Учебное пособие 2001

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3. Показать, что векторы

ch2t 3sh2tk ч(t)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

По формуле (2.24) находим tg	sin	sin	cos	.

	cos	cos	sin
	cos	cos	sin

2.5.4. Единичный нормальный вектор

Пусть τ(t) – единичный касательный вектор к ориентированной кривой в точке Р:

(t)	x		i	y		j .


	x2	y2		x2	y2

Вектор n , имеющий единичную длину и перпендикулярный вектору τ(t), в точке Р, называется единичным вектором нормали. Из двух возможных направлений выберем то, которое получается из τ(t) поворотом на угол 90° против часовой стрелки (рис.14).

Т.к. cos (90° + α) = - sinα, а sin (90° + ) = cosα, то

n(t)

(2.22’)

Пример: Найти единичный нормальный вектор кривой Ч(t) –

				(t3+t) в точке Р(2,1)
	(t) (t3	t)i	t3 j
r

Решение. Находим проекции вектора r (t) на оси координат в

произвольной точке	2				2
x 3t		1		3t
			y

Находим значение параметров t= t0, в соответствующей точке Р

t3	t 2	=> t0	=1
t3	1

Вычисляем координаты вектора r (t) в точке Р(2,1)


x	t t0	3 1	4 ,	y	t t0	3 Т.о., единичный вектор нормали в
x	t t0			y	t t0
точке Р имеет вид:
		3				4			3		4
n(t)				i				j		i		j.
									5		5
		42	32			42	32		5		5

Задачи для самостоятельного решения.

I Какая линия является годографом вектор -функции r (t) :

1. r (t)

2. r (t)

				. Ответ. Окружность	x2	y2 1
costi		j sintk			y	1.

			Ответ: прямая, проходящая через начало
(i	j	k )t.

координат и образующееся с осями координат равные углы.

3.r (t) chti shtk.. Ответ Равносторонняя гипербола, ле-

жащая в плоскости XOZ.

II Будут ли две данные вектор -функции определять а) одну и ту же ориентированную кривую; или б) противоположные кривые; или

в) одна из них определяет дугу ориентированной кривой, определяемой второй функцией; или г) одна из них определяет ориентированную кривую, кото-

рая может быть представлена в виде суммы дуг кривой, задаваемой второй функцией; или в виде суммы дуг кривой, противоположной кривой, задаваемой второй функцией; или д) ни какое из условий а) - ) не имеет места

		t 4				(sinu)2
1. r (t)	t 2i	t 4	j при 0 ≤ t ≤ 1;	r (u)	sinui	(sinu)2	j при

0 u 2 .

2. r (t)

_	1	u
	4

при 2 ≤ t ≤ 4;

при

r (u)

t 1

u 1

r (t)

ln(t

1)i

при 2 ≤ t ≤ 8;

r (u)

2 ln ui

u 2 j

при

1≤ u≤ 2

4. r r (t)

при 0 ≤ t ≤ 1; r (u)

u i

при 0≤ u≤ 1

u 1

(t 2

t 2

(sec2 u

r (t)

1)i

при 0 ≤ t ≤ 2; r (u)

sec2 ui

1) j

при 0

r (t)

et i

tj ч (t) при -1 ≤ t ≤0; r (u)

lnuj

при 1 ≤ u ≤ е

III Представить ориентированную кривую, определяемую вектор- функцией в виде графика некоторой скалярной функции.

при 0≤ t ≤ + ∞

r (t)

t 2i

t3 j

при 0≤ t ≤ + ∞

r (t)

t3 j

(t2

при 0≤ t ≤ + ∞

r (t)

2) j

r (t)

costi

sin 2tj

при 0 t

r (t)

cos2ti

costj

при

r (t)

t 3 i

1)3 j при -∞ ≤t ≤ +∞

IV Дифференцегрование вектор –функции.

Вычислить производные I и II порядка вектор – функции на плоскости.

1. r (t)

2. r (t)

3. r (t)

4. r (t)

sin

cos ti

(lnt)3

ч(t)

sectj

(ti

j )

cost (t

j )

5. r (t)

6. r (t)

7. r (t)

8. r

	5

t 2 i		(t		1) j

costi				tgtj
			t

	ti	e		j
		1
t3i t 2			j

Вычислить производные вектор – функции

1. r r (t)	ch2ti	shtchti		sh2tk		Ответ: (i		k )sh2t	jch2t
					d
2. r1(t)	3ti	2 j	5k Найти			(r1	r2 ) Ответ: 0 .
2. r1(t)	3ti	2 j	5k Найти		dt	(r1	r2 ) Ответ: 0 .


		и	dr	перпен-
sintj	k
			dt

Найти d (r 2 ) Ответ: 0 dt

5.r1(t) ti

Ответ 3(t 2


						d (r r )
t2 j	t3k ,	r	t2i	t3 j	tk . Найти	1	2

		2				dt

	(5t 4
2t5 )i			2t) j


6. Уравнение движения r (t)	2costi	4sintj , где t- время.

Определить траекторию движения и векторы скорости и уско-

рения для моментов t = 0; t		и t		.
	4		2
	36

Ответ: x = 3 cost; y = 4 sint (эллипс);

4 j

, w

3i при t = 0;

3 2

i 2

2 j ,

i 2

2 j

при t

; v 3i

при t

4 j

7. Уравнение движения

r (t)

2costi

2sintj

3tk .

Определить траекторию движения, векторы скорости и ускорения. Чему равны величины скорости и ускорения движения

и каковы их направления для моментов t=0 и t

t ?

Ответ: x = 2cost; y = 2 sint, z = 3t (винтовая линия);

2sinti

2costj

13 при любом t;

2costi

2sintj

, |

при любом t.

2 j

при t = 0, V

3k , W

2 j

при

8. Уравнение движения

r (t) cos cos ti

sin

cos

tj sin

tk ,

где α и ω – постоянные, t – время

определить траекторию движения, векторы скорости и ускорения движения и их величины.

Ответ.

x= cosα cosωt; y = sinα cosωt, z = sinωt (окружность);

cos

sin ti

sin sin

cos tk ,

2 cos

2 sin

2 .

cos ti

cos tj

tk ,

V Интегрирование вектор -функции. Вычислить интегралы по указанным промежуткам.

r (t)

t2i

[0,

] ,

r (t)

cos2ti

sin3tj

[0,

]

3. r (t)

5. r (t)

, [1,2],

r (t)

2t i

[1,3]

t 1

, [0,

] ,

t 1

t2 i

costj

6. r (t)

et (i

j ) , [0, ℓn2]

IV Касательная и нормальная плоскость

1. Найти уравнения касательной и нормальной плоскости к винтовой линии

r (t)

costi

sintj

3k в точке t

y 1

Ответ:

2x 2z 3 3

2. На кривой

t 2

Найти точку, касательная в которой параллельна плоскости x 2y z 1 0.

Ответ: М1 (0;0; -1) и М2	2	,	8	,	1
	3		9		27

3. Какой угол образуется с плоскостью ХОУ касательная к винтовой линии

x	cost,
y	sint, в точке t		. Ответ: 70°23’.
y	sint, в точке t	4	. Ответ: 70°23’.

z2 2t

4.Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой

x		et sint

		2
		2
y 1,
z		et cost

		2
		2

Ответ: 1x

в точке t = 0.

		z		2
y	1						2
			2		,	x z		0.


0			2				2
0			2				2

5. Составить уравнения касательной к кривой


x	et (cost		sint),
e	et (sint		cost),		в точке t = 0.
z	et
Ответ:		x 1		y 1		z 1
Ответ:
	2		0		4

6. Составить уравнение касательной к кривой


r (t) t 2i		t3 j	t 4k	в точке t = 1
Ответ:	x	1	y 1	z 1	.
		2	3	4

VII Единичные векторы касательной и нормали.

Найти единичные векторы касательной и нормали в указанной точке.

1. r (t)

2. r (t)

3. r (t)

(t3
(t3	t)i	t 2 j		P (-2, 1)
			4
e2t i	(t	8)3		j	P (1, -16)
								P(√3/2 , √2/2)
cos2ti		sin3tj ,				t
cos2ti		sin3tj ,			6	t	6
					6		6

4. y = ℓn(x2 +1),				P(-2, ℓn5),
5.					в произвольной точке
	r (t)	(t3 1)i		t 2 j
6.
	r (t(	costi	tj в произвольной точке
	Найти (x)
7.			и N(x) для графика функции у=х3+2
					для графика функции у=х5/3+2
8.	Найти (x) и N(x)

Найти вектор ( ) и tgψ для кривых, заданных в полярных координатах

9. r	2 cos -π ≤ψ ≤ π; 12. x = еυ для				-∞<υ < + ∞
10 r = 1+ cosυ для –π ≤ υ ≤ π,		13. r		1			3

			cos		sin	4	4
			cos		sin	4	4
11. r	cos2 для - π ≤ υ ≤ π	14 r = lnυ для 0<υ<1

VIII Длина дуги

Найти длину дуги кривой заданной векторфункции в указанных границах.

					1		2
1, r (t)	(t 2	1)i	t3 j	для _		t		.
					3		3

2. r (t)

3. r (t)

1				1					3
1		2		1				1)2
	t		i		(2t					j	для 0 ≤ t ≤ 1
2	t		i	3	(2t					j	для 0 ≤ t ≤ 1
2				3
1		6		1		4						4
1		6		1		4		для 1			t	4	5 .
	t		i		t		j
6	t		i	4	t		j
6				4
												40

4. r (t)

5. r (t)

1	3				1		3		для
1	3				1		3
	cos ti	(sint				sin		t) j		t
3					3				6	3
			3
		(sint)2			для 0
sinti				j					t
sinti				j					t
									4

Кривую, представленную вектор–функцией или уравнением в декартовых координатах задать параметрически, используя в качестве параметра длину дуги S.

										2	3		3
1. 2y = 3x-1, где x ≥0										2. y 2332 x 2 , x ≥ 0
		1		1			3
		1		1
3.	r (t)		ti		(2t	1)2 j , где t ≥ 0.
3.	r (t)	2	ti	3	(2t	1)2 j , где t ≥ 0.
		2		3
	1. Дифференциальная геометрия плоских кривых
	Пусть плоская ориентированная линия задана уравнениями
						x = х(t)		y = y(t)				(3.1)
	Или, в векторной форме
	Или, в векторной форме							r	xi	yj .

И пусть функция r (t) имеет непрерывную производную

второго порядка. Две соответствующие кривые показаны на рис. 15. Ясно, что кривая (а) является «более искривленной», чем кривая (б). Кроме того, первая кривая «более искривлена» в точке Р, чем в точке Q.

Очевидно, что требуется найти способ численно измерить свойство линии «быть искривленной» ее «кривину».

В то время как длина дуги кривой зависит от всего хода кривой и выражается через интеграл, понятие кривизна относится к поведению кривой только в окрестности точки и поэтому выражается лишь с помощью производных.

	M
	.	dr
		dt

	Q .	r (t)
	Q .	.O
	.	.O
	P
	а)	б)

Рис.15

3.1 Кривизна плоской кривой Если линия совсем не искривлена, т.е. является прямоли-

нейным отрезком, то угол α между положительным направлением оси ОХ и единичным вектором касательной не изменяется.

Поэтому естественно принять за меру искривленности линии скорость изменения угла α при движении точки вдоль линии. Но скорость изменения по отношению к чему?

На кривой существует только один «натуральный параметр» - это длина ее дуги. Поэтому естественно определить кривизну линии в точке Р как производную угла α по длине дуги. Для начала докажем лемму.

Лемма.			Если A есть единичный вектор, зависящий от

				dA
скалярного параметра t, то				dA	перпендикулярна A , т.е.
скалярного параметра t, то				dt	перпендикулярна A , т.е.
				dt

	dA
		A	0
	dt	A	0
	dt

Доказательство: По условию A(t) есть единичный вектор, т.е.

A A =1. Дифференцируя это равенство по t согласно (…), получим:


dA		dA

	A	A		0
dt			dt

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.72 Mб3Учебное пособие 1999.pdf
#
30.04.2022157.23 Кб7Учебное пособие 2.pdf
#
30.04.2022214.94 Кб1Учебное пособие 20.pdf
#
30.04.2022326.11 Кб2Учебное пособие 200.pdf
#
30.04.20223.82 Mб2Учебное пособие 2000.pdf
#
30.04.20223.83 Mб8Учебное пособие 2001.pdf
#
30.04.20223.83 Mб4Учебное пособие 2002.pdf
#
30.04.20223.84 Mб3Учебное пособие 2003.pdf
#
30.04.20223.86 Mб10Учебное пособие 2004.pdf
#
30.04.20223.87 Mб5Учебное пособие 2005.pdf
#
30.04.20223.89 Mб4Учебное пособие 2006.pdf