Учебное пособие 2001

Это – уравнение астроиды (рис. 19 б).

Пример 3. Найти эволюту циклоиды. x = t – sint, y = 1 – cost.

54

Легко показать, что это - тоже уравнение циклоиды, но иначе расположенной, чем исходная кривая (рис20). Действительно, положив t=τ+π, получим

= + sin( + ), = -1+cos(t+ ) - = -sinτ, = -1-cos

55

или - = - sin , +2=1- cosτ.

Это – параметрические уравнения циклоиды, конгруэнтной первоначальной и получающейся из нее путем смещения.

Y

Рис. 20

Замечание. Центры кривизны, соответствующие максимуму или минимуму радиуса кривизны исходной кривой, являются точками заострения (точками возврата) эволюты (рис.

19, 20).

3.3.1. Свойства эволюты и эвольвенты.

Рассмотрим два важных свойства.

I. Нормаль к эволюте в точке P служит касательной к эволюте в центре кривизны C, с соответствующим точке P (рис. 21)

Доказательство. Для доказательства определим производ-

56

X

го равенства следует

57

Учитывая (3.2) и (3.19), получим

Правая часть этой формулы есть вектор, направленный по направлению к кривой (эвольвенте) в точке P, а левая – вектор, направленной по касательной к эволюте в точке C. ч.т.д.

II Приращение радиуса кривизны эвольвенты равно (с точностью до знака) приращению соответствующей дуги эволюты (рис. 22), т.е.

R2 R1 дл.С1С2

При этом предполагается, что

а) функции x(t) и y(t), задающие кривую, трижды дифференцируемы;

б) кривая лишена особых точек; в) радиус кривизны R конечен;

58

г) величина dR на рассматриваемом участке кривой со- ds

храняет знак.

Доказательство. Естественным параметрам для эволюты является ее длина дуги S1. Согласно правилу дифференцирования сложных функций получим

откуда, сравнивая модули векторов, стоящих в обеих частях

для рассматриваемой дуги либо все время возрастает (случай

59

выполнено, то свойство II может перестать быть верным.

.

3.3.2. Эвольвента как развертка эволюты

Свойство II допускает важное механическое истолкование Следует отметить, что надлежащим выбором направления отсчета дуги S можно добиться, чтобы возрастанию S отвечало возрастание R, т.е. чтобы

R2-R1 = дл. С1С2 .

Аналогичное равенство будет иметь место и для любого промежуточного значения R (рис. 23)

60

Сопоставляя данное равенство с (3.21), видим, что | PC | = R, т.е. точка P лежит на эвольвенте. Т.о., свободный коней P нити навернутый на эволюту, при сматывании этой нити описывает эвольвенту.

Иными словами, эволюта представляет собой развертку эволюты.

3.4. Приложение к задачам механики точки. 3.4.1. Вращательное движение.

Важными примерами плоского движения является вращательное движение, задаваемое формулами

x = R cos2t, y = R sin2t,

где R и - положительные числа. Возведя обе части ра-

венств в квадрат и сложив почленно, получим x2+y2 = R2,

т.е. траекторией этого движения является окружность радиуса R. Координаты вектора скорости движения

Т.е. скорость движения по величине постоянна, а меняется лишь ее направление. В единицу времени точка проходит расстояние 2R, т.е. она пробегает длину всей окружности раз. Поэтому называется частотой вращательного движения. Периодом этого движения, называется время, требуемое для прохождения полной окружности

1

Если точка движется по окружности с постоянной скоростью, то каждая из проекции этой точки на ось координат совершает гармоническое колебание.

Ускорение вращательного движения имеет координаты

61

Отсюда видно, что вектор ускорения а имеет направление, противоположное направлению радиус-вектора r .

Ускорение отлично от нуля, хотя численное значение скорости постоянно. Это объясняется тем, что меняется направление вектора скорости с течением времени. Однако численная величина ускорения постоянна:

кой, что в рассматриваемый момент времени t0 имеем

62