
Лекции Алексеевой
.pdf
Для произвольного закрепления торцов стержня
|
|
|
2 |
EJ |
|
|
F |
|
|
min |
|||
|
|
|
||||
кр |
|
|
( l) |
2 |
||
|
|
|
|
|||
l |
|
|
|
|
|
|
– приведенная (расчетная) длина стержня, |
||||||
– коэффициент приведения длины, |
1n
n – число полуволн при потере устойчивости.
Коэффициент приведения длины показывает, во сколько раз следует увеличить длину стержня, чтобы его критическая сила равнялась критической силе шарнирно опертого стержня.

|
Значения для основных условий закрепления |
|
|||||
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0,5l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5l |
|
|
|
|
n 1 |
n 1 |
n 1 |
n 2 |
n 2 |
n 1 |
0,7 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
n 3 |
|
1 |
2 |
2 |
0,5 |
0,5 |
1 |
||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|

Пример. Найти F |
, |
кр |
|
F
y
F |
|
|
v |
|
|
кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
z |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
M |
|
|
min |
v |
x |
||
|
|
|
|
– ?
M Rl
|
|
F |
|
|
|
|
кр |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
F |
F |
v R z |
|
кр |
|
v |
|
|||
кр |
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
F |
|
|
кр |
|
|
|
R |
|
v |
R |
|
EJ |
||
|
||
|
min |
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
k |
2 |
|
кр |
|
k |
2 |
v k |
2 |
|
z . |
||
|
EJ |
|
v |
|
|
F |
||||||
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
|
M x v
|
z |
|
|
|
F |
|
|
z |
кр |
. |
|
F |
|||
|
|
||
|
кр |
|
Fкр

Решение ДУ:
v C1 sin kz
C2
cos kz |
R |
z , |
|
C k cos kz C k sin kz |
R |
|
|
|
|||||
|
v |
|
||||
|
F |
|
|
1 |
2 |
F |
|
|
|
|
|
||
|
кр |
|
|
|
|
кр |
v* частное решение |
|
|
|
Для определения трех неизвестных
1) при |
z 0, |
v 0; |
|
C |
0 |
|
|
|
1 |
|
C1 C2
,
C2 1
и R имеем три ГУ:
R |
0 |
0 |
|
C |
|
0. |
|
F |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
кр |
|
|
|
|
|
|
2) |
при z l, v 0; |
|
C1 sin kl |
R |
|
l 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Fкр |
|
|
(*) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
0; |
|
C1k cos kl |
|
|
0. |
|
||||
при z l, v |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Fкр |
|
|
|

Система (*) имеет отличное от составленный из коэффициентов при
|
sin kl |
1 |
|
|
|
F |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
|
F 0, |
|
sin kl kl |
||
кр |
|
|
|
|
Это трансцендентное |
уравнение, |
|||
Наименьший корень |
kl 4, 49 |
|
|
нуля решение, когда определитель, неизвестных равен нулю
kl |
cos kl 0 |
, |
|
|
F |
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
кр |
|
|
|
|
cos kl 0 |
|
tgkl kl . |
||
которое |
решается только численно. |
k 2 |
|
4, 492 |
|
Fкр |
Fкр |
4,492 EJ |
min |
|
|
2EJ |
min |
|
|
2EJ |
min |
|||
l 2 |
EJmin |
|
l2 |
|
|
|
2 |
2 |
0,7l 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,49 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
4, 49 |
|
|
|
|
|
|
|

l
F
Fкр
Энергетический метод
U – потенциальная энергия деформации
W F |
– работа внешней постоянной силы. |
Если U W , то после устранения причин, вызвавших отклонение, стержень вернется в исходное состояние, значит F Fкр .
Если U W , стержень не вернется в исходное |
|||||
состояние, значит F F . |
|||||
|
|
|
кр |
||
Если U W , имеем F F . |
|||||
|
|
|
|
кр |
|
U W F |
|
F |
U |
. |
|
|
|||||
кр |
|
кр |
|
|
|
|
|
|
|

dz
Потенциальная энергия деформации стержня при изгибе
l
U
0
d
dz
sin 2 2
|
|
|
|
|
|
|
M x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
l |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
l |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
M x |
|
|
|
|
|
(EJminv ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
EJmin (v ) |
dz . |
|
|
|
|
||||||
2EJ |
min |
2EJ |
min |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Перемещение |
|
|
можно определить как разность |
|||||||||||||||||||
между |
|
длиной |
|
l |
|
и |
проекцией |
|
изогнутой |
|
упругой |
|||||||||||||
линии на вертикаль. Для элемента длиной dz |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
d dz dz cos dz(1 cos ) dz 2sin |
2 |
|
, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 l0 |
2 |
dz , |
|
|
|
||||||
2 |
|
dz |
2 |
(v ) |
dz |
|
2 |
(v ) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрирование ведется по длине l0 участка стержня, сжимаемого силой F.


