7.2.3.Представление топологических уравнений

Известен ряд методов фор­мирования ММС на макроуровне. Получаемые с их помощью модели различают­ся ориентацией на те или иные численные методы решения и набором базисных, переменных, т.е. фазовых переменных, остающихся в уравнениях итоговой ММС. Общим для всех методов является исходная совокупность топологических и компонентных уравнений (7.1)-(7.2).

При записи топологических уравнений удобно использовать промежуточную графическую фор­му – представление модели в виде эквивалентной схемы, состоящей из двухполюсных элементов. Общность подхода при этом сохраняется, так как любой многополюсный компонент можно заменить подсхемой из двухполюсников. В свою очередь эквивалентную схему можно рассматривать как на­правленный граф, дуги которого соответствуют ветвям схемы. Направления потоков в ветвях выбира­ются произвольно (если реальное направление при моделировании окажется противоположным, то это приведет лишь к отрицательным численным значениям потока).

Пример некоторой простой эквивалентной схемы и соответствующего ей графа приведен на рис. 7.5. Для конкрет­ности и простоты изложения на рис. 7.5 использованы условные обозначения, характерные для электрических эквивалентных схем, по той же причине далее в этом параграфе часто применяется электрическая терминология. Очевидно, что поясненные выше аналогии позволяют при необходимости легко перейти к обозначениям и терминам, привычным для механиков.

Рисунок 7.5 - Эквивалентная схема (а) и ее граф (б)

Для получения топологических уравнений все ветви эквивалентной схемы разделяют на подмножества хорд и ветвей дерева. Имеется в виду покрывающее (фундаментальное) дерево, т.е. подмножество из β-1 дуг, не обра­зующее ни одного замкнутого контура, где β – число вершин графа (узлов эквивалентной схемы). На рис. 7.5,б показан граф эквивалентной схемы рис. 7.5,а, толстыми ли­ниями выделено одно из возмож­ных покрывающих деревьев.

Выбор дерева однозначно определяет вектора напряжений U_x и токов I_Х хорд, напряжений U_вд токов I_ВД ветвей дерева и приводит к записи топологических уравнений в виде

	7.13
	7.14

где М – матрица контуров и сечений, М^т – транспонированная М-матрица.

В М-матрице число строк соответствует числу хорд, число столбцов равно числу ветвей дерева. М-матрица формируется следующим образом. Поочередно к дереву подключаются хорды. Если при подключении к дереву р-й хорды q-я ветвь входит в образовав­шийся контур, то элемент M_pq матрицы равен +1 при совпадении направлений ветви и подключенной хорды, M_pq= -1 при несовпадении направлений. В противном случае M_pq = 0.

Для схемы на рис. 7.5 М-матрица представлена в виде табл. 7.1

Таблица 7.1 – М-матрица

7.2.4.Особенности эквивалентных схем механических объектов.

Для каждой степени свободы строят свою эквивалентную схему. Каждому телу с учитываемой массой соответствует узел схемы (вершина графа). Один узел, называемый базовым, отводится телу, отождествляемому с инерциальной системой отсчета.

Каждый элемент массы изображают ветвью, соединяющей узел соответствующего массе тела с базовым узлом; каждый элемент упругости – ветвью, соединяющей узлы тел, связанных упругой связью; каждый элемент трения – ветвью, соединяющей узлы трущихся тел. Внешние воздействия моделируются источниками сил и скоростей.

Рисунок 7.6 – Простая механическая система:

а - эскизное изображение; б - эквивалентная схема

В качестве примера на рис. 7.6,а изображена некоторая механическая система – тележка, движущаяся по дороге и состоящая из платформы А, колес В1, В2 и рессор С1, C2. На рис. 7.6,б приведена эквивалентная схема вертикальных составляющих сил и скоростей, на которой телам системы соответствуют одноименные узлы, учитываются массы платформы и колес, упругость рессор, трение между колесами и дорогой; неровности дороги вызывают воздействие на систему, изображенную на рис. 7.6,б источниками силы.