Скачиваний:
30
Добавлен:
08.11.2022
Размер:
13.28 Mб
Скачать

Для произвольного закрепления торцов стержня

 

 

 

2

EJ

 

 

F

 

 

min

 

 

 

кр

 

 

( l)

2

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

приведенная (расчетная) длина стержня,

коэффициент приведения длины,

1n

n – число полуволн при потере устойчивости.

Коэффициент приведения длины показывает, во сколько раз следует увеличить длину стержня, чтобы его критическая сила равнялась критической силе шарнирно опертого стержня.

 

Значения для основных условий закрепления

 

F

F

F

F

F

F

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5l

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5l

 

 

 

n 1

n 1

n 1

n 2

n 2

n 1

0,7

 

2

2

 

 

 

n 3

1

2

2

0,5

0,5

1

2

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти F

,

кр

 

F

y

F

 

 

v

 

 

кр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

z

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

EJ

 

 

M

 

 

min

v

x

 

 

 

 

– ?

M Rl

 

 

F

 

 

 

 

кр

 

z

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

F

F

v R z

 

кр

v

 

кр

 

 

 

EJ

 

 

 

 

 

 

 

 

min

F

 

кр

 

 

R

v

R

EJ

 

 

min

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

R

 

k

2

 

кр

 

k

2

v k

2

 

z .

 

EJ

 

v

 

 

F

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кр

 

M x v

 

z

 

 

F

 

z

кр

.

F

 

 

 

кр

 

Fкр

Решение ДУ:

v C1 sin kz

C2

cos kz

R

z ,

 

C k cos kz C k sin kz

R

 

 

 

v

 

 

F

 

 

1

2

F

 

 

 

 

 

 

кр

 

 

 

 

кр

v* частное решение

 

 

 

Для определения трех неизвестных

1) при

z 0,

v 0;

 

C

0

 

 

 

1

 

C1 C2

,

C2 1

и R имеем три ГУ:

R

0

0

 

C

 

0.

F

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кр

 

 

 

 

 

 

2)

при z l, v 0;

 

C1 sin kl

R

 

l 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fкр

 

 

(*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

0;

 

C1k cos kl

 

 

0.

 

при z l, v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fкр

 

 

 

Система (*) имеет отличное от составленный из коэффициентов при

 

sin kl

1

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

кр

 

F 0,

 

sin kl kl

кр

 

 

 

 

Это трансцендентное

уравнение,

Наименьший корень

kl 4, 49

 

 

нуля решение, когда определитель, неизвестных равен нулю

kl

cos kl 0

,

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

кр

 

 

 

 

cos kl 0

 

tgkl kl .

которое

решается только численно.

k 2

 

4, 492

 

Fкр

Fкр

4,492 EJ

min

 

 

2EJ

min

 

 

2EJ

min

l 2

EJmin

 

l2

 

 

 

2

2

0,7l 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4,49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,7 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4, 49

 

 

 

 

 

 

 

l

F

Fкр

Энергетический метод

U – потенциальная энергия деформации

W F

работа внешней постоянной силы.

Если U W , то после устранения причин, вызвавших отклонение, стержень вернется в исходное состояние, значит F Fкр .

Если U W , стержень не вернется в исходное

состояние, значит F F .

 

 

 

кр

Если U W , имеем F F .

 

 

 

 

кр

U W F

 

F

U

.

 

кр

 

кр

 

 

 

 

 

 

dz

Потенциальная энергия деформации стержня при изгибе

l

U

0

d

dz

sin 2 2

 

 

 

 

 

 

 

M x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

l

 

 

 

 

2

 

 

 

1

l

 

 

2

 

 

 

 

 

M x

 

 

 

 

 

(EJminv )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

EJmin (v )

dz .

 

 

 

 

2EJ

min

2EJ

min

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перемещение

 

 

можно определить как разность

между

 

длиной

 

l

 

и

проекцией

 

изогнутой

 

упругой

линии на вертикаль. Для элемента длиной dz

 

 

 

 

 

d dz dz cos dz(1 cos ) dz 2sin

2

 

,

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

1

 

 

2

 

1

 

2

 

 

 

 

1 l0

2

dz ,

 

 

 

2

 

dz

2

(v )

dz

 

2

(v )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегрирование ведется по длине l0 участка стержня, сжимаемого силой F.

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

2

dz

 

EJmin (v )

 

F

0

 

 

 

 

кр

l

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

2

dz

 

 

(v )

 

 

 

0

 

 

 

 

,

(1)

l

– геометрическая длина стержня;

l0 – длина участка стержня, сжимаемого силой.

Определение точного значения

Fкр

по (1) возможно

только в том случае, если известна точная функция прогибов v(z) .

Например, для шарнирно-опертого стержня

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v C sin

z ,

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

cos

z ,

v

 

C

 

sin

z ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

l

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

l

2

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

l

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

sin

z dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cos

 

z

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

l

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

EJ

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

EJ

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кр

 

 

 

 

2

 

 

l

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

1

 

l

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

z dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos

z

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

l

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

dz

 

 

 

sin

 

 

 

z

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

sin 2 sin 0

 

 

 

2

 

 

 

 

EJmin

 

2

l

 

 

 

 

 

EJmin

 

 

2

 

 

 

EJmin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

l

2

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

2

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

sin 2 sin 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

2

sin

l

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение Fкр совпадает с формулой Эйлера (точным решением), поскольку

в качестве функции прогибов v(z) взято ее точное выражение.

В большинстве случаев функция прогибов неизвестна. Задаваясь приблизительным выражением функции прогибов v(z) , удовлетворяющим ГУ, можно определить приближенное значение Fкр . Чем ближе эта функция будет подобрана к

точному выражению прогибов, тем точнее будет значение

Fкр

.

В качестве функции

v(z)

берут такую, которая удовлетворяет

обязательно!! кинематическим ГУ (v, v ) , и желательно! статическим ГУ (v , v ) .

Самый лучший вариант – полином степени n, где n – число ГУ!

v(z) a a z a z2

a z3

 

a zn .

0 1

2

3

 

n