Учебное пособие 2001

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(ав sin )2

; а2в2 sin2

а2в2 (1 cos2 ).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

в, есть постоянный вектор длины единица, перпендикулярный

кплоскости кривой.

Для неплоской кривой производная d b характеризует dS

отклонение кривой от плоской формы и называется вектором кручения.

Вектор кручения коллинеарен главной нормали. Докажем

это.

По определению b n, b b 1.

Найдѐм d b по правилу дифференцирования векторного dS

произведения

d ( n)

d n

(4.4)

Но

поэтому

n n

0 и формула (4.4)

принимаетвид			db	d n	(4.5)

			dS	dS
			dS	dS
По определению векторного произведения отсюда следу-
ет, что	d b	есть вектор, перпендикулярный к единичному век-
ет, что	dS	есть вектор, перпендикулярный к единичному век-
	dS

тору касательной .

Сдругой стороны, согласно Лемме, ddSb перпендикулярен

кb, т.к. b - единичный вектор. Следовательно, ddSb перпенди-

кулярен и к и к b , т.е., коллинеарен вектору главной нормали n .

Обозначим длину вектора

d b

через

. Т.е. положим

d b

Тогда,

d b

(4.6)

Численный коэффициент

называется кручением кри-

вой, а обратная величина Т – радиусом кручения или радиусом второй кривизны.

Замечание. Величина 1 может быть как положительной,

так отрицательной, в противоположность кривизне K R1 ,

которая всегда считается не отрицательной.

Существование вектора касательной, вектора кривизны и вектора кручения связано, конечно, с существованием производных, через которые они выражаются.

4.3.2. Вычисление кривизны

Формула (4.3) позволяет вычислить кривизну пространственной кривой. Получим соответствующую формулу для кривизны. Из формул (4.5) и (4.6) следует, что

1	n	d n	.

T		dS

Умножив обе части скалярно на n , получим

1	n n	d n	n

T		dS

В правой части равенства мы получим векторно–скалярное

или смешанное произведение трѐх векторов	,	d n	и n . В та-
		dS

ком произведении, как известно, можно циклически представ-

лять множители. Кроме того, учитываем что n n 1 (скалярное произведение единичных векторов), последнее равенство можно переписать в виде

1	d n	n

T	dS
T	dS

или, меняя порядок сомножителей в векторном произведении

d n

(4.7)

d 2 r

Но, в силу (

, поэтому

dS 2

d n d

d 2 r

dR d 2 r

d 3 r

dS 2

dS3

d n

d 2 r

d 3 r dR d 2 r

dS 2

dS3

dS dS 2

d 2 r

d 3 r

d 2 r

dS 2

dS3

dS 2

Т.к. векторное произведение вектора самого на себе равно ну-

лю, то

d 2 r

dS 2

Т.о.,

d n

d 2 r

d 3 r

dS 2

dS 3

Заметив, что

d r

из равенства (4.7) получим

d r

d 2 r

3 r

(4.8)

dS 2

dS 3

Коэффициент при

( R 2 )

в полученной формуле есть объѐм

параллелепипеда, построенного на векторах

d r

d 2 r

d 3 r

по

dS 2

dS 3

геометрическому смыслу смешанного произведения.

4.3.3.1. Вычисление кривизны в случае произвольного параметра.

Формула (4.3) для кривизны и (4.8) для кручения получены в предположении, что координаты вектор–функции x(S), y(S), z(S) выражены как функции длины дуги. Это не всегда удобно. Поэтому рассмотрим случай, когда радиус–вектор переменной кривой выражен как функция произвольного параметра t;

rr(t).

Вэтом случае длину дуги S будем рассматривать как функцию параметра t. Тогда вычисление кривизны производится следующим образом.

d r

dS'

d r

dS'

(4.9)

Но, т.к.

d r

1, то

d r

dS'

(4.10)

Дифференцируем правую и левую часть по t, получаем

d r d 2 r

dS d 2 S

d r d 2 r dS d 2 S

;

т.е.

(4.11)

dt2

dt dt2 dt

dt2

Из формулы (4.9) получаем

d r

Дифференцируем обе части последнего равенства по S .

d 2 r d 2 r dt 1

d r dS

2 d 2 S' dt

;

dS 2

dt2

d 2 S

d 2 r d 2 r

d r

Т.о.,

dt2

dS 2

dt2

dS 2

Подставляя полученное выражение для

d 2 r

в формулу (4.2)

dt 2

для квадрата кривизны, получим:

d 2 S

d r

dS 2

dt2

dS 2

d 2 r 2

d r

d r d 2 S

d r 2 d 2 S 2

dt2

dS 4

dt2

dS 2

dt dt2

dS 3

dt2

dS 6

d 2 r 2

dS 2

d 2 r dr dS d 2 S

d r 2

d 2 S 2

dt2

dt dt2

dt2

Знаменатель преобразуем следующим образом, используя

(4.10)

dS 2

d r

Здесь под

d r

подразумеваем скалярный квадрат вектора

d r

Под

d r

подразумевается

третья

степень числа

d 2 S

d r

.Выражая

по формулам ( ) и (

), получим

dt2

d r d 2 r

d r

d 2 r

d 2 r d r dS

dt2

d r

dt dt2

d r

dt2

d r

		dt
		dt	dt
			dt
1

2	3
2
d r

dt

или


	d 2 r	2		d 2 r	2
	d 2 r		d r	d 2 r		d r
K 2	dt2		dt	dt2		dt
K 2							.

2		3

d r

dt

Для упрощения полученной формулы воспользуемся следующим тождеством векторной алгебры

(a b)	2		2		2		2	,
(a b)		(a)		(b)		(ab)		,

справедливость которого вытекает из определения векторного и скалярного произведения векторов

Учитывая это, последнюю формулу можно переписать

так:

	d r		2
			2
		d 2 r
K 2	dt	dt 2		(4.12)
K 2				(4.12)

2		3

d r

dt

Формула (4.12) позволяет вычислить кривизну данной линии в любой еѐ точке при произвольном параметрическом задании кривой.

Вчастном случае, если кривая является плоской и лежит

вплоскости Оxy, то еѐ параметрические уравнения имеют вид: x=x(t), y=y(t), z=0. Подставив эти значения в (4.12) получим выведенную ранее формулу для кривизны плоской кривой, заданной параметрически.

Для иллюстрации применения формулы (4.12) решим задачу о нахождении кривизны винтовой линии, ранее решѐнную с помощью формулы (4.3).

Пример 1. Найти кривизну винтовой линии

r(t)

a costi

a sin t j

htk

(a,h - постоянные).

Решение:

d r

a costi a sin t j

htk

d 2 r

a costi

a sin t j

dt2

Находим векторное произведение (числитель (4.12))

d r

d 2 r

a sin t

a cost

ahsin ti

ahcost j

a2 k

dt 2

a cost

a sin t

Находим квадрат модуля этого вектора

d r

d 2 r

(

ahsin t)2

(ahcost)2

a2 h2

a2 (h2

a2 )

dt2

и квадрат модуля вектора

d r

(

a sin t)2

(a cost)2

h2 .

Следовательно, по формуле (4.12)

K 2	a2	(h2	a2 )	a2	и K		a		.
	(a2		h2 )3	(a2 h2 )2		a2		h2

4.3.4.2. Вычисление кручения кривой в случае произвольного параметра

Пусть вектор r задан как функция произвольного параметра t. Найдѐм выражение для производных, входящих в

(4.8).

d r	d r	dS

dt	dS	dt

Дифференцируем это равенство ещѐ раз по t:

d 2 r

d d r

dS dS dr d 2 S d 2 r dS 2

d r

d 2 S

dt2

dS dS

dt dt dS dt2 dS 2 dt

dt2

Снова дифференцируем то t:

d 3 r d d 2 r dS dS 2 d 2 r dS d 2S d d r dS d 2S

dt3

dS2

dt dt

dS2

dt2

dt dt2

d r d 3S d 3 r dS 3

d 2 r dS d 2S d r d 3S

dt3

dS3

dS2

dt2

dt3

d r

d 2 r

d 3 r

Составим смешанное произведение векторов

dt 2

dt3


d r		d 2 r			d 3 r
dt		dt2				dt3
	d 3 r		dS 3
	dS3			dt

d r dS d 2 r dS 2

d r

d 2 S

dS 2

dt2

d 2 r dS d 2 S d r

d 3 S

dS 2

dt2

dt3

Раскрываем это произведение по правилу умножения многочленов, сохраняя порядок сомножителей.

d r d

r d

d r

dS d

r ds

r ds d

2 dt

dr d

ds dt2

ds3

ds dt2

dr d

ds dt2

ds dt3

d 2r ds d 2s ds2 dt dt2

Смешанное произведение трѐх векторов a b,с равно

нулю, если хотя бы два вектора коллинеарны. Поэтому из шести слагаемых, стоящих в фигурных скобках останется только одно первое слагаемое и

d r d 2 r d 3 r

d r

d 2 r d 3 r dS

dt dt 2 dt3

dS 2 dS 3 dt

Заметив, что согласно (4.10)

		2				2	3
dS 2				dS 6
	d r	,	или		d r		,
dt	dt			dt	dt

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.72 Mб3Учебное пособие 1999.pdf
#
30.04.2022157.23 Кб7Учебное пособие 2.pdf
#
30.04.2022214.94 Кб1Учебное пособие 20.pdf
#
30.04.2022326.11 Кб2Учебное пособие 200.pdf
#
30.04.20223.82 Mб2Учебное пособие 2000.pdf
#
30.04.20223.83 Mб8Учебное пособие 2001.pdf
#
30.04.20223.83 Mб4Учебное пособие 2002.pdf
#
30.04.20223.84 Mб3Учебное пособие 2003.pdf
#
30.04.20223.86 Mб10Учебное пособие 2004.pdf
#
30.04.20223.87 Mб5Учебное пособие 2005.pdf
#
30.04.20223.89 Mб4Учебное пособие 2006.pdf