
- •Часть 2
- •Введение
- •1. Кинематика точки
- •1.1. Скорость точки
- •1.2. Ускорение точки
- •1.3. Векторный способ изучения движения
- •1.4. Координатный способ изучения движения Задание движения и траектория
- •Скорость в декартовых координатах
- •Уравнение годографа вектора скорости
- •Ускорение точки в декартовых координатах
- •1.5. Естественный способ изучения движения Естественный способ задания движения
- •Скорость точки при естественном способе задания движения
- •Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора
- •Ускорение точки при естественном способе задания движения
- •Частные случаи движения точки
- •1.6. Скорость и ускорение точки в полярных координатах
- •1.7. Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах
- •1.8. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
- •Скорость точки в криволинейных координатах
- •Ускорение в ортогональных криволинейных координатах
- •1.9. Скорость и ускорение точки в сферических координатах
- •2. Простейшие движения твердого тела. Сложное движение точки
- •2.1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей
- •2.2. Поступательное движение твердого тела
- •2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение
- •Частные случаи вращения твердого тела
- •Скорости и ускорения точек тела
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
- •2.4. Сложное движение точки Основные понятия
- •Сложение скоростей
- •Сложение ускорений при поступательном переносном движении
- •3. Плоское движение твердого тела
- •3.1. Уравнения плоского движения твердого тела
- •3.2. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное
- •3.3. Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении
- •3.4. Скорости точек тела при плоском движении
- •3.5. Мгновенный центр скоростей
- •3.6. Вычисление угловой скорости при плоском движении
- •3.7. Ускорения точек тела при плоском движении
- •3.8. Мгновенный центр ускорений
- •3.9. Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении
- •3.10. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
- •4.10. Мгновенный центр вращения. Центроиды
- •4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела
- •4.1. Углы эйлера. Уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки
- •4.2. Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
- •4.3. Мгновенная ось вращения. Аксоиды
- •4.4. Угловая скорость и угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной точки
- •4.5. Скорости точек тела при вращательном движении вокруг неподвижной точки
- •4.6. Ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной точки
- •4.7. Вычисление углового ускорения
- •4.8. Общий случай движения свободного твердого тела Разложение движения свободного твердого тела на поступательное и вращательное
- •Уравнения движения свободного твердого тела
- •Скорости и ускорения точек свободного твердого тела в общем случае
- •5. Сложное движение точки в общем случае
- •5.1. Абсолютная и относительная производные от вектора. Формула бура
- •5.2. Сложение скоростей
- •5.3. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения
- •5.4. Ускорение кориолиса
- •6. Сложение движений твердого тела
- •6.1. Сложение поступательных движений твердого тела
- •6.2. Сложение вращательных движений твердого тела Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
- •Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •6.3. Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела
- •Скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения
- •В Рис. 80 Рис. 80 интовое движение
- •Общий случай
- •6.4. Статические аналогии в кинематике
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора
Радиус кривизны
и соприкасающаяся плоскость.
В точке
кривой линии проведем касательную
Рис. 12
:
(рис. 12). В другой близкой точке кривой
,
отстоящей от точки
на расстоянии
,
построим касательную
.
В общем случае пространственной кривой
касательные
и
будут с
крещиваться.
Проведем в точке
прямую линию
,
параллельную
.
Угол
между линиями
и
называется углом
смежности.
Кривизной
кривой
в точке
называют предел, к которому стремится
угол смежности, п
.
Радиусом кривизны
кривой
в точке
называют величину, обратную кривизне
кривой в этой точке, т. е.
.
В
ычислим
радиус кривизны дуги окружности радиусом
.
(рис. 13). Дуга окружности длиной
,
опирающаяся на центральный угол
,
выражается зависимостью
.
Для радиуса кривизны имеем:
,
т
Рис. 13
Участок кривой из малой окрестности какой-либо ее точки лучше всего аппроксимирует по сравнению с дугами других окружностей элемент дуги окружности, радиус которой равен радиусу кривизны кривой в рассматриваемой точке.
Для определения понятия соприкасающейся плоскости проводим вспомогательную плоскость через две пересекающиеся прямые и (см. рис. 12). Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точки с точкой называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке .
В случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.
Е
Рис. 14
Перпендикулярно
касательной
располагается нормальная
плоскость
кривой. Нормаль, расположенная в
соприкасающейся плоскости, называется
главной
нормалью
.
Она является линией пересечения
нормальной плоскости с соприкасающейся
плоскостью. По главной нормали внутрь
вогнутости кривой направим единичный
вектор
.
Он определяет положительное направление
второй естественной оси.
Нормаль,
перпендикулярная главной нормали,
называется бинормалью.
Единичный вектор
,
направленный по бинормали так, чтобы
три вектора
,
и
образовывали правую систему осей
координат, определит положительное
направление третьей естественной оси.
Три взаимно
перпендикулярные оси
,
и
,
положительные направления которых
совпадают с направлениями единичных
векторов
,
и
,
называются естественными
осями кривой.
Эти оси образуют в точке М естественный
трехгранник.
При движении точки по кривой естественный
трехгранник движется вместе с точкой
как твердое тело, поворачиваясь вокруг
вершины, совпадающей с движущейся
точкой.
Дифференцирование единичного вектора. Вычислим производную от единичного вектора по скалярному аргументу. В кинематике точки скалярными аргументами обычно являются время и расстояние по траектории. В качестве единичного вектора выберем , направленный по касательной к траектории, и вычислим его производную по времени.
Производная
перпендикулярна самому единичному
вектору
.
Для доказательства этого используем
тождество:
.
Дифференцируя по времени обе части этого тождества, получим
.
Каждый из сомножителей этого выражения не равен нулю, поэтому векторы и перпендикулярны друг другу. Это справедливо для любого другого вектора, числовая величина (модуль) которого постоянна. Направим по вектору единичный вектор . Тогда
. (15)
Годографом вектора является кривая, расположенная на сфере единичного радиуса, так как единичный вектор изменяется только по направлению (рис. 15).
По определению модуля производной от вектора имеем
.
Д
лина
малой хорды
с точностью до малых величин более
высокого порядка равна длине дуги,
которую стягивает хорда, т. е.
,
г
Рис. 15
.
Подставляя это значение в (15) и используя выражение для радиуса кривизны и переменную , получим
.
Радиус кривизны считаем положительным.
Вектор
и совпадающий с ним по направлению
единичный вектор
направлены параллельно предельному
положению вектора
при
,
стремящемся к нулю, т.е. они расположены
в соприкасающейся плоскости кривой.
Единичный вектор
перпендикулярен вектору
,
направленному по касательной к кривой.
Следовательно, вектор
направлен по главной нормали кривой в
сторону ее вогнутости, так как в эту
сторону направлено предельное положение
вектора
.
Если имеем любой
другой вектор
с постоянным модулем, то для него остается
справедливым все, что было получено для
единичного вектора, только радиус
годографа следует заменить его модулем
.
Получим
, (16)
где
– теперь единичный вектор, перпендикулярный
вектору
и направленный параллельно
.
Формулу (16) можно выразить векторным произведением:
,
где
– вектор угловой скорости поворота
вектора
,
модуль которого
.
Вектор угловой скорости
следует направить перпендикулярно
плоскости, в которой расположены векторы
и
,
причем так, чтобы с его стрелки увидеть
поворот вектора
к
в этой плоскости на угол 90° против
часовой стрелки. Подробнее понятие
вектора угловой скорости дается при
рассмотрении вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси и в других случаях
его движений.