1. Кинематика точки
В кинематике точки рассматриваются характеристики движения точки, такие, как скорость, ускорение, и методы их определения при различных способах задания движения. Важным в кинематике точки является понятие траектории. Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета.
По виду траекторий движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Форма траектории зависит от выбранной системы отсчета. Одно и то же движение точки может быть прямолинейным относительно одной системы отсчета и криволинейным относительно другой. Например, если с летящего горизонтально Земле с постоянной скоростью самолета отцеплен груз, то, пренебрегая сопротивлением воздуха и учитывая только действие силы тяжести, получим в качестве траектории движения центра масс груза относительно самолета прямую линию, а относительно Земли – параболу.
1.1. Скорость точки
О
дной
из основных характеристик движения
точки является ее скорость относительно
выбранной системы отсчета, которая
изображена в виде декартовой прямоугольной
системы координат (рис. 1).
П
Рис. 1
относительно рассматриваемой системы
отсчета определяется в момент времени
радиусом-вектором
,
который соединяет неподвижную точку
с этой точкой. В другой момент времени
движущаяся точка займет положение
и ее радиусом-вектором будет
.
За время
радиус-вектор движущейся точки изменится
на
.
Средней скоростью
точки за время
называют отношение
,
т.е.:
.
Средняя скорость
параллельна вектору
.
В общем случае она зависит от времени
осреднения
.
У нее нет конкретной точки приложения
на траектории.
Введем скорость
точки
в момент
,
которая определяется как предел средней
скорости, если промежуток времени, за
который определяется средняя скорость,
стремится к нулю, т. е.
.
Скорость точки
направлена в сторону ее движения по
предельному направлению вектора
при
,
стремящемся к нулю, т.е. по предельному
направлению секущей
,
которая совпадает с касательной к
траектории в точке
.
Таким образом, скорость точки равна
первой производной по времени от ее
радиуса-вектора. Она направлена по
касательной к траектории в сторону
движения точки.
Начало радиуса-вектора
движущейся точки можно выбрать в любой
неподвижной точке. На рис. 1 представлен
случай, в котором радиусом-вектором
является также
с началом в точке
.
Радиусы-векторы имеют одинаковые
изменения
и
за время
и поэтому
. (1)
Размерность
скорости в СИ получаем из (1):
.
Для характеристики переменного вектора используют понятие его годографа. Годографом вектора называют геометрическое место его концов, если переменный вектор в различные моменты времени откладывать от одной и той же общей точки.
Траектория
точки, очевидно, является годографом
радиуса-вектора
или
(рис. 1). Последовательные положения
вектора
в различные моменты времени откладываются
в этом случае от точки
,
а вектора
– от точки
.
Первая производная по времени от радиуса-вектора есть скорость точки, направленная по касательной к траектории. Следовательно, параллельно касательной к годографу направлена первая производная по скалярному аргументу от любого переменного вектора.
Г
Рис. 2
б)
а)
(рис. 2, 6), и начала векторов скорости для
различных моментов времени переносим
в эту точку, не изменяя их величин и
направлений. Каждой точке траектории
М (рис. 2, а) будет соответствовать своя
изображающая точка М' на годографе
вектора скорости (рис. 2, б). Масштаб для
скоростей при построении годографа
вектора скорости может быть выбран
отличным от масштаба для скоростей,
изображаемых в точках траектории. При
движении точки по траектории соответствующая
ей изображающая точка движется по
годографу вектора скорости.
При равномерном движении точки по прямой годографом вектора скорости является одна точка; при неравномерном движении – отрезок прямой, параллельный траектории.