Учебное пособие 2001

Поэтому для нее существует обратная функция t t(S ) , кото-

рая также является непрерывной и возрастающей. Для каждой не особой точки для нее существует конечная производная

являются непрерывными функциями от t , а t , как только что показано, есть непрерывная функция от S , то x и y также

оказываются непрерывными функциями от S :

ские уравнения, где параметром служит переменная дуга S . В ряде случаев этот «естественный» параметр S оказывается более удобным, чем произвольный параметр t .

Для функций (2.16) по правилу дифференцирования сложной функции получаем в каждой не особой точке кривой.

Сказанное о переменной дуге в роли параметра целиком распространяется и на случай пространственной кривой.

2.3.3. Единичный вектор касательной

Пусть пространственная кривая С спрямляема. Если принять за параметр переменную дугу S, отсчитываемую от какойнибудь точки кривой, то уравнение кривой получает вид

23

P(x,y,z)

S

O

Рис. 12.

Пусть функции (2.18) дифференцируемы. Известно (2.15), что для любого параметра t

Положим здесь t=S. Получим

Отсюда следует, что кривая лишена особых точек и. следовательно, в каждой точке имеет касательную.

Рассмотрим на кривой произвольную точку P(x,y,z), отвечающую значению S переменной дуги, и обозначим черезS единичный вектор касательной к кривой в этой точке, соответствующий возрастанию S (рис.12). Тогда

24

и в силу равенства (2.19)

Таким образом производная вектора r S по длине дуги S

кривой есть единичный вектор касательной к кривой. Формулу (2.20) можно переписать в виде

из векторной алгебры известно, что проекции единичного вектора на координатные оси совпадают с его направляющими косинусами. Поэтому

к этим соотношениям можно придти, положив t=S в формулах

(2.7).

стр.12.Пример1: какая линия является годографом векторфункции

Решение: Запишем параметрические уравнения этой линии. x a cost,

y a sin t, z ct.

25

Этоуравнение винтовой линии.

Пример 3: кривую заданную уравнением 2у = 3х -1, где х ≥ 0. задать параметрически, используя в качестве параметра длину дуги S.

Получили параметрические уравнения данной кривой, следовательно, векторно-параметрические уравнения имеют вид:

Следовательно, представление кривой с помощью натурального параметра имеет вид:

26

2.5 Ориентировочные линии

Введем понятие ориентировочной линии, прежде всего для плоской кривой. Рассмотрим отдельно параметрическое и непараметрическое представление линии.

2.5.1 Параметрическое представление.

График скалярной функции y = f(x) дает важную информацию относительно этой функции, однако не всю информацию о ней: двум разным векторным функциям может отвечать один и тот же годограф.

Это связанно с тем, что точка может двигаться по одной и той же траектории, но разными способами.

В качестве примера рассмотрим две вектор-функции:

Каждая из них определяет отрезок прямой, соединяющий точку O(0,0) с точкой А(1,1). Обе функции описывают движения от точки О к точкt А, но эти движения различны.

Пример2: две функции

описываю движение точки по единичной окружности, начинающееся и заканчивающееся в точке (1,0). Оба движения совершаются против часовой стрелки, но в первом случае окружность пробегается один раз, во втором – дважды.

Пример3: Функция

Тоже описывает движение по единичной окружности, но ни этот раз – в направлении вращения часовой стрелки.

27

называется противоположно ориентированной (или просто противоположной) по отношению к линии, определяемой функцией

2.5.2. Непараметрическое представление.

Каждая непрерывная скалярная функция, заданная на некотором интервале, определяет ориентировочную линию. Непараметрическое представление ориентированной линии – это представление ее в виде графика y = f(x). Такое представление всегда может быть преобразовано в параметрическое. Достаточно записать

Параметрическое представление иногда может быть преобразовано в непараметрическое.

Пример: какое множество точек, параметрически представляяется функцией.

где а > 0, b>0- некоторые числа.

Решение: Координаты вектор - функции равны

разделив первое равенство на а, второе – на b, получим

29

Возводим обе части полученных равенств в квадрат и складываем почленно:

Получили уравнение эллипса.

2.5.3 Формулы в полярных координатах.

Направляющие косинусы плоской кривой получаются из об-

координаты единого вектора касательной в виде:

Пусть кривая задана в полярных координатах r = r(υ)

Найдем единичный вектор касательной к этой кривой. Для этого, пользуясь формулами перехода от полярных координат

кдекартовым, получим:

xr( )cos , y r( )sin ,

30

Эти формулы можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, где параметром служит полярный угол υ.

Т.о.,

Возводя обе части равенств в квадрат и складывая почленно, получаем:

Пусть Р – какая-либо точка кривой. Найдем угол ψ между прямой ОР и касательной к кривой, проходящей через точку Р (рис. 13). Т.к. ψ = α - υ, а угловой коэффициент прямой ОР равен tgυ, то имеем с учетом (2.24)

31