7.2.5.Характеристика методов формирования ммс

Исходную систему компонентных и тополо­гических уравнений (7.1) и (7.2) можно рассматривать как окончательную ММС, которая и подлежит численному решению. Численное решение этой системы уравнений предполагает алгебраизацию дифференциальных уравнений, например, с помощью преобразования Лапласа или формул численно­го интегрирования. В программах анализа нелинейных объектов на макроуровне, как правило, приме­няются формулы численного интегрирования, примером которых может служить неявная формула Эйлера

где V_i- – значение переменной V на i-м шаге интегрирования; h_n = t_n – t_n-1 – шаг интегрирования. Алгебраизация подразумевает предварительную дискретизацию независимой переменной t (вместо непрерывной переменной t получаем конечное множество значений t_n), она заключается в представ­лении ММС в виде системы уравнений

7.15

с неизвестными V_n и Z_n, где использовано обозначение Z = dV/dt. Эту систему алгебраических урав­нений, в общем случае нелинейных, необходимо решать на каждом шаге численного интегрирования исходных дифференциальных уравнений.

Однако порядок этой системы довольно высок и примерно равен 2α+γ, где α – число ветвей эк­вивалентной схемы (каждая ветвь дает две неизвестные величины – фазовые переменные типа пото­ка и типа потенциала, за исключением ветвей внешних источников, у каждой из которых неизвестна лишь одна фазовая переменная), γ – число элементов в векторе производных. Чтобы снизить поря­док системы уравнений и тем самым повысить вычислительную эффективность ММС, желательно выполнить предварительное преобразование модели (в символическом виде) перед ее многошаговым численным решением. Предварительное преобразование сводится к исключению из системы части неизвестных и соответствующего числа уравнений. Оставшиеся неизвестные называют базисными. В зависимости от набора базисных неизвестных различают несколько методов формирования ММС.

Согласно методу переменных состояния (более полное название метода – метод переменных, характеризующих состояние), вектор базисных переменных W состоит из переменных состояния. Этот вектор включает неизбыточное множество переменных, характеризующих накопленную в сис­теме энергию. Например, такими переменными могут быть скорости тел (кинетическая энергия опре­деляется скоростью, так как равна Ми²/2), емкостные напряжения, индуктивные токи и т.п. Очевидно, что число уравнений не превышает γ. Кроме того, итоговая форма ММС оказывается приближенной к явной форме представления системы дифференциальных уравнений, т.е. к форме, в которой вектор dW/dt явно выражен через вектор W, что упрощает дальнейшее применение явных методов численного интегрирования. Метод реализуется путем особого выбора системы хорд и ветвей дерева при формировании топологических уравнений. Поскольку явные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений не нашли широкого применения в программах анализа, то метод пере­менных состояния также теряет актуальность и его применение оказывается довольно редким.

В классическом варианте узлового метода в качестве базисных переменных используются узло­вые потенциалы (т.е. скорости тел относительно инерциальной системы отсчета, абсолютные темпе­ратуры, перепады давления между моделируемой и внешней средой, электрические потенциалы от­носительно базового узла). Число узловых потенциалов и соответственно уравнений в ММС оказы­вается равным β-1, где β – число узлов в эквивалентной схеме. Обычно β заметно меньше α и, сле­довательно, порядок системы уравнений в ММС снижен более чем в два раза по сравнению с поряд­ком исходной системы.

Однако классический вариант узлового метода имеет ограничения на применение и потому в со­временных программах анализа наибольшее распространение получил модифицированный узловой метод.