Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 2001

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

4.6 Некоторые приложения к механике. Скорость и ус-

корение движущейся точки.

Пусть r r (t) – радиус-вектор движущейся точки, t –

время. Перемещение точки за промежуток времени мента t до момента t + t) характеризуется вектором

34).

t (от мо-

r (рис


Отношение				r		назы-
Отношение				t		назы-
				t
вается	средней		скоростью
движения точки за промежу-
ток времени			t.		Предел
средней скорости при						t 0,
т.е. вектор

		dr
V
V		dt
		dt
называется скоростью точки
в момент t. Из 2.4. следует,

что вектор скорости всегда направлен по касательной к траек-

тории точки.
Скорость точки, в свою			очередь,		является вектор –

функцией V	V (t) . Вектор	V	V (t	t)	V (t) дает прира-

щение скорости за время от момента t до момента t+ t. Отно-

шение	V	называется средним ускорением точки за этот

	t
	t

промежуток времени. Предел этого среднего ускорения при t 0, т.е. вектор


	dV	d 2r
W
W	dt	d 2t
	dt	d 2t

называется ускорением точки в момент t.

103

Пусть S – длина траектории, пройденной точкой к моменту t, т.е., S – переменная дуга траектории, отсчитываемая в направлении, соответствующем направлению t. Так как

то

Т.о. скорость V точки есть вектор, направленный по касательной к кривой, причем

		dS

	V
	V	dt


Рассмотрим ускорение. Предположим сначала, что в
рассматриваемый момент времени			dS	не равно 0. Следо-

		V
		V	dt

вательно, соответствующая точка Р траектории не является особой. Поэтому координаты x,y,z точек кривой, близких к Р, оказываются дифференцируемыми функциями переменной дуги S.

Следовательно, и r оказывается дифференцируемой функцией от S. Поэтому

dS d

, но

, следова-

dt2

dt dt

dS dt

тельно:

2 d

d 2 S

dt2

Отсюда вытекает, что если

0 , то

104

	d 2 S	dS	2
W				kv
W	dt 2	dt		kv
	dt 2	dt

- вектор, компланарный векторам t и n. Следовательно, вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, причѐм его проекции на касательную и главную нормаль соответственно равны.

W	d 2 S		, Wn	k	dS

	dt	2			dt

В случае	d	0 получаем
В случае	dS	0 получаем
	dS
			d 2 S	(4.17)
		W
		W	dt 2
			dt 2

Так что вектор ускорения направлен по касательной, и следовательно, по-прежнему лежит в соприкасающейся плоскости,

имея нулевую проекцию на любую нормаль. Сделанные выво-

ды относятся к случаю V не равному 0.

Пусть теперь V 0 . Это значит, что соответст- dt

вующая точка Р траектории – особая. Если при этом хотя бы

	d	2			d	3
одна из производных высших порядков		r		,			r	… отлична
	dt		2		dt3

от 0, то можно доказать, что кривая всѐ же имеет в точке Р ка-

сательную.	При	этом по-прежнему справедливо				равенство

				d 2r
(4.17). Однако следует отметить,			что при W			0 точка Р
(4.17). Однако следует отметить,			что при W	dt	2	0 точка Р
				dt	2
обязательно будет точкой заострения траектории.
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 1
Найти единичные векторы			, n, b кривой

r (t)	5ti	12costj 12sintk в произвольной точке.

105

Ррешение. Находим: T

5i 12sintj 12costk -

вектор касательной.

d 2r

12costj

12sintk

dt2

Находим вектор бинормали

d 2r

12sin t

12cost

dt2

12cost

12sin t

12cost

144sin2 t

144cos2 t

12sin t

j 5 12cost k

60sin tj 60costk

144i

60sin tj

60costk 1212i 5sintj

5costk

Для вектора главной нормали

1212

5sin t

5 cost

12sin t

12cost

12 60sin t cost

60sin t cost i

144cost

25cost

144sin t

25sin t

169costj

169sin tk

169 costj

sintk

Находим модули этих векторов:

144sin2 t

144cos2 t

106

									25sint t				25cos2 t
		B	12		144				25sint t				25cos2 t				12 13			156


								cos2 t				sin2 t
	N		12 169					cos2 t				sin2 t				12 169		2028
Находим единичные векторы:

				T		5				12				12
							i				sin tj				costk


				T	13			13					13

				B	12													12			5		5
				B	12													12			5		5
b										12i		5sintj				5costk			i			sintj		costk
				B	12 13													13		13			13


n						12 169 costj								sintk			costj			sintk
n				N		12 169 costj								sintk			costj			sintk


				N	20228
				N	20228

Пример 2 Составить уравнение нормальной плоскости винтовой ли-

нии в произвольной точке.

x a cost ,

a sint , z

(R > a > 0)

Решение. Имеем r

a costi

asintj

a2 tk

Нормальная плоскость перпендикулярна вектору каса-

тельной и проходит через точку

P(a cost, a sint,

a2 t) .

Находим вектор касательной

a sinti a costj

a2 k

a sint, a cost,

Уравнение нормальной плоскости

Tx (X

x) Ty (Y

Tz (Z

0 или

asint(X a cost) a cost(Y

asint)

a2 (Z

или

107

Xa sint Ya cost Z R2 a2 (R2 a2 ) 0

Пример 3

Написать уравнение соприкасающейся плоскости окружности

x2 y2 z2 6; x y z 0

в точке М(1;1;-2)

Ррешение: Дифференцируем систему уравнений, считая x–

независимой переменной, получим				xdx	ydy	zdz	0
независимой переменной, получим				dx	dy	dz	0
				dx	dy	dz	0
Дифференцируя второй раз, получим
dx2	dy2	dz2	yd 2 y zd 2 z			0
	d 2 y		d 2 z	0
Полагая x = 1, y = 1, z = -2 получим				dx dy 2dz 0
Полагая x = 1, y = 1, z = -2 получим				dx	dy	dz	0
				dx	dy	dz	0
dx2	dy2	dz2	d 2 y 2d 2 z 0
		d 2 y	d 2 z	0

В первой системе умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым

3dx 3dy

dx, dz

Подставим эти значения во вторую систему

2dx2 d 2 y 2d 2 z 0

d 2 z

d 2 y

dx2

d y d

z 0

2dx

y 0

т.о. найдены векторы

108

		(dx,dy,dz)		и d	2	{d	2	x, d	2	y, d	2	z} .	Отсюда
dr		(dx,dy,dz)		и d	r	{d		x, d		y, d		z} .	Отсюда
												2		2		2		2
				или dr						и d		2		2		2		2		или
dr		dx,	dy,0			1,		1,0				r	0,		dx		,		dx
dr		dx,	dy,0			1,		1,0				r	0,	3	dx		,	3	dx
														3				3
d	2	0,	1,,1
d	r	0,	1,,1

Эти два вектора лежат в соприкасающейся плоскости, следовательно, нормальный вектор соприкасающейся плоскости


			i	j	k
		d 2
B	d		1	1	0	i j k
B	d		1	1	0	i j k
			0	1	1

Поэтому еѐ уравнение –1(x - 1) - (y-1) – (z + 2) = 0, т.е. x + y + z = 0.

Так и должно быть, т.к. данная кривая расположена в этой

плоскости

Задачи для самостоятельного решения.

I. Найти единичные векторы

, n, b

в указанных точках

cost, y

sint, z

в точке: t

Ответ:

k );n

j;b

(i k );

costi

sintj

(коническая спираль в произвольной

точке).

Ответ:

cost

sin t i

sin t cost

k ;

sint

cost i

sint

cost j

6t, y 3t 2 , z

t 3

в точке t=1

109

Ответ:													2						2							1													2					1				2					1			2				2	к
																												k ; n																					k	;b
																i						j																			i					j								i			j


												3							3							3											3							3				3					3			3				3

4.										cost							sin2 t i												sin t 1										cost						j		k cost					в точке						t

																																																												2
																																																												2
	1				Ответ:																									1 ( 5i													4 j k );b								1 (i 2 j 3k )
	1										i					j k ;n														1 ( 5i													4 j k );b								1 (i 2 j 3k )




	3																														42																				14
5.			y						x 2 , z								2x							в точке										x = 2.
					Ответ:
				1																											1																							1							)
																																																											k
									(i 4 j 2k );n																													( 4i 5 j 8k );b																	( 2i


	21																														105																						5
	21																														105																						5
II. Найти уравнения касательной и нормальной плоскости в
заданной точке
									t 2
1.					ti				t 2						j			t 3 k							в точке (3, 9, 27)
Ответ:									x			3							y			9						Z 27								; x 6 y											27z 786
Ответ:																																				; x 6 y											27z 786
					1														6												27
2.	x					r cost, y														r sint, z												r sint										при					t
2.	x					r cost, y														r sint, z												r sint										при					t	4
																																																4

									x					r						y				r						z					2r

Ответ:												2										2											2
												2										2											2							; x				2			z	0

					2														0														2
					2														0														2
3.		x					t, y									t 2 , z							t 3					в точке М(2, 4, 8)
Ответ:								x				2					y					4					z				8		; x							4 y				12z				114			0
Ответ:					1														4							12							; x							4 y				12z				114			0
					1														4							12
4.		x					t, y									t, z					t 2						в точке t = 2
4.		x					t, y									t, z						2					в точке t = 2
																						2

110

Ответ:						x			2							y				2								z	2						(касательная)
Ответ:				1																1									2						(касательная)
				1																1									2
5. x 6t, y														3t 2 , z											t 3						в точке t = 1
Ответ: 2x 2y																					z		19						0					(нормальная плоскость)
III. Составить уравнения касательной, главной нормали и би-
нормали в указанной точке к кривой.
1.						t 4										t 3										t 2						в произвольной точке.
			x					, y												, z
			x	4				, y						3						, z			2
				4										3									2
						x				t 4							y					t3								z				t 2
Ответ:						x			4								y						3							z				2		(касательная),
									4														3											2
							t 2														2t								1
							t 2														2t								1
						x					t 4								y					t3								z			t2
						x			4										y				3									z		2						(главная нормаль),
									4														3											2
					t3					2t1 1 t4																							2t3				t
					t3					2t1 1 t4																							2t3				t
	x		t 4				y					t3						z					t 2
	x	4					y		3									z					2						(бинормаль)
		4							3														2
		1							2t												t 2
		1							2t												t 2
2.		x		t, y									t, z								t 2				в точке t = 2.
2.		x		t, y									t, z							2					в точке t = 2.
																				2
Ответ:						x			2							y				2								z	2					(касательная)
Ответ:				1																1									1					(касательная)
				1																1									1
									x					2							y		2									z		2				(главная нормаль)

									1											1														1
									1											1														1
															x					2							y		2						z	2			(бинормаль)

														1									1													0
														1									1													0
3.		x		t cost, y													t sint, z														bt			в точке О(0 , 0)

111

Ответ:

(главная нормаль)

(бинормаль)

y 2

x, x 2

z в точке (1, 1, 1)

Ответ:

(главная нормаль)

z 1

(бинормаль)

IV. Составить уравнения соприкасающейся и спрямляющей

плоскостей для кривых в указанных точках.

6t, y 3t 2 , z

t 3 в точке t = 1

Ответ:

2 (соприкасающаяся плоскость)

0 (спрямляющая плоскость)

t, y

t, z

t 2

в точке t = 2

Ответ:

0 (соприкасающаяся плоскость)

et , y

e t , z

при t = 0.

Ответ:

0 (соприкасающаяся плоскость)

z 2

x 2

y 2

z 2

6; x 2

y 2

z 2

в точке (1, 1, 2)

Ответ:

(нормальная плоскость)

(соприкасающаяся плоскость)

(спрямляющая плоскость)

x 2

y 2

z 2

9; x 2

y 2

3 в точке (2, 1, 2)

Ответ:

0 (соприкасающаяся плоскость)

x, x2

в точке (111). Ответ. 6x

z 0 (соприка-

сающаяся плоскость)

V. Найти кривизну и кручение кривой в указанных точках.

112

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.72 Mб3Учебное пособие 1999.pdf
#
30.04.2022157.23 Кб7Учебное пособие 2.pdf
#
30.04.2022214.94 Кб1Учебное пособие 20.pdf
#
30.04.2022326.11 Кб2Учебное пособие 200.pdf
#
30.04.20223.82 Mб2Учебное пособие 2000.pdf
#
30.04.20223.83 Mб8Учебное пособие 2001.pdf
#
30.04.20223.83 Mб4Учебное пособие 2002.pdf
#
30.04.20223.84 Mб3Учебное пособие 2003.pdf
#
30.04.20223.86 Mб10Учебное пособие 2004.pdf
#
30.04.20223.87 Mб5Учебное пособие 2005.pdf
#
30.04.20223.89 Mб4Учебное пособие 2006.pdf