5.2. Сложение скоростей

Е

Рис. 65

сли – неподвижная система осей координат, а – подвижная (рис. 65), то, как известно, абсолютным движением точки называют ее движение относительно неподвижной системы осей координат, а относительным – ее движение относительно подвижной. Переносным движением точки называют ее движение в рассматриваемый момент времени вместе с подвижной системой осей относительно неподвижных. Относительные скорость и ускорение обозначают и , переносные – и , а абсолютные – и . Другие характеристики этих движений снабжаются соответствующими значками.

Движение подвижной системы осей координат относительно неподвижной можно охарактеризовать скоростью ее поступательного движения , например вместе с точкой и вектором угловой скорости ее вращения вокруг . Пусть точка движется относительно подвижной системы координат. Получим теорему сложения скоростей. Для этого проведем векторы и , характеризующие положение точки относительно неподвижной и подвижной систем осей координат, и вектор точки . Для любого момента времени

. (127)

Продифференцируем по времени это векторное тождество, учитывая изменения векторов относительно неподвижных осей координат, т. е. вычислим полные производные. Получим

.

По определению, является абсолютной скоростью точки , – абсолютной скоростью точки . Для вычисления применим формулу Бура. Имеем

.

Относительная производная является относительной скоростью точки по отношению к подвижной системе отсчета, а – угловая скорость вращения подвижной системы отсчета и, следовательно, радиуса-вектора , если бы он в рассматриваемый момент времени был скреплен с подвижной системой осей координат. Таким образом, из (127) получаем

. (128)

Скорость

является скоростью точки свободного твердого тела, скрепленного с подвижной системой координат, с которой в данный момент совпадает точка в движении тела относительно неподвижной системы осей координат. Это есть переносная скорость точки . Из (128) получаем следующую теорему сложения скоростей для точки:

. (129)

т.е. скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

5.3. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения

Абсолютное ускорение точки определим вычислением полной производной по времени от абсолютной скорости (128). Имеем

.

Для полных производных от векторов и , применим формулу Бура. Получим

, .

Учитывая, что

, , , ,

получим для абсолютного ускорения

. (130)

В этой формуле первые три слагаемых составляют ускорение точки свободного твердого тела в общем случае его движения вместе с подвижной системой осей координат относительно неподвижной. Первое слагаемое – ускорение точки , и – соответственно вращательное и осестремительное ускорения точки , если бы она двигалась только вместе с подвижной системой осей координат, не имея в рассматриваемый момент времени относительного движения. После этого (130) примет вид

, (131)

где

. (132)

Ускорение называется ускорением Кориолиса. Иногда его также называют добавочным (или поворотным) ускорением.

Формула (131) выражает теорему сложения ускорений точки, или кинематическую теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений – переносного, относительного и Кориолиса.

Переносное ускорение рассматривалось при изучении движения свободного твердого тела. Относительное ускорение изучалось в кинематике точки. Его можно выразить в двух формах в зависимости от способа задания относительного движения. При координатном способе задания в декартовых координатах

,

где – координаты движущейся точки относительно подвижной системы осей координат; – единичные векторы этих осей. При естественном способе задания движения

, , ,

где – расстояние от начала отсчета до точки по траектории относительного движения; – радиус кривизны этой траектории. В частном случае, когда переносное движение есть вращение вокруг неподвижной оси, переносное ускорение

,

где касательное переносное ускорение

,

причем – кратчайшее расстояние от движущейся точки до оси вращения. Нормальное переносное ускорение

.

Абсолютное ускорение в этом случае

. (133)