Маслов Введение в физику ноноструктур 2011

Таким образом, в “двумерии” плотность состояний свободных электронов при ε > Ec является не зависящей от энергии константой. На рис. 3.5 изображены кривые g(ε) для одномерного, двумер-

d-мерного свободного электронного газа.

Используя выражение для g(ε), можно найти зависимость концентрации n электронов в двумерном свободном электронном газе от волнового вектора Ферми (а значит, и от энергии Ферми). По-

21

εF

скольку Nel = 2 ∫ g(ε)dε, то, вычисляя интеграл, получим

−∞

n = Nel L2 = kF2 2π, в соответствии с приведенной выше формулой.

g(ε)

3D

2D

1D

Рис. 3.5. Сравнение плотности электронных состояний для одномерного (1D),

двумерного (2D) и трехмерного (3D) свободного электронного газа с законом дисперсии ε(kG) = =2kG2 / 2m

Полная энергия всей системы электронов при T = 0 (энергия ос-

увеличении мерности системы средняя энергия, приходящаяся на один электрон, увеличивается. Это связано с изменением вида зависимости плотности состояний g(ε) от энергии.

Температурная зависимость химического потенциала μ находится из условия на число электронов:

Nel = 2 ∞∫ f (ε,T )g(ε)dε, ,

−∞

где f(ε,T) – функция распределения Ферми–Дирака. Этот интеграл вычисляется точно. При kBT << εF получим:

22

μ(T ) ≈ εF 1− kεBFT exp − kεBFT .

Обращает на себя внимание тот факт, что зависимость химического потенциала μ от температуры гораздо более слабая, чем для свободного одномерного и трехмерного электронного газа.

Зависимость E(T) приведена на рис. 3.6. Как и в одномерном (и в трехмерном) свободном электронном газе, величина E увеличивается с ростом T квадратично по T, но с другим коэффициентом пропорциональности.

E

E0

εF

Рис. 3.6. Температурная зависимость полной энергии E двумерного свободного электронного газа при kBT << εF

23

4. Полупроводниковые квантовые ямы. Энергетическая диаграмма. Энергетический спектр электронов и дырок. Плотность состояний. Граничные условия на границе раздела двух полупроводников с разными эффективными массами

Полупроводниковой квантовой ямой называется двумерная наноструктура, представляющая собой тонкий (как правило, толщиной 1 – 10 нм) слой одного полупроводника (А) с шириной запрещенной зоны EgA, окруженный с обеих сторон толстыми слоями другого полупроводника (B) с шириной запрещенной зоны EgB > EgA, см. рис. 4.1. Поперечные размеры всех слоев и толщина слоев полупроводника B являются макроскопическими, поэтому формально их можно считать равными бесконечности.

Рис. 4.1. Схематическое изображение полупроводниковой квантовой ямы из полупроводников A и B

Если квантовая яма изготовлена из собственных полупроводников, то при T = 0 валентные зоны обоих полупроводников полностью заполнены, а их зоны проводимости пусты. Выберем систему координат так, чтобы ось x (ось роста) была перпендикулярна границе раздела слоев, а плоскость yz – параллельна им. Тогда энергетическую диаграмму квантовой ямы можно изобразить в виде, показанном на рис. 4.2. Видно, что “лишний” электрон, добавленный в квантовую яму (например, из электрических контактов) будет занимать энергетические уровни в зоне проводимости полупровод-

24

ника А. Но при этом слои полупроводника В играют для такого электрона роль энергетических барьеров, высоты которых равны разрыву зон проводимости EC = ECВ – ECА. Поэтому электрон будет локализован в квантовой яме (в области, занимаемой полупроводником А) вдоль оси x, но делокализован в плоскости xy (параллельной границе раздела слоев). Точно так же дырка (образованная путем удаления из квантовой ямы одного электрона) будет локализована вдоль оси x и делокализована в плоскости xy. Высоты энергетических барьеров для дырки равны разрыву валентных зон

EV = EVA – EVB .

Рис. 4.2. Энергетическая диаграмма квантовой ямы, изготовленной из собственных полупроводников A и B с ширинами запрещенных зон EgA и EgB, соответственно (EgB > EgA). ECA – дно зоны проводимости полупроводника А, ECВ – дно зоны проводимости полупроводника В, EVA – потолок валентной зоны полупроводника А, EVB – потолок валентной зоны полупроводника B. EC = ECВ – ECА – разрыв зон проводимости, EV = EVA – EVB – разрыв валентных зон

Если полупроводник А занимает область 0 ≤ x ≤ a, то в приближении эффективной массы (метод огибающих) потенциальная энергия “лишнего” электрона в структуре с квантовой ямой равна:

U (rG) = E (rG) = ECA при 0 ≤ x ≤ a;

C ECB при x < 0 и x > a,

а уравнение Шредингера имеет вид:

Принимая величину ECA за начало отсчета энергии и учитывая, что потенциальная энергия зависит только от x, получим:

0 при 0 ≤ x ≤ a;

U (x) =

EC при x < 0 и x > a.

Решение уравнения Шредингера ищем в виде: Ψ(r) = φ(x)χ(y)φ(z). Для функций ϕ, χ и φ получим:

χ( y) = C1 exp(iky y), φ(z) = C2 exp(ikz z),

где C1 и C2 – нормировочные константы. Для функции ϕ(x) потенциальная энергия имеет вид одномерной квантовой ямы глубиной EC (поэтому рассматриваемая наноструктура и называется квантовой ямой). В таком потенциале всегда имеется хотя бы одно связанное состояние с энергией ε1 < EC и локализованной в области

0 < x < a волновой функцией. Если яма глубокая (выполняется условие EC >> =2 / m * a2 ), то дискретных уровней в яме много. Обозначая энергии этих уровней εn, а соответствующие (нормиро-

где S – площадь наноструктуры, ρ = yeGy + zeGz и k|| = ky eGy + kz eGz –

координата и импульс электрона в параллельном границе раздела слоев направлении.

Таким образом, энергетический спектр электронов в квантовой яме представляет собой набор зон, дно каждой из которых соответствует дискретному уровню энергии εn для движения электрона в перпендикулярном границе раздела слоев направлении, а закон дисперсии в каждой зоне такой же, как у электрона в двумерном свободном электронном газе, см. рис. 4.3. Эти зоны называются зонами (или подзонами) размерного квантования. Термин размерное квантование используется здесь по той причине, что квантование энергии электрона в поперечном направлении обусловлено малыми размерами слоя полупроводника А в этом направлении.

Рис. 4.3. Энергетический спектр электронов в полупроводниковой квантовой яме B/A/B. За начало отсчета принята энергия дна зоны проводимости

в полупроводнике А

Аналогичный вид имеют волновые функции и закон дисперсии для дырок в валентной зоне, см. рис. 4.4. Отличие заключается в том, что эффективная масса электрона заменяется на эффективную массу дырки, а высота энергетического барьера, определяющего

27

вид дискретного спектра в поперечном направлении, равна не EC, а EV.

Рис. 4.4. Энергетический спектр дырок в полупроводниковой квантовой яме B/A/B. За начало отсчета принята энергия потолка валентной зоны

в полупроводнике А

Плотность электронных состояний g(ε) в квантовой яме представляет собой сумму вкладов от всех зон размерного квантования:

где n – номер зоны. Она изображена на рис. 4.5. Аналогичный вид имеет и плотность состояний для дырок. По мере увеличения концентрации носителей в квантовой яме сначала заполняется первая зона размерного квантования, затем – вторая (первая при этом тоже продолжает заполняться) и т. д.

Строго говоря, рассмотренное выше уравнение Шредингера для электрона в полупроводниковой структуре с квантовой ямой справедливо лишь в том случае, когда эффективная масса электрона m* не зависит от координаты. Но в разных полупроводниках величина

m* = 0,093m0 в Al0,3Ga0,7As, где m0 – масса свободного электрона. Если в гамильтониане

28

считать эффективную массу функцией координаты, то такой гамильтониан будет неэрмитовым, то есть не соответствующим физической величине (энергии), поскольку его собственные значения не являются действительными.

Рис. 4.5. Плотность электронных состояний в полупроводниковой квантовой яме B/A/B. Энергия отсчитывается от дна зоны проводимости полупроводника А

Можно показать, что гамильтониан, записанный в виде

является эрмитовым. При решении уравнения Шредингера следует учитывать, что граничные условия на границе раздела двух полупроводников для такого гамильтониана имеют вид (для случая, когда полупроводник А занимает область x < 0, а полупроводник В – область x > 0):

В частном случае одинаковых эффективных масс мы приходим к обычным граничным условиям (непрерывность волновой функции и ее первой производной по координате).

29

5. Способы изготовления полупроводниковых квантовых ям. Полупроводниковые гетероструктуры. Наноинженерия. Сверхрешетки. Практическое использование полупроводниковых гетероструктур. Резонансно-туннельный диод

Для изготовления полупроводниковых квантовых ям используется, как правило, молекулярно-лучевая (молекулярно-пучковая) эпитаксия. Этот метод заключается в осаждении испаренного в молекулярном источнике вещества на кристаллическую подложку. Основные требования к установке эпитаксии следующие:

•В рабочей камере установки необходимо поддерживать сверхвысокий вакуум (около 10-8 Па).

•Чистота испаряемых материалов должна достигать как мини-

мум 99,999%.

•Необходим молекулярный источник, способный испарять тугоплавкие вещества (такие как металлы) с возможностью регулировки плотности потока вещества.

Особенностью эпитаксии является медленная скорость роста пленки (обычно менее 1000 нм в час). Изменяя набор испаряемых веществ и длительность их испарения, можно поочередно выращивать эпитаксиальные слои с заданными химическим составом и толщиной. Таким путем удается получить не только квантовые ямы (для изготовления которых требуется два полупроводниковых материала с различной шириной запрещенной зоны), но и гораздо более сложные полупроводниковые гетероструктуры. Профиль потенциальной энергии электронов (в зоне проводимости) и дырок (в валентной зоне) определяется толщиной слоев и разрывами зон проводимости и валентных зон полупроводников, из которых эти слои состоят, см. рис. 5.1. Очень важно, что можно заранее рассчитать требуемый для того или иного конкретного приложения потенциальный рельеф и изготовить гетероструктуру с соответствующими геометрическими и энергетическими характеристиками. Это позволяет существенно снизить затраты и сократить время на изготовление полупроводниковых гетероструктур. Появился даже специальный термин – наноинженерия (nanoengineering).

30