Маслов Введение в физику ноноструктур 2011

довольно существенно (в 10 и более раз) отличаться от нее в ту или иную сторону.

Периодические граничные условия Ψk (x)= Ψk (x + L) приводят

к тому, что величина k может принимать не любые значения (как в бесконечном пространстве –∞ < x < +∞), а лишь дискретные: kn = 2πnL, где n = 0; ±1; ±2; … – целые числа. Соответственно, энергетический спектр свободного электрона имеет вид:

L → ∞, то есть в макроскопической системе энергетический спектр

является, по существу, не дискретным, а квазинепрерывным. Тем не менее (в отличие от непрерывного спектра) можно “пересчитать” электронные состояния (и количество электронов в них), что часто бывает удобно.

Рассмотрим систему, в которой имеется макроскопическое число электронов Nel >> 1. При нулевой температуре полная энергия всей системы должна иметь минимальную возможную величину (основное состояние). Так будет, если электроны занимают уровни с энергией ε(k) ==2k2 / 2m ≤εF , где εF ==2kF2 / 2m – энергия Ферми, kF – волновой вектор Ферми. Все состояния с −kF ≤ k ≤ kF при

этом заняты, а состояния с k > kF – свободны. С учетом того, что в

состоянии с данным k могут находиться два электрона (со спином “вверх” и “вниз”), получим для полного числа электронов:

Nel = ∑ 2 . Характеристики макроскопической системы не чувст-

|k|≤kF

вительны к виду граничных условий, поэтому выберем их периодическими. При этом “расстояние” k = 2πL между соседними значениями k очень мало, то есть энергетический спектр является квазинепрерывным, и можно перейти от суммы по kn = 2πnL к

ростом n, так как при увеличении числа электронов заполняются состояния с большей энергией, см. рис. 2.1.

kF

Рис. 2.1. Зависимость концентрации электронов n в одномерном свободном электронном газе от волнового вектора Ферми kF

энергия Ферми. При T = 0 все состояния с ε(kG)≤ εF заняты элек-

тронами, а состояния с ε(kG)>εF свободны. В одномерном слу-

чаеkG = keGx и ε(kG)==2k2 / 2m , поэтому “поверхность” Ферми представляет собой две точки: k = kF и k = −kF , см. рис. 2.2.

Рис. 2.2. При T = 0 электроны в одномерном свободном электронном газе занимают состояния с проекцией волнового вектора −kF ≤ k ≤ kF на ось x

12

Плотностью электронных состояний g(ε) называется отношение числа состояний в “физически малом” интервале энергий [ε; ε+dε] к величине этого интервала dε. Для электрона с заданной проекцией спина “плотность состояний на спин” равна g (ε) = ∑δ(ε −εn ),

n

где δ(x) – дельта-функция, n – набор квантовых чисел (исключая спиновое квантовое число), εn – собственные значения энергии электрона, которые находятся из решения уравнения Шредингера для рассматриваемой системы. Для одномерного электронного газа квантовым числом n можно считать проекцию k волнового вектора

на ось x. При этом εn =ε(k) ==2k2 / 2m. Переходя от суммы по n к интегралу по k, получим:

где θ(ε) – тета-функция: θ(ε)= 1 при ε > 0 и θ(ε)= 0 при ε < 0.

Плотность состояний расходится корневым образом при ε → 0 и монотонно уменьшается с ростом ε, см. рис. 2.3 (напомним, что для свободных электронов в трехмерном пространстве g (ε)~ ε1/2θ(ε)).

g(ε)

Рис. 2.3. Плотность электронных состояний одномерного свободного электронного газа с законом дисперсии ε(k) = =2k2 / 2m

13

Так как мы считали потенциальную энергию электронов равной

см. рис. 2.4.

g(ε)

Рис. 2.4. Плотность электронных состояний одномерного свободного электронного газа с законом дисперсии ε(k) = Ec +=2k2 / 2m

Используем плотность состояний для расчета зависимости концентрации электронов n от волнового вектора Ферми kF. Поскольку 1) по определению плотности состояний, величина g(ε)dε равна числу состояний электрона с одной проекцией спина в интервале энергий [ε; ε+dε] и 2) при T = 0 электроны занимают все состояния

с энергией ε(k )≤ εF , причем в каждом состоянии, в соответствии с

принципом Паули, находятся два электрона (со спином “вверх” и

εF

“вниз”), то полное число электронов в системе Nel = 2 ∫ g(ε)dε.

−∞

Область энергий ε < 0 не дает вклада в интеграл, так как g(ε) = 0

14

Число электронов в состояниях с энергиями, принадлежащими интервалу [ε; ε + dε], равно удвоенному (с учетом спина) произведению f (ε,T ) на число состояний g(ε)dε в этом интервале. Следо-

отношение неявно определяет μ как функцию T. В отличие от случая T = 0, верхний предел интегрирования равен бесконечности, так как при T ≠ 0 электроны могут с конечной вероятностью f (ε,T ) занимать энергетические уровни с ε > εF. Вычисление

интеграла дает

при kBT << εF , см. рис. 2.6. Так как обычно εF ~ 1 эВ, то неравенство kBT << εF справедливо даже при T ~ 1000 К. Заметим, что μ уве-

личивается с ростом T – в отличие от свободного трехмерного электронного газа.

μ

εF

εF

Рис. 2.6. Температурная зависимость химического потенциала μ одномерного свободного электронного газа при kBT << εF

Полную энергию E одномерного свободного электронного газа при T ≠ 0 можно найти, заметив, что энергия электронов в состояниях из интервала [ε; ε + dε] равна произведению ε на число элек-

16

тронов 2 f (ε,T )g (ε)dε во всех этих состояниях. Тогда

∞

E(T ) = 2 ∫ εg(ε) f (ε,T )dε, и мы получим:

−∞

E(T ) ≈ E0 1+ π42 kεBFT 2 .

Зависимость E(T) приведена на рис. 2.7.

E

E0

0 kBT

εF

Рис. 2.7. Температурная зависимость полной энергии E одномерного свободного электронного газа при kBT << εF

17

3. Свободный двумерный электронный газ. Плотность состояний. Энергия Ферми. Химический потенциал. Полная энергия

Электронные свойства ряда двумерных наноструктур (например, квантовых ям) можно качественно (а иногда и количественно) описать в рамках модели свободного двумерного электронного газа. Будем считать, что двумерная наноструктура имеет форму квадрата с размерами L ×L (здесь L – макроскопический размер), а ее толщина равна нулю. Электроны занимают область 0 < x, y < L, причем их потенциальная энергия в этой области U(x,y) = 0, то есть они являются свободными. Решение уравнения Шредингера

имеет вид (с учетом нормировки квадрата модуля волновой функции на единицу):

мерный волновой вектор электрона (он является “квантовым числом”, определяющим вид волновой функции и закона дисперсии), m – эффективная масса электрона.

Периодические граничные условия по обоим направлениям,

компонент волнового вектора kx = 2πn1/L, ky = 2πn2/L, где n1 и n2 –

целые числаG . ЭнергетическийG спектр является квазинепрерывным:

εn1n2 = ε(k) = =2k2 / 2m = (=2 / 2m)(2π/ L)2 (n12 + n22 ). Заметим, что для другого вида граничных условий (например, периодических по оси x и антипериодических по оси y) допустимые значения волнового вектора и энергии будут другими, но их плотность (в обратном и энергетическом пространстве, соответственно) останется такой же.

Если в системе имеется макроскопическое число электронов

Nel >>1, то при нулевой температуре они занимают состояния с

G G

энергией ε(k) ==2k2 / 2m ≤εF , где εF ==2k F2 /2m – энергия Ферми, 18

ности с радиусом kF, см. рис. 3.1. В двумерной системе поверхность Ферми называют обычно контуром Ферми.

ky

kF

0 kx

Рис. 3.1. При T = 0 электроны в двумерном свободном электронном газе занимают состояния с волновым вектором kG ≤ kF

С учетом того, что в состоянии с данным k могут находиться два электрона (со спином “вверх” и “вниз”), получим для полного числа электронов:

где k = 2π/L. Переходя в полярные координаты и вычисляя интеграл, имеем для концентрации электронов: n = Nel L2 = kF2 2π. Как

и в одномерном свободном электронном газе, концентрация электронов увеличивается с ростом kF, но по другому закону, см. рис. 3.2.

19

kF

Рис. 3.2. Зависимость концентрации электронов n в двумерном свободном электронном газе от волнового вектора Ферми kF

Для плотности электронных состояний g(ε) двумерного свобод-

см. рис. 3.3.

Рис. 3.3. Плотность электронных состояний двумерного свободного электронного газа с законом дисперсии ε(kG) = =2kG2 / 2m

20