1.7. Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах
П
Рис. 22
Положение точки определяют заданием трех ее цилиндрических координат как функций времени:
, , .
Разложение векторов скорости и ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат , , , выразится в следующей форме:
, (30)
, (31)
где
,
,
– единичные векторы, направленные по
цилиндрической системы координат. Оси
и
расположены в одной плоскости с осями
и
.
Представим радиус-вектор точки как сумму двух векторов, т.е.
.
Скорость точки получим дифференцированием радиуса-вектора по времени:
.
Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе формулы (24) для скорости точки в полярных координатах. Было получено
.
Во втором слагаемом постоянный по модулю и направлению единичный вектор можно вынести за знак производной. Для скорости получается следующее разложение на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат:
. (32)
Сравнивая (32) с (30), получаем формулы для проекций скорости на цилиндрические оси координат:
,
,
. (33)
Так как составляющие
скорости
,
и
,
параллельные осям цилиндрической
системы координат, взаимно перпендикулярны,
то для модуля скорости имеем:
Ускорение точки получим дифференцированием по времени вектора скорости:
.
Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе ускорения в полярных координатах:
.
Во втором слагаемом при дифференцировании выносим вектор за знак производной. Объединяя результаты дифференцирования, получим следующее разложение ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат:
.
(34)
Сравнивая его с (31), получаем формулы для проекций ускорения на цилиндрические оси координат
,
,
. (35)
Составляющие
ускорения
,
,
взаимно перпендикулярны, поэтому для
модуля ускорения имеем
.
1.8. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
Положение точки
в пространстве в декартовой системе
координат определяется тремя координатами:
.
Можно выбрать другие три параметра
и назвать их криволинейными или
обобщенными координатами точки. Декартовы
координаты будут зависеть от криволинейных:
,
,
.
Движение точки в криволинейных координатах задается уравнениями
,
,
.
Радиус-вектор движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке выбранной системы отсчета для рассматриваемого движения, является функцией как декартовых, так и криволинейных координат, т.е.
.
Выберем точку
,
в которой криволинейные координаты
равны нулю, и рассмотрим зависимость
.
Получим уравнение в векторной форме
координатной
линии для
,
проходящей через точку
.
Аналогично получаются уравнения
координатных линий
и
,
проходящих через точку
для координат
и
.
Через каждую точку пространства можно провести три координатные линии, пересекающиеся в этой точке. Вдоль каждой из координатных линий изменяется только одна криволинейная координата, а две другие сохраняют постоянные значения, соответствующие рассматриваемой точке.
Рассмотрим частные
производные
.
Они как производные от вектора по
скалярному аргументу направлены по
касательным к координатным линиям,
являющимся годографами радиуса-вектора.
Введем единичные векторы, направленные
по векторам
.
Эти три единичных вектора
называются базисными
векторами.
Базисные векторы, как и
,
направлены в каждой точке по касательным
к координатным линиям в сторону
возрастания криволинейных координат.
Направления возрастания и начало отсчета
криволинейных координат выбираются
при задании движения.
В общем случае базисные векторы могут быть неортогональными. Используя базисные векторы, получаем
,
или
. (36)
Скалярные величины
называются коэффициентами Ламэ.
Для вычисления
,
учтем, что радиус-вектор через декартовы
координаты можно выразить в форме
(37)
где – единичные векторы, направленные по осям декартовой системы координат. Из (37) имеем:
,
и, следовательно:
. (38)