Их диаметр обычно составляет (1 ÷ 10) нм, а длина достигает 1 мкм и более.

Рис. 1.3. Фрагмент углеродной нанотрубки

К 1D наноструктурам относятся также квантовые нити (“quantum wires”), см. рис. 1.4 – квазиодномерные области одного

7

материала на поверхности или внутри другого (ниже будут рассмотрены и другие типы квантовых нитей). Электроны в квантовой нити могут свободно двигаться в одном направлении, а в двух других направлениях их движение ограничено. Длинные органические молекулы или атомные кластеры в виде цепочки тоже можно считать 1D наноструктурами.

Рис. 1.4. Квантовые нити (In,Ga)As на поверхности GaAs

Двумерными (2D) наноструктурами формально являются тонкие (толщиной до 100 нм) пленки – слои одного материала на поверхности другого (подложки). Они исследуются уже довольно давно, и их обычно даже не называют наноструктурами. Если же такая пленка находится внутри другого материала, причем потенциальная энергия электрона в области пленки ниже, чем вне ее (так что электронам энергетически выгоднее находиться в пленке), то эту пленку называют квантовой ямой (“quantum well”). Обычно квантовые ямы изготавливают из полупроводниковых материалов с различной шириной запрещенной зоны, о чем речь пойдет ниже. Другим примером 2D наноструктур является так называемый двумерный электронный газ (2DEG, 2D electron gas), формирующийся вблизи границы раздела двух полупроводников. И, наконец, упомянем не так давно (в 2005 году) впервые синтезированный графен (graphene) – монослой из атомов углерода (рис. 1.5). Именно из него получаются углеродные нанотрубки. Электроны во всех 2D на-

8

ноструктурах могут свободно двигаться в двух направлениях (параллельно структуре), тогда как в одном направлении (перпендикулярно структуре) их движение ограничено.

Рис. 1.5. Фрагмент графена – монослоя из атомов углерода

Трехмерных наноструктур, как уже отмечалось, не существует, так как если все три размера являются макроскопическими, то нет ни одного размера порядка 1 нм. Возвращаясь к данному выше определению наноструктур, заметим, что существуют и другие определения. Так, например, иногда наноструктурами называют физические системы, в которых проявляются квантовые свойства вещества. Но это не совсем верно. В структурах с размерами порядка 1 нм квантовые эффекты, конечно, всегда присутствуют. Но, с другой стороны, известны и макроскопические системы, обладающие чисто квантовыми свойствами (сверхпроводники, сверхтекучий гелий). Они, однако, к наноструктурам не относятся.

9

2. Свободный одномерный электронный газ. Плотность состояний. Энергия Ферми. Химический потенциал. Полная энергия

Электронные свойства некоторых кристаллических твердых тел (например, щелочных металлов) могут быть качественно (а иногда и количественно) описаны в рамках простой модели свободного трехмерного электронного газа. При этом предполагается, что, вопервых, потенциальная энергия электронов равна нулю (то есть они являются свободными) и, во-вторых, электроны не взаимодействуют друг с другом (то есть образуют газ). Для описания электронных характеристик многих (хотя, конечно, далеко не всех) одномерных и двумерных наноструктур также можно использовать модель электронного газа, но уже не трехмерного, а, соответственно, одномерного или двумерного. С этой модели мы и начнем.

Будем считать, что одномерная наноструктура имеет длину L, а ее толщина равна нулю. Поскольку мы предполагаем, что электроны не взаимодействуют друг с другом, то достаточно найти решение одномерного уравнения Шредингера для одного электрона в области 0 < x < L (для остальных электронов возможные решения будут точно такими же). Кроме того, мы полагаем потенциальную энергию U(x) = 0, то есть, считаем электроны свободными. Решение уравнения Шредингера

− =2 ∂2Ψ(x) = εΨ(x) 2m ∂x2

имеет вид (с учетом нормировки квадрата модуля волновой функции на единицу):

Ψk (x)= L−12 exp(ikx); ε(k )= =2k 2 ,

2m

где k – проекция волнового вектора электрона k = keGx на ось x (ал-

гебраическая величина, которая может принимать значения от –∞ до +∞). Величина k в нашей задаче является квантовым числом: она определяет вид волновой функции и закона дисперсии. Под массой m здесь нужно понимать, вообще говоря, эффективную массу m*, которая имеет порядок массы электрона (около 10-27 г), но может

10